Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho $SE=\frac{1}{3}SA,SF=\frac{1}{3}SB$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$.

Hai vectơ $1\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}$ có bằng nhau không? Hai vectơ $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ và $-\overrightarrow{a}$ có bằng nhau không?

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17)

a) Hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ có cùng phương không? Có cùng hướng không?

b) Giải thích vì sao $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right|$.

Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau không? Giải thích vì sao.

Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{DM}$ là hai vectơ đối nhau;

b) $\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{SC}$

Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó.

Cho hình hộp hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.14).

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC}$ có bằng nhau hay không?

b) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ có bằng nhau hay không?

Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12).

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Lấy điểm A’ và vẽ các vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{b}$ (H.2.10).

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$.

b) Giải thích vì sao AA’C’C là hình bình hành, từ đó suy ra $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Trong ba vectơ $\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{DC}$, vectơ nào bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$.

b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Xác định điểm N sao cho $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}$.

Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.7)

a) So sánh độ dài hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$.

b) Nhận xét về giá của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$.

c) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ có cùng phương không? Có cùng hướng không?

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (H.2.6). Trong các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$:

a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?

b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?

Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể biểu diễn bởi vectơ trong không gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ tương tự.

Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ.

a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các các lực căng dây?

b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

  ↵

Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số:

A. $y=x-\frac{1}{x+1}$.
B. $y=\frac{2x+1}{x+1}$.
C. $y=\frac{x^2-x+1}{x+1}$.
D. $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.

A. $y=\frac{x+2}{x+1}$.
B. $y=\frac{2x+1}{x+1}$.
C. $y=\frac{x-1}{x+1}$.
D. $y=\frac{x+3}{1-x}$.

 Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên$$\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{1;3\right\}$$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
B. Đường thẳng $y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
C. Đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
D. Đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-2}{x+2}$ là

A. $y=-2$.

B. $y=1$.

C. $y=x+2$.

D. $y=x$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ thỏa mãn: $\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=1;\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=1;\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=2$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=2$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

B. Đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

C. Đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

D. Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

A. 0.

B. $e^3$.

C. $e^4$.

D. e. 

Giá trị cực tiểu của hàm số $y=x^2\ln x$ là
A. $\frac{1}{e}$.
B. $-\frac{1}{e}$.
C. $-\frac{1}{2e}$.
D. $\frac{1}{2e}$.

Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
A. $y=\left|x\right|$.
B. $y=x^4$.
C. $y=-x^3+x$.
D. $y=\frac{2x-1}{x+1}$.

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?
A. $y=-x^3+3x^2-9x$;
B. $y=-x^3+x+1$;
C. $y=\frac{x-1}{x-2}$;
D. $y=2x^2+3x+2$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên khoảng (a; b). Phát biểu nào dưới đây là đúng?
A. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên (a; b).
B. Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên (a; b).
C. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ với mọi x thuộc (a; b).
D. Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với mọi x thuộc (a; b).

Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức $p=\frac{354}{1+0,01x},x\ge 0$, trong đó p là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và x là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.

a) Tìm công thức tính x như là hàm số của p. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là 240 nghìn đồng.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $x=x\left(p\right)$. Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:
- Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán p tăng;
- Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\underset{p\to 0^{+}}{lim}x\left(p\right)$.

Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hóa nào đó là: $C\left(x\right)=23000+50x-0,5x^2+0,00175x^3$

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm C’(100) và giải thích ý nghĩa của nó.

c) So sánh C’(100) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101.

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là $y=t^3-12t+3,t\ge 0$.

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.
b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?
c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian $0\le t\le 3$.
d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?