Giải bài tập Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài giảng Toán 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Mở đầu

Mở đầu trang 38 Toán 10 Tập 1: Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa. Em có biết vì sao?

1. Định lý Cosin

Giải Toán 10 trang 38 Tập 1

HĐ 1 trang 38 Toán 10 Tập 1: Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng Đông Nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).

b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilômét (số đo gần đúng).

c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

HĐ 2 trang 38 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A.

a) Tính a2 theo BD2 và CD2.

b) Tính a2 theo b, c và DA.

c) Tính DA theo c và cos A.

d) Chứng minh a2 = b2 + c2 – 2bc cos A.

Giải Toán 10 trang 39 Tập 1

Câu hỏi trang 39 Toán 10 Tập 1: Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của định lí côsin hay không?

Khám phá trang 39 Toán 10 Tập 1: Từ định lý côsin, hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

Luyện tập 1 trang 39 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, có AB = 5, AC = 8 và $\widehat{A}={45}^o$. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Trải nghiệm trang 39 Toán 10 Tập 1: Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn của định lí côsin tại đỉnh A đối với tam giác đó.

Vận dụng 1 trang 39 Toán 10 Tập 1: Dùng định lí côsin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ 1b.

2. Định lý Sin

HĐ 3 trang 39 Toán 10 Tập 1: Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A.

Giải Toán 10 trang 40 Tập 1

Luyện tập 2 trang 40 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và $\widehat{B}={80}^o.$ Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Luyện tập 3 trang 40 Toán 10 Tập 1: Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45;$\widehat{A}={87}^o$.

Vận dụng 2 trang 40 Toán 10 Tập 1: Từ một khu vực có thể quan sát hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.

4. Công thức tính diện tích tam giác

Giải Toán 10 trang 41 Tập 1

HĐ 4 trang 41 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.

HĐ 5 trang 41 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với đường cao BD.

a) Biểu thị BD theo AB và sin A.

b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A.

Luyện tập 4 trang 41 Toán 10 Tập 1: Tính diện tích tam giác ABC có b = 2, $\widehat{B}={30}^0,\widehat{C}={45}^0$.

Thảo luận trang 41 Toán 10 Tập 1: Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC hay không?

Giải Toán 10 trang 42 Tập 1

Vận dụng 3 trang 42 Toán 10 Tập 1: Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như Hình 3.17. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hòa Bình.

Bài tập

Bài 3.5 trang 42 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c = 8. Tính cos A, S, r.

Bài 3.7 trang 42 Toán 10 Tập 1: Giải tam giác ABC và tính diện tích tam giác đó, biết $\widehat{A}={15}^0,\widehat{B}={130}^0,c=6.$

Bài 3.8 trang 42 Toán 10 Tập 1: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng S70oE với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam theo vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.

Giải Toán 10 trang 43 Tập 1

Bài 3.9 trang 43 Toán 10 Tập 1: Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là 50o và 40o so với phương nằm ngang (H.3.18).

a) Tính các góc của tam giác ABC.

b) Tính chiều cao của tòa nhà.

Bài 3.10 trang 43 Toán 10 Tập 1: Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

Bài 3.11 trang 43 Toán 10 Tập 1: Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ.