30 câu Trắc nghiệm Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án 2024) – Toán 7 Cánh diều

Bộ 30 câu hỏi trắc nghiệm Toán 7 (có đáp án) Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác đầy đủ các mức độ sách Cánh diều giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm Toán 7 Bài 12.

1 93 lượt xem


Trắc nghiệm Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Câu 1. Cho ∆ABC cân tại A, có A^=50°. Đường trung trực của cạnh AB cắt BC tại D. Trên tia đối của tia AD, lấy điểm M sao cho AM = CD. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. CAD^=20°;

B. ∆BMD cân tại M;

C. ∆BMD cân tại B;

D. ∆BMD đều.

Đáp án đúng là: C

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Vì D thuộc đường trung trực của cạnh AB.

Nên D cách đều hai đầu mút A và B.

Suy ra DA = DB.

Do đó ∆ABD cân tại D.

Vì vậy ABD^=BAD^ (tính chất tam giác cân)

Vì ∆ABC cân tại A nên ABC^=ACB^.

∆ABC có: BAC^+ABC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra 2ABC^=180°-BAC^=180°-50°=130°.

Do đó ACB^=ABC^=130°÷2=65°.

Vì vậy BAD^=ABD^=65°.

Suy ra BAC^+CAD^=65°.

Do đó CAD^=65°-BAC^=65°-50°=15°20°.

Vì vậy đáp án A sai.

Ta có MAB^+BAD^=180° (hai góc kề bù).

Suy ra MAB^=180°-BAD^=180°-65°=115° (1).

Ta có ACB^+ACD^=180° (hai góc kề bù).

Suy ra ACD^=180°-ACB^=180°-65°=115° (2).

Từ (1), (2), ta suy ra MAB^=ACD^.

Xét ∆ABM và ∆CAD, có:

AM = CD (giả thiết).

MAB^=ACD^ (chứng minh trên).

AB = AC (do ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ABM = ∆CAD (c.g.c)

Suy ra BM = AD (cặp cạnh tương ứng).

Mà DB = DA (chứng minh trên).

Do đó BM = DB.

Suy ra ∆BMD cân tại B.

Do đó đáp án C đúng.

∆ACD có: ACD^+CAD^+ADC^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra ADC^=180°-ACD^-CAD^=180°-115°-15°=50°60°.

Vì vậy ∆BMD không phải là tam giác đều.

Do đó đáp án B và D sai.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 2. Cho ∆ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = AE, CD cắt BE tại O. Gọi M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. ∆BOC cân tại O;

B. Ba điểm A, O, M thẳng hàng;

C. AM, BE, CD đồng quy tại một điểm;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án đúng là: D

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Ta có AB = AC (do ∆ABC cân tại A) và AD = AE (giả thiết).

Suy ra AB – AD = AC – AE.

Do đó BD = CE.

Xét ∆EBC và ∆DCB, có:

BC là cạnh chung.

DBC^=ECB^ (do ∆ABC cân tại A).

BD = CE (chứng minh trên).

Do đó ∆EBC = ∆DCB (c.g.c)

Suy ra B1^=C1^ (cặp góc tương ứng).

Suy ra ∆BOC cân tại O.

Do đó đáp án A đúng.

Ta có ∆BOC cân tại O.

Suy ra OB = OC.

Mà AB = AC (chứng minh trên)

Do đó AO là đường trung trực của cạnh BC (1).

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

ABM^=ACM^ (do ∆ABC cân tại A),

BM = CM (do M là trung điểm BC)

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.g.c)

Suy ra AMB^=AMC^ (hai góc tương ứng)

Mà AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù)

Do đó AMB^=AMC^=180°2=90°

Suy ra AM  BC tại trung điểm M của BC

Khi đó AM là đường trung trực của BC (2)

Từ (1), (2), ta suy ra A, O, M thẳng hàng.

Do đó đáp án B đúng.

Ta có O thuộc AM (chứng minh trên).

Mà O là giao điểm của BE và CD.

Suy ra ba đường thẳng AM, BE, CD đồng quy tại điểm O.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 3. Cho ∆ABC có A^ là góc tù. Các đường trung trực của cạnh AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự tại D và E. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. ∆ABD cân tại D;

B. ∆ACE cân tại E;

C. ∆OAB cân tại O;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án đúng là: D

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Vì D thuộc đường trung trực OM của cạnh AB.

Nên D cách đều A và B.

Do đó DB = DA.

Suy ra ∆ABD cân tại D.

Do đó đáp án A đúng.

Chứng minh tương tự, ta được ∆ACE cân tại E và ∆OAB cân tại O.

Do đó đáp án B, C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 4. Cho ∆ABC có A^ tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt BC lần lượt tại D và E. Biết DAE^=30°. Số đo BAC^ bằng:

A. 95°;

B. 100°;

C. 105°;

D. 115°.

Đáp án đúng là: C

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Vì điểm D nằm trên đường trung trực của AB nên DA = DB.

Suy ra ∆DAB cân tại D.

Do đó A1^=ABC^.

Chứng minh tương tự, ta được A2^=ACB^.

Do đó A1^+A2^=ABC^+ACB^.

Xét tam giác ABC có: BAC^+ABC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 5. Cho ∆ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho CM = AB. Vẽ đường trung trực của AC, cắt tia phân giác của A^ tại điểm O. Đường trung trực của đoạn thẳng BM đi qua điểm:

A. O;

B. A;

C. M;

D. C.

Đáp án đúng là: A

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Điểm O nằm trên đường trung trực của cạnh AC nên OA = OC.

Suy ra ∆OAC cân tại O.

Do đó A2^=OCA^.

Vì AO là tia phân giác của A^ nên A1^=A2^.

Do đó A1^=OCA^ (=A2^).

Xét ∆ABO và ∆CMO, có:

AO = CO (chứng minh trên),

A1^=OCA^ (chứng minh trên),

AB = CM (giả thiết).

Do đó ∆ABO = ∆CMO (c.g.c)

Suy ra OB = OM (cặp cạnh tương ứng).

Do đó O nằm trên đường trung trực của cạnh BM.

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 6. Cho ∆ABC, gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC. Kết quả nào dưới đây đúng?

A. IA > IB > IC;

B. IA = IB = IC;

C. IA < IB < IC;

D. Không thể so sánh được độ dài của IA, IB, IC.

Đáp án đúng là: B

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

∆ABC có I là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC.

Suy ra I cũng thuộc đường trung trực của cạnh BC.

Vì giao điểm I của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của ∆ABC.

Nên IA = IB = IC.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 7. Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Số đo OMB^ bằng:

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Đáp án đúng là: D

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Vì ba đường trung trực của ∆ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm O của hai đường trung trực của các cạnh AB, AC cũng thuộc đường trung trực của cạnh BC.

Do đó OM là đường trung trực thứ ba của ∆ABC.

Suy ra OM  BC.

Nên OMB^=90°.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 8. Cho ∆ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại E. Điểm E thuộc đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây.

A. BC;

B. AM;

C. AB;

D. AC.

Đáp án đúng là: B

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Xét ∆MAB và ∆MAC, có:

AB = AC (do ∆ABC cân tại A),

AM là cạnh chung,

BM = CM (do M là trung điểm BC.

Do đó ∆MAB = ∆MAC (c.c.c).

Suy ra AMB^=AMC^ (cặp góc tương ứng).

Mà AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù).

Suy ra AMB^=AMC^=180°:2=90°.

Do đó AM  BC tại M.

Mà M là trung điểm BC (giả thiết).

Suy ra AM là đường trung trực thứ ba của ∆ABC.

Vì vậy AM cũng đi qua giao điểm E của hai đường trung trực của AB và AC.

Do đó E  AM.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 9. Cho ∆ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Đường trung trực của AB cắt AM ở O. Biết OA = 4 cm. Tính OB và OC.

A. OB = OC = 2 cm;

B. OB = OC = 4 cm;

C. OB = OC = 8 cm;

D. OB = 2 cm; OC = 4 cm.

Đáp án đúng là: B

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AM là cạnh chung,

AB = AC (∆ABC cân tại A),

BM = CM (AM là đường trung tuyến của ∆ABC)

Do đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Suy ra AMB^=AMC^ (cặp góc tương ứng).

Ta có AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù).

Suy ra AMB^=AMC^=180°:2=90°.

Vì vậy AM  BC.

Mà M là trung điểm BC (AM là đường trung tuyến của ∆ABC).

Do đó AM là đường trung trực của BC của ∆ABC.

Mà đường trung trực của AB cắt AM tại O

Khi đó O là giao điểm hai đường trung trực của tam giác nên cách đều các đỉnh

Suy ra OB = OC = OA = 4 cm.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 10. Cho ∆ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác. Biết BO cũng là tia phân giác của ABC^. Khẳng định nào sau đây sai?

A. ∆BOA = ∆BOC;

B. ∆BAC cân tại A;

C. B thuộc đường trung trực của cạnh AC;

D. AOB^=BOC^.

Đáp án đúng là: B

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Vì O là giao điểm các đường trung trực của ∆ABC nên OA = OB = OC.

Do đó ∆OAB cân tại O và ∆OBC cân tại O.

Suy ra OAB^=OBA^ và OBC^=OCB^ (tính chất tam giác cân)

Mà OBA^=OBC^ (vì OB là tia phân giác của ABC^) (1).

Ta suy ra OAB^=OCB^ (2).

∆ABO có: AOB^+OAB^+OBA^=180° (3).

∆OBC có: BOC^+OBC^+OCB^=180° (4).

Từ (1), (2), (3), (4), ta suy ra AOB^=BOC^.

Do đó đáp án D đúng.

Xét ∆BOA và ∆BOC, có:

OB là cạnh chung.

AOB^=BOC^ (chứng minh trên).

OA = OC (chứng minh trên).

Do đó ∆BOA = ∆BOC (c.g.c)

Vì vậy đáp án A đúng.

Ta có ∆BOA = ∆BOC (chứng minh trên).

Suy ra AB = BC (cặp cạnh tương ứng).

Do đó ∆BAC cân tại B.

Vì vậy đáp án B sai.

Đến đây ta có thể chọn đáp án B.

Ta có BA = BC (chứng minh trên) và OA = OC (chứng minh trên).

Suy ra BO là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Vì vậy B thuộc đường trung trực của cạnh AC.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 11. Cho ∆ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là:

A. Điểm B;

B. Trung điểm của cạnh NP;

C. Trung điểm của cạnh MN;

D. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.

Đáp án đúng là: D

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Ta có AC = BC (do ∆ABC đều) và CP = BN (giả thiết).

Suy ra AC – CP = BC – BN.

Do đó AP = CN.

Xét ∆MAP và ∆PCN, có:

AM = CP (giả thiết).

MAP^=PCN^ (do ∆ABC đều).

AP = CN (chứng minh trên).

Do đó ∆MAP = ∆PCN (c.g.c)

Suy ra MP = PN (cặp cạnh tương ứng) (1).

Chứng minh tương tự, ta được MN = PN (2).

Từ (1), (2), ta suy ra MP = MN = PN.

Do đó ∆MNP đều.

Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của ∆ABC

Khi đó OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

Xét ∆BOA và ∆BOC có:

BA = BC (do ∆ABC đều),

BO là cạnh chung,

OA = OC (chứng minh trên)

Do đó ∆BOA = ∆BOC (c.c.c)

Suy ra ABO^=CBO^ (hai góc tương ứng)

Ta suy ra BO cũng là đường phân giác của ∆ABC.

Do đó OBM^=OBN^=60°÷2=30°.

Chứng minh tương tự, ta được:

OAM^=OAP^=30° và OCN^=OCP^=30°.

Xét ∆MAO và ∆NBO, có:

OA = OB (chứng minh trên).

OAM^=OBN^(= 30°).

AM = BN (giả thiết).

Do đó ∆MAO = ∆NBO (c.g.c)

Suy ra MO = NO (cặp cạnh tương ứng) (3).

Chứng minh tương tự, ta được NO = PO (4).

Từ (3), (4), ta suy ra OM = ON = OP.

Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP.

Vì vậy giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 12. Cho xOy^=α, A là một điểm di động ở trong xOy^. Vẽ các điểm M và N sao cho Ox là đường trung trực của AM và Oy là đường trung trực của AN. Để O là trung điểm của MN của giá trị của α bằng:

A. 30°;

B. 60°;

C. 90°;

D. 120°.

Đáp án đúng là: C

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

∆AMN có Ox, Oy lần lượt là đường trung trực của các cạnh AM và AN.

Do đó O là giao điểm của ba đường trung trực của ∆AMN.

Suy ra đường trung trực của MN luôn đi qua điểm O cố định khi A di động (vì ba đường trung trực của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm).

Vì Ox là đường trung trực của AM nên OA = OM.

Do đó ∆OMA cân tại O.

∆OMA cân tại O có Ox là đường trung trực.

Dễ dàng chứng minh được Ox cũng là tia phân giác của AOM^

Do đó MOx^=xOA^.

Chứng minh tương tự, ta được AOy^=yON^.

Để O là trung điểm MN thì ba điểm O, M, N thẳng hàng.

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Do đó MOx^+xOA^+AOy^+yON^=180°.

Suy ra 2xOA^+AOy^=180°.

Hay 2xOy^=180°

Khi đó xOy^=180°÷2=90°.

Vì vậy α = 90°.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 13. Cho ∆ABC vuông tại A. Gọi E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AC, AB. Giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC:

A. Nằm trong ∆ABC;

B. Nằm ngoài ∆ABC;

C. Là trung điểm của cạnh huyền BC;

D. Đáp án khác.

Đáp án đúng là: C

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Gọi D là giao điểm của hai đường trung trực của các cạnh AC, AB.

Suy ra D cách đều các điểm A, B, C.

Do đó DA = DB = DC

Vì vậy ∆ACD cân tại D.

Xét ∆ADE và ∆CDE, có:

DE là cạnh chung.

DEA^=DEC^=90°.

AE = CE (do E là trung điểm AC).

Do đó ∆ADE = ∆CDE (c.g.c)

Suy ra D3^=D4^ (cặp góc tương ứng).

Chứng minh tương tự, ta được D1^=D2^.

∆DEC vuông tại E: D4^+ECD^=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra D3^=D4^=90°-ACB^.

Tương tự ta được D1^=D2^=90°-ABC^.

Khi đó:

D1^+D2^+D3^+D4^=290°-ABC^+290°-ACB^

=290°-ABC^+90°-ACB^

=2180°-ABC^+ACB^

∆ABC vuông tại A: ABC^+ACB^=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Do đó

D1^+D2^+D3^+D4^

= 2.[180° – 90°] = 180°.

Suy ra ba điểm B, D, C thẳng hàng.

Ta có DB = DC (= DA).

Suy ra D là trung điểm của BC.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 14. Cho ∆ABC có ba góc nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB, lấy điểm D sao cho OB = OD. Biết ABC^=70°. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. ∆ABD vuông;

B. ∆CBD vuông;

C. ADC^=110°;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án đúng là: D

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Vì O thuộc đường trung trực của cạnh AB nên OA = OB.

Suy ra ∆OAB cân tại O.

Do đó OAB^=OBA^ (tính chất tam giác cân)

∆OAB có: OAB^+OBA^+AOB^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra 2OAB^=180°-AOB^.

Do đó OBA^=OAB^=180°-AOB^2.

Chứng minh tương tự, ta được OAD^=ODA^=180°-AOD^2.

Do đó OAB^+OAD^=180°-AOB^2+180°-AOD^2

=180°2-AOB^2+180°2-AOD^2

=180°-AOB^+AOD^2

=180°-180°2 (do hai góc AOB^,AOD^ kề bù).

= 90°.

Suy ra ∆ABD vuông tại A.

Do đó đáp án A đúng.

Chứng minh tương tự như trên, ta được ∆CBD vuông tại C.

Do đó đáp án B đúng.

∆ABD vuông tại A: ADB^+ABD^=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra ADB^=90°-ABD^ hay ADO^=90°-ABO^.

Tương tự, ta được ODC^=90°-CBO^.

Do đó ADO^+ODC^=90°-ABO^+90°-CBO^

=180°-ABO^+CBO^=180°-ABC^

= 180° – 70° = 110°.

Suy ra ADC^=110°.

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 15. Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì. Vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của MD và AC là đường trung trực của ME. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. Ba điểm D, A, E thẳng hàng;

B. DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM ngắn nhất;

C. AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A lên cạnh BC;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án đúng là: D

15 Bài tập Tính chất ba đường trung trực của tam giác (có đáp án) | Cánh diều Trắc nghiệm Toán 7

Vì AB là đường trung trực của MD.

Nên AD = AM và BD = BM (tính chất đường trung trực)

Suy ra ∆ADM cân tại A.

Xét DABD và DABM có:

AD = AM (chứng minh trên),

AB là cạnh chung,

BD = BM (chứng minh trên),

Do đó DABD = DABM (c.c.c)

Suy ra A1^=A2^ (hai góc tương ứng)

Vì vậy MAD^=A1^+A2^=2A2^.

Chứng minh tương tự, ta được A3^=A4^ và MAE^=A3^+A4^=2A3^.

Ta có DAE^=MAD^+MAE^=2A2^+A3^=2BAC^=2.90°=180°.

Suy ra ba điểm D, A, E thẳng hàng.

Do đó đáp án A đúng.

Vì ba điểm D, A, E thẳng hàng

Nên DE = DA + AE = AM + AM = 2AM.

Suy ra DE ngắn nhất khi và chỉ khi AM ngắn nhất.

Do đó đáp án B đúng.

Vì M thuộc cạnh BC nên AM ngắn nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của A lên cạnh BC (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Do đó đáp án C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

1 93 lượt xem