Lý thuyết Các đại lượng tỉ lệ (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Chương 6

Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 6

1. Tỉ lệ thức:

1.1. Khái niệm:

Với b, c ≠ 0 ta có tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Tỉ lệ thức còn được viết là: a : b = c : d

1.2. Các tính chất:

* Tính chất 1: Nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì ad = bc. (b.d ≠ 0)

* Tính chất 2: Ngược lại so với tính chất 1 ta có:

Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có những tỉ lệ thức sau:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$; $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$; $\frac{d}{c}=\frac{b}{d}$ ; $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$ .

Ví dụ:Cho đẳng thức x.2 = 3.y.Với x, y ≠ 0 ta có các tỉ lệ thức sau:

$\frac{x}{3}=\frac{y}{2}$; $\frac{2}{3}=\frac{y}{x}$ ; $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$ ; $\frac{2}{y}=\frac{3}{x}$ .

2. Dãy tỉ số bằng nhau:

2.1. Khái niệm:

- Ta gọi các đẳng thức: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$ là một dãy các tỉ số bằng nhau.

- Khi có dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$ , ta nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, f và có thể ghi là: a : c : e = b : d : f.

2.2. Các tính chất:

* Tính chất 1: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}$(các mẫu số phải khác 0).

* Tính chất 2: Tương tự với tỉ lệ thức, ta có tính chất sau của dãy tỉ số bằng nhau.

Từ dãy tỉ số bằng nhau $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}$ ta viết được:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a-c+e}{b-d+f}$ (các mẫu số phải khác 0).

3. Khái niệm hai đại lượng tỉ lệ thuận:

Cho k là hằng số khác 0, ta nói đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k nếu y liên hệ với x theo công thức: y = kx.

Từ y = kx (k ≠ 0) ta suy ra $x=\frac{1}{k}y$ . Vậy nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x cũng tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{k}$ và ta nói hai đại lưỡng x, y tỉ lệ thuận với nhau.

4. Tính chất của các đại lượng tỉ lệ thuận:

Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

- Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi:

$\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}=\frac{y_3}{x_3}=\mathrm{...}$

- Tỉ số hai giá trị tùy ý của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$; $\frac{x_1}{x_3}=\frac{y_1}{y_3}$ ;...

5. Khái niệm hai đại lượng tỉ lệ nghịch:

Cho a là một hằng số khác 0. Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y=\frac{a}{x}$ hay xy = a thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

Chú ý: Khi y tỉ lệ nghịch với x thì x cũng tỉ lệ nghịch với y và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau.

6. Tính chất của các đại lượng tỉ lệ nghịch:

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau thì:

- Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ):

x1y1 = x2y2 = x3y3 = … hay $\frac{x_1}{\frac{1}{y_1}}=\frac{x_2}{\frac{1}{y_2}}=\frac{x_3}{\frac{1}{y_3}}=\mathrm{...}$

- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia:

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_2}{y_1}$; $\frac{x_1}{x_3}=\frac{y_3}{y_1}$ ; …

Bài tập Tổng hợp Toán 7 Chương 6

Bài 1.

a) Dựa vào bảng giá trị tương ứng của a và b trong mỗi trường hợp sau, hãy cho biết hai đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau hay không.

b) Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau:

Hướng dẫn giải:

a) Ta thấy: 5.6 = 6.5 = 3.10 = (−3).(−10) =30.

Nên suy ra hai đại lượng a và b tỉ lệ nghịch với nhau.

b) Do x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có hệ số tỉ lệ là:

x.y =7.4 = 28

Suy ra x.y = 28.

Khi đó:

Nếu y = −7 thì $x=\frac{28}{y}=\frac{28}{-7}=-4$ ;

Nếu x = 2 thì $y=\frac{28}{x}=\frac{28}{2}=14$ .

Vậy ta có bảng giá trị bảng giá trị của x và y là:

Bài 2. Bác Hoàng muốn lát một sân gạch hình chữ nhật có diện tích là 28 m2. Gọi e (m), f (m) lần lượt là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật này. Hãy chứng tỏ e và f là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Tính e khi f = 4 m.

Hướng dẫn giải:

Diện tích của sân gạch hình chữ nhật là: e.f = 28 (m2).

Ta thấy e.f = 28 luôn không đổi.

Vậy suy ra e và f là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Suy ra khi f = 4 m thì $e=\frac{28}{f}=\frac{28}{4}=7$ (m)

Vậy khi hình chữ nhật có một cạnh f = 4 m thì cạnh còn lại của hình chữ nhật này là: e = 7 m.

Bài 3. Cho biết một đội công nhân (năng suất làm việc như nhau) dự kiến làm xong một công trình trong vòng 156 ngày. Hỏi nếu chuyển $\frac{1}{4}$ số công nhân sang công trình khác thì số công nhân còn lại sẽ làm xong công trình này trong bao nhiêu ngày?

Hướng dẫn giải:

Số công nhân còn lại khi chuyển đi $\frac{1}{4}$ số công nhân ban đầu là $\frac{3}{4}$ số công nhân ban đầu.

Gọi a1, a2 (công nhân) lần lượt là số lượng công nhân có trong đội trước và sau đi chuyển đi (a1, a2 $\in$ ℕ*).

Gọi b1, b2 (ngày) lần lượt là số ngày hoàn thành công trình tương ứng trong hai trường hợp trên (b1, b2 $\in$ ℕ*).

Do đó số công nhân và số ngày hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (vì số lượng công việc để hoàn thành công việc là không đổi) nên ta có:

a1b1 = a2b2 suy ra $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_2}{b_1}$ .

Mặt khác ta có $\frac{a_1}{a_2}=\frac{4}{3}$ và b1 =156 nên ta có:

$\frac{4}{3}=\frac{b_2}{156}$ suy ra $b_2=\frac{156.4}{3}=208$ (thỏa mãn)

Vậy số công nhân còn lại sẽ hoàn thành công trình trong 208 ngày.

Bài 4: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể lập được từ các đẳng thức sau:

a) 4. 5,1 = 2. 10,2;

b) a . 3 = b . 6.

Hướng dẫn giải:

a) 4. 5,1 = 2. 10,2

Ta có các tỉ lệ thức sau:

$\frac{4}{2}=\frac{10,2}{5,1}$; $\frac{4}{10,2}=\frac{2}{5,1}$ ; $\frac{5,1}{10,2}=\frac{2}{4}$ ; $\frac{5,1}{2}=\frac{10,2}{4}$ .

b)a . 3 = b . 6

Ta có các tỉ lệ thức sau:

$\frac{a}{b}=\frac{6}{3}$; $\frac{a}{6}=\frac{b}{3}$ ; $\frac{3}{b}=\frac{6}{a}$ ; $\frac{3}{6}=\frac{b}{a}$ .

Bài 5. Tìm x, y, z biết:

a) $\frac{x}{2}=\frac{4}{5}$;

b) x + y = 10 và $\frac{x}{2}=\frac{y}{4}$;

c) x + y – z = 12 và $\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}$.

Hướng dẫn giải:

a)$\frac{x}{2}=\frac{4}{5}$

x . 5 = 4 . 2

5x = 8

$x=\frac{8}{5}$

Vậy $x=\frac{8}{5}$.

b) x + y = 10 và $\frac{x}{2}=\frac{y}{4}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{x+y}{2+4}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$.

Suy ra: $x=2.\frac{5}{3}=\frac{10}{3}$ ; $y=4.\frac{5}{3}=\frac{20}{3}$ .

Vậy $x=\frac{10}{3}$ ; $y=\frac{20}{3}$ .

c) x + y – z = 12 và $\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{2}=\frac{y}{4}=\frac{z}{3}=\frac{x+y-z}{2+4-3}=\frac{12}{3}=4$

Suy ra x = 4.2 = 8; y = 4.4 = 16; z = 4.3 = 12.

Vậy x = 8; y = 16; z =12.

Bài 6. Ở một nhà máy sản xuất giày có ba nhóm làm việc A, B, C. Biết trong một ngày cả ba nhóm sản xuất được tổng 120 đôi giày. Biết số đôi giày làm được của ba nhóm A, B, C tỉ lệ lần lượt với các số 4 : 5 : 3. Hỏi mỗi nhóm sản xuất được bao nhiêu đôi giày trong một ngày?

Hướng dẫn giải:

Gọi x, y, z (đôi giày) lần lượt là số đôi giày sản xuất được của từng nhóm A, B, C sản xuất được trong một ngày (x, y, z $\in$ ℕ*).

Do số đôi giày làm được của ba nhóm A, B, C tỉ lệ lần lượt với các số 4 : 5 : 3 nên ta có: $\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{x}{3}$

Mặt khác ta có tổng số đôi giày sản xuất được của cả ba nhóm trong một ngày là 120 đôi giày nên ta có: x + y + z = 120

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z}{3}=\frac{x+y+z}{4+5+3}$

Suy ra x = 4. 10 = 40; y = 5. 10 = 50; z = 3. 10 = 30 (thoả mãn).

Vậy số đôi giày sản xuất được của từng nhóm A, B, C sản xuất được trong một ngày lần lượt là: 40 đôi giày; 50 đôi giày; 30 đôi giày.

Bài 7. Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau. Biết rằng khi x = 3 thì y = 9.

a) Tìm hệ số tỉ lệ k của x đối với y.

b) Tìm y khi x = 2.

Hướng dẫn giải:

a) Do x tỉ lệ thuận với y theo hệ số k, nên ta có x = k.y.

Suy ra: $k=\frac{x}{y}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$ .

b) Theo câu a, ta có: y = 3x.

Suy ra y = 3.2 = 6.

Vậy y = 6 khi x = 2.

Bài 8. Cho m và n là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Hãy viết công thức tính m theo n và tính các giá trị chưa biết và điền vào bảng sau:

Hướng dẫn giải:

Ta có: m = 2 và n = 10. Mặt khác m, n là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau theo tỉ số k, nên ta có: n = k. m.

Suy ra $k=\frac{n}{m}=\frac{10}{2}=5$ .

Từ đó ta có n = 5m. Khi đó, ta có:

Với m = −4 thì n = 5.(−4) = 20;

Với n = 30 thì m = 30 : 5 = 6;

Với m = −5 thì n = 5.(−5) = 25.

Vậy ta có bảng sau:

Bài 9. Nhà bác An và bác Bích cùng nhau nuôi lợn, bác An nuôi 1 con, bác Bích nuôi 2 con. Sau khi bán hết số lợn thì thu được tổng 7,5 triệu đồng, hai người quyết định chia số tiền tỉ lệ với số con lợn mỗi người đã nuôi. Tính số tiền mỗi người nhận được?

Hướng dẫn giải:

Gọi x và y (triệu đồng) lần lượt là số tiền được chia của bác An và bác Bích (0 < x, y < 7,5).

Do số tiền và số con lợn của nhà bác An và bác Bích là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau, nên ta có: $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}$ .

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{x+y}{1+2}=\frac{7,5}{3}=2,5$

Suy ra: x = 2,5.1 = 2,5; y = 2,5.2 = 5 (thỏa mãn)

Vậy bác An nhận được 2,5 triệu đồng; bác Bích nhận được 5 triệu đồng.

Bài 10. Cho biết hai đại lượng a và b tỉ lệ nghịch với nhau và khi a = −4 thì b = 5.

a) Tìm hệ số tỉ lệ;

b) Hãy biểu diễn a theo b;

c) Tính giá trị của a khi b = 10;

d) Tính giá trị của b khi a = −5.

Hướng dẫn giải:

a) Do a và b là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên: hệ số tỉ lệ là:

a.b = (−4).5 = −20.

Vậy hệ số tỉ lệ của hai đại lượng tỉ lệ nghịch a và b là −20.

b) Theo câu a ta có a.b = −20. Suy ra $a=\frac{-20}{b}$ .

Vậy biểu diễn của a theo b là: $a=\frac{-20}{b}$ .

c) Từ câu b, ta có: $a=\frac{-20}{b}$ .

Khi b = 10 thì $a=\frac{-20}{10}=-2$ .

Vậy a = 2 khi b = 10.

d) Theo câu a ta có: a.b = −20 suy ra $b=\frac{-20}{a}$ .

Khi a = −5 thì $b=\frac{-20}{a}=\frac{-20}{-5}=4$ .

Vậy khi a = −5 thì b = 4.