Lý thuyết Phép cộng và phép trừ đa thức một biến (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

1. Phép cộng hai đa thức một biến

Để cộng hai đa thức một biến, ta làm một trong hai cách sau:

- Cách 1: Nhóm các đơn thức cùng lũy thừa của biến rồi thực hiện phép cộng.

- Cách 2: Sắp xếp các đơn thức của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng sao cho lũy thừa giống nhau ở hai đa thức thẳng cột với nhau rồi thực hiện cộng theo cột.

Ví dụ: Cho M(x) = 6x2 – 5x + 1 và N(x) = –3x2 – 2x – 7. Hãy tính tổng của M(x) và N(x) bằng hai cách.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: M(x) + N(x) = 6x2 – 5x + 1 + (–3x2 – 2x – 7)

= 6x2 – 5x + 1 – 3x2 – 2x – 7

= (6x2 –3x2) + (– 5x – 2x) + (1 – 7)

= 3x2 – 7x – 6

Cách 2: Cộng theo cột dọc

$\frac{\begin{array}{c}{+}^{}M\left(x\right)=6x^2–5x+1\\ N\left(x\right)=–3x^2–2x–7\end{array}}{M\left(x\right)+N\left(x\right){=}^{}3x^2-7x-6}$

2. Phép trừ hai đa thức một biến

Để trừ hai đa thức một biến, ta làm một trong hai cách sau:

- Cách 1:Nhóm các đơn thức cùng lũy thừa của biến rồi thực hiện phép trừ.

- Cách 2: Sắp xếp các đơn thức của hai đa thức cùng theo lũy thừa giảm dần (hoặc tăng dần) của biến rồi đặt phép tính theo cột dọc tương ứng sao cho lũy thừa giống nhau ở hai đa thức thẳng cột với nhau rồi thực hiện trừ theo cột.

Ví dụ: Cho P(x) = 9x2 – 2x + 4 và Q(x) = –x2 + 3x – 7. Hãy tính hiệu của P(x) và Q(x) bằng hai cách.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Nhóm các đơn thức cùng lũy thừa của biến rồi thực hiện phép tính.

P(x) + Q(x) = 9x2 – 2x + 4 – (–x2 + 3x – 7)

= 9x2 – 2x + 4 + x2 – 3x + 7

= (9x2 + x2) + (– 2x – 3x) + (4 + 7)

= 10x2 – 5x + 11

Cách 2: Đặt phép tính theo cột dọc.

$\frac{\begin{array}{c}\_P\left(x\right)=9x^2–2x+4\\ Q\left(x\right)=–x^2+3x-7\end{array}}{P\left(x\right)-Q\left(x\right)=10x^2-5x+11}$

3. Tính chất của phép cộng đa thức một biến

Tính chất: Cho A, B, C là các đa thức một biến với cùng một biến số.

-Tính chất giao hoán: A + B = B + A;

-Tính chất kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C.

Ví dụ: Thực hiện phép tính (2x – 1) + [(x2 + 3x) + (2 – 2x)].

Hướng dẫn giải:

(2x – 1) + [(x2 + 3x) + (2 – 2x)] = (2x – 1) + [(2 – 2x) + (x2 + 3x)]

= [(2x – 1) + (2 – 2x)] + (x2 + 3x)

= (2x – 1 + 2 – 2x) + (x2 + 3x)

= 1 + (x2 + 3x)

= x2 + 3x + 1.

Bài tập Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Bài 1. Cho f (x) = x5 − 3x4 + x2 − 5 và g (x) = 2x4 +7x3 − x2 + 6. Tính hiệu f(x) − g(x) rồi sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến.

Hướng dẫn giải:

Ta có: f(x) − g(x) = (x5 − 3x4 + x2 −5) – (2x4 + 7x3 − x2 + 6)

= x5 − 3x4 + x2 − 5 – 2x4 – 7x3 + x2 – 6

= x5 + (−3x4 − 2x4) – 7x3 + (x2 + x2) + (− 5− 6)

= x5 − 5x4 − 7x3 + 2x2 −11.

Vậy hiệu f(x) − g(x) và sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến ta được:

11 + 2x2 −7x3 − 5x4 + x5.

Bài 2: Tìm đa thức h(x) biết f(x) − h(x) = g(x).

Trong đó: f(x) = x2 + x + 1; g(x) = 4 − 2x3 + x4 + 7x5.

Hướng dẫn giải:

Ta có: f(x) − h(x) = g(x).

Suy ra: h(x) = f(x)− g(x).

= (x2 + x + 1) – (4 − 2x3 + x4 + 7x5)

= x2 + x + 1 – 4 + 2x3 – x4 – 7x5

= −7x5− x4 + 2x3 + x2 + x – 3.

Vậy h(x) = −7x5− x4+ 2x3 + x2 + x – 3.

Bài 3. Cho hai đa thức f(x) = 3x2 + 2x − 5 và g(x) = −3x2 − 2x + 2. Tính h(x) = f(x) + g(x) và tìm bậc của h(x).

Hướng dẫn giải:

Ta có: h(x) = f (x) + g (x)

= (3x2 + 2x− 5) + (−3x2 − 2x + 2)

= 3x2 + 2x − 5 − 3x2 − 2x + 2

= (3x2 − 3x2) + (2x − 2x) + (−5 + 2) = −3.

Vậy h(x) = −3 và bậc của h(x) là 0.

Bài 4: Cho hai đa thức f(x) = 5x4 + x3 − x2 + 1 và g(x) = −5x4 − x2 + 2.

Tính k(x) = f(x) − g(x) và tìm bậc của k(x).

Hướng dẫn giải:

Ta có: k(x) = f(x) − g(x)

= (5x4 + x3 − x2 + 1) −(−5x4 − x2 + 2)

= 5x4 + x3 − x2 + 1 + 5x4 + x2 − 2

= (5x4 + 5x4) + x3 + (−x2 +x2) + (1 − 2)

= 10x4 + x3 – 1.

Vậy k(x) =10x4 + x3 − 1và bậc của k(x) là 4.