Lý thuyết Số vô tỉ. Căn bậc hai số học (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 1: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

Video giải Toán 7 Bài 1: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

1. Biểu diễn thập phân của một số hữu tỉ

Với một số hữu tỉ $\frac{a}{b}$, ta chỉ có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu $\frac{a}{b}$ bằng một phân số thập phân thì kết quả của phép chia $\frac{a}{b}$ là số thập phân bằng với phân số thập phân đó.

Ví dụ:

$\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=0,4$;  $\frac{3}{25}=\frac{12}{100}=0,12$.

Khi đó, các số 0,4 và 0,12 được gọi là số thập phân hữu hạn.

Trường hợp 2: Nếu $\frac{a}{b}$ không bằng bất cứ phân số thập phân nào thì kết quả của phép chia $\frac{a}{b}$ không bao giờ dừng và có chữ số hoặc cụm chữ số sau dấu phẩy lặp đi lặp lại.

Ví dụ:

a) Ta thực hiện phép chia 5 : 12 = 0,41666…; số 6 được lặp đi lặp lại mãi mãi.

 Khi đó, ta viết  $\frac{5}{12}=0,\mathrm{41666...}=0,41\left(6\right)$.

b) Ta thực hiện phép chia 7 : 30 = 0,2333… ; chữ số 3 lặp đi lặp lại mãi mãi.

Khi đó, ta viết  $\frac{7}{30}=0,\mathrm{2333...}=0,2\left(3\right)$.

Do đó các số 0,41(6); 0,2(3) gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn và chữ số lặp đi lặp lại như (6); (3) được gọi là chu kì.

Chú ý: Số 0,41(6) đọc là 0,41 chu kì 6 ; số 0,2(3) đọc là 0,2 chu kì 3.

• Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ: $\frac{12}{25}=\frac{48}{100}=0,48$;  $\frac{10}{9}=1,\left(1\right)$

2. Số vô tỉ

– Số thập phân vô hạn mà ở phần thập phân của nó không có một chu kì nào cả được gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

– Mỗi số thập phân vô hạn không tuần hoàn là biểu diễn thập phân của một số, số đó gọi là số vô tỉ.

– Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là ?.

Ví dụ:

a) Với x2 = 2 người ta tính được x = 1,414213562… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Vậy x = 1,414213562… là số vô tỉ.

b) Số Pi (π) là tỉ số giữa chu vi của một đường tròn với độ dài đường kính của đường tròn đó.

Người ta tính được π = 3,141592653… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Vậy π là một số vô tỉ.

3. Căn bậc hai số học

– Căn bậc hai số học của số a không âm là số x không âm sao cho x2 = a.

Ta dùng kí hiệu $\sqrt{a}$ để chỉ căn bậc hai số học của a.

– Một số không âm a có đúng một căn bậc hai số học.

Chú ý:

– Số âm không có căn bậc hai số học.

– Ta có $\sqrt{a}$ ≥ 0 với mọi số a không âm.

– Với mọi số a không âm, ta luôn có ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$, ví dụ như ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$.

– Ta có $\sqrt{2}$ là độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1.

Ví dụ: $\sqrt{4}=2$ ; $\sqrt{81}=9$ ; $\sqrt{0}=0$.

4. Tính căn bậc hai số học bằng máy tính cầm tay

Ta có thể tính giá trị (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai số học của một số nguyên dương bằng máy tính cầm tay.

Ví dụ: Dùng máy tính cầm tay ta tính $\sqrt{8}$ và $\sqrt{2250}$ như sau:

Vậy $\sqrt{8}$ ≈ 2,828427125; $\sqrt{2250}$ ≈ 47,4341649.

B. Bài tập tự luyện

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Số − 9 có mấy căn bậc hai?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số âm không có căn bậc hai nên số −9 không có căn bậc hai.

Vậy chọn phương án A.

Câu 2. Trong các số $\frac{2}{11};0,\mathrm{232323...};0,\mathrm{20022...};\sqrt{\frac{1}{4}}$ , số vô tỉ là:

A. $\frac{2}{11}$;                  

B. 0,232323…;    

C.0,20022…;                 

D. $\sqrt{\frac{1}{4}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

• $\frac{2}{11}=0,\left(18\right)$.

Vậy $\frac{2}{11}$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên $\frac{2}{11}$ là số hữu tỉ không phải là số vô tỉ.

• Số 0,232323… là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên 0,232323… là số hữu tỉ không phải số vô tỉ.

• 0,20022… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên 0,20022… là số vô tỉ.

$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0,5$. Vì 0,5 là số thập phân hữu hạn nên $\sqrt{\frac{1}{4}}$ là số hữu tỉ không phải là số vô tỉ.

Vậy chọn phương án C.

Câu 3. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\sqrt{0,36}=0,6$;

B. $\sqrt{{\left(-6\right)}^2}=6$;

C. $\sqrt{150}=\sqrt{100}+\sqrt{50}$;

D. $\sqrt{\frac{81}{225}}=\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có

• $\sqrt{0,36}=0,6$ nên phương án A đúng.

• $\sqrt{{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{36}=6$ nên phương án B đúng.

• Sử dụng máy tính cầm tay ta có $\sqrt{150}$= 12,247…; $\sqrt{100}$+ $\sqrt{50}$=17,071…

Vì 12,247… ¹ 17,071… nên $\sqrt{150}$¹ $\sqrt{100}$+ $\sqrt{50}$.

Do đó, phương án C sai.

•$\sqrt{\frac{81}{225}}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$  nên phương án D đúng.

Vậy chọn phương án C.

2. Bài tập tự luận

Bài 1: Hãy biểu diễn các số hữu tỉ sau dưới dạng số thập phân $\frac{11}{40};\frac{14}{25};\frac{2}{3};-\frac{4}{3}$ Hãy chỉ ra số nào là số thập hữu hạn, số nào là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{11}{40}=\frac{275}{1000}=0,275$. Số 0,275 là số thập phân hữu hạn.

Ta có: $\frac{14}{25}=\frac{56}{100}=0,56$. Số 0,56 là số thập phân hữu hạn.

Ta có: $\frac{2}{3}=0,\left(6\right)$. Số 0,(6) là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 6.

Ta có: $-\frac{4}{3}=-1,\left(3\right)$. Số –1,(3) là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 3.

Vậy các số thập phân hữu hạn là $\frac{11}{40}$; $\frac{14}{25}$ và các số thập phân vô hạn tuần hoàn là $\frac{2}{3}$; $\frac{-4}{3}$

Bài 2: Tính:

a) $\sqrt{16}$;

b) $\sqrt{{(-12)}^2}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{16}=4$ (vì 4 > 0 và 42 =16).

b) Ta có: $\sqrt{{(-12)}^2}=\sqrt{144}=12$ (vì 12 > 0 và 122 = 144).

Bài 3: Hãy dùng máy tính cầm tay tính $\sqrt{5}$; $\sqrt{625}$.

Hướng dẫn giải

Sử dụng máy tính cầm tay ta bấm liên tiếp các nút như sau:

Vậy $\sqrt{5}$ ≈ 2,2360679 và $\sqrt{625}$ = 25.

Bài 4. Sau khi sơn tường cho một bức tường hình vuông bác Minh phải trả cho thợ sơn số tiền là 1 600 000 đồng. Biết công thợ sơn cho 1 m2 là 25 000 đồng. Tính độ dài cạnh bức tường đó.

Hướng dẫn giải

Diện tích bức tường cần sơn là:

1 600 000 : 25 000 = 64 (m2)

Diện tích của hình vuông có cạnh a (m) là a2 (m2).

Bức tường hình vuông có diện tích là 64 m2 nên ta có a2 = 64.

Vì cạnh hình vuông nên a không thể âm, do đó a là căn bậc hai số học của 64.

Ta có 82 = 64 và 8 > 0 nên $\sqrt{64}=8$.

Suy ra a = 8 (m).

Vậy độ dài cạnh bức tường hình vuông đó là 8 m.