Lý thuyết Đa thức một biến (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 7

L

ý thuyết Toán lớp 7 Bài 2: Đa thức một biến

Lý thuyết Đa thức một biến

1. Đa thức một biến

Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và biến đó.

Ví dụ: 6t; –7; 2z4; 2022y2; –3x2 là những đơn thức một biến.

Ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia đơn thức cùng một biến.

Ví dụ: 2x + 3x = 5x; 3y – 7y = –4y; 2t. 3t2 = 6t3

- Đa thức một biến là tổng của những đơn thức cùng một biến. Đơn thức một biến cũng là đa thức một biến.

Ví dụ:

- A = 5x5 + 3x3 + 2x2 + x. Đa thức A là đa thức một biến (biến x).

- B =– 8y + 2y2 + 1. Đa thức B là đa thức một biến (biến y).

- C = 5 – 2t + 4t2 + 9t4. Đa thức C là đa thức một biến (biến t).

- D = 2 thì ta có thể viết C = 0x + 2 nên C cũng là đa thức một biến.

Quy ước: P = 0 được gọi là đa thức không.

2. Cách biểu diễn đa thức một biến

- Để thuận tiện cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, ta thường viết đa thức đó thành đa thức thu gọn và sắp xếp các đơn thức của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

- Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Ví dụ: Thu gọn đa thức: P = 2x2 + 3x + 2x – 4 + x2. Tìm bậc và hệ số cao nhất của đa thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có: P = 2x2 + 3x + 2x – 4 + x2

= (2x2 + x2) + (3x + 2x) – 4

= 3x2 + 5x – 4.

Trong đa thức trên, số mũ cao nhất của x là 2 nên bậc của đa thức là 2.

Hệ số của x2 là 3, gọi là hệ số cao nhất.

Vậy đa thức thu gọn của đa thức P là đa thức 3x2 + 5x – 4 hoặc đa thức – 4 + 5x + 3x2. Bậc của đa thức P(x) là 2, hệ số cao nhất là 3.

Chú ý:

- Số thực khác 0 được gọi là đa thức bậc 0.

- Số 0 được gọi là đa thức không có bậc.

Ví dụ: Các số −3; $\frac{-1}{2}$; 1; $2\frac{1}{3}$ được gọi là đa thức bậc 0.

3. Giá trị của đa thức một biến

Để tính giá trị của đa thức một biến ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Thay chữ bởi giá trị số đã cho (chú ý các trường hợp phải đặt số trong dấu ngoặc);

- Bước 2: Thực hiện các phép tính (chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: thực hiện phép lũy thừa, rồi đến phép nhân chia, sau đó là phép cộng trừ).

Ví dụ: Tính giá trị của đa thức A (x) = 2x4 – 8x2 + 5x – 7 khi x = 3.

Hướng dẫn giải:

Thay x = 3 vào đa thức trên, ta được:

A = 2x4 – 8x2 + 5x – 7

= 2.34 – 8.32 + 5.3 – 7

= 2.81 – 8.9 + 15 – 7

= 162 – 72 + 15 – 7 = 98.

Vậy khi x = 3 thì giá trị của đa thức A(x) là 98.

4. Nghiệm của đa thức một biến

Nếu đa thức P(x) có giá trị bằng 0 tại x = a thì ta nói a hoặc x = a là một nghiệm của đa thức đó.

Chú ý:

- Một đa thức (khác đa thức không) có thể có 1; 2; 3; ...; n nghiệm hoặc không có nghiệm nào.

- Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vượt qua bậc của nó.

Ví dụ 1: Nêu các nghiệm của đa thức sau:

a) P(x) = 2x + 4;

b) M(t) = t2 – 4x + 3.

Hướng dẫn giải:

a) x = – 2 là một nghiệm của đa thức P(x) = 2x + 4 vì P(–2) = 2. (–2) + 4 = 0.

b) Đa thức M(t) = t2 – 4x + 3 có các nghiệm là t = 1 và t = 3 vì:

M(1) = 12 – 4. 1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 0;

M(3) = 32 – 4. 3 + 3 = 9 – 12 + 3 = 0.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của đa thức P(y) = 2y + 6.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 2y + 6 = 0

2y = −6

y = (−6): 2

y = −3

Vậy nghiệm của đa thức P(y)là –3.

Bài tập Đa thức một biến

Bài 1. Tính giá trị của đa thức Q(y) = 3y4 + 4y2 – 5 khi y = $\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $Q\left(\frac{1}{2}\right)$ = $3.{\left(\frac{1}{2}\right)}^4+4.{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-5$

$=3.\frac{1}{16}+4.\frac{1}{4}-5=\frac{3}{16}+1-5$

$=\frac{3}{16}-4=\frac{-61}{16}$.

Vậy giá trị của Q(y) khi y =$\frac{1}{2}$ là $\frac{-61}{16}$.

Bài 2: Cho hai đa thức f(x) = 4x4 – 2ax2 + (a + 1).x + 2 và g(x) = 2ax + 5.

Tìm a để f(1) = g(2).

Hướng dẫn giải:

Ta có: f(1) = 4.14 – 2a.12 + (a + 1). 1 + 2

= 4 – 2a + a + 1 + 2

= 7 – a.

g(2) = 2a.2 + 5 = 4a + 5.

Để f(1) = g(2) thì:

7 – a = 4a + 5

5a = 2

a = $\frac{2}{5}$

Vậy a = $\frac{2}{5}$.

Bài 3. Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đa thức một biến:

3xy2 + xy; $\frac{1}{2}x+4$; x3 + 3z; x4 – 6x + 7; 1 + 4.23.

Hướng dẫn giải:

Ta xét các đa thức sau:

3xy2 + xy là đa thức hai biến x và y;

$\frac{1}{2}x+4$ là đa thức biến x;

x3 + 3z là đa thức hai biến x và z;

x4 – 6x + 7 là đa thức biến x;

1 + 4.23 là đa thức không chứa biến.

Vậy các đa thức một biến là: $\frac{1}{2}x+4$; x4 – 6x + 7.

Bài 4: Cho đa thức P(x) = 7 + 4x2 + 3x3 – 6x + 4x3 – 5x2.

a) Hãy viết đa thức thu gọn của đa thức P và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm dần của biến;

b) Xác định bậc của P(x) và tìm các hệ số.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: P = 7 + 4x2 + 3x3 – 6x + 4x3 – 5x2

= (3x3 + 4x3) + (4x2 – 5x2) – 6x + 7

= 7x3 – x2 – 6x + 7.

b) Trong đa thức trên, số mũ cao nhất của x là 3 nên đa thức P(x) có bậc là 3.

Hệ số của x3 là 7, gọi là hệ số cao nhất. Hệ số của x2 là – 1; hệ số của x là – 6 và 7 là hệ số tự do.