Lý thuyết Hình học trực quan. Các hình khối trong thực tiễn (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Chương 3: Hình học trực quan. Các hình khối trong thực tiễn

A. Lý thuyết Toán 7 Chương 3: Hình học trực quan. Các hình khối trong thực tiễn

1. Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật (Hình a) có 6 mặt là hình chữ nhật gồm hai mặt đáy (mặt 1 và mặt 2), và bốn mặt bên (mặt 3, mặt 4, mặt 5 và mặt 6).

Ví dụ:

Hình hộp chữ nhật ABCD. EFGH (hình vẽ trên) có:

– Tám đỉnh: A, B, C, D, E, F, G, H.

– Mười hai cạnh: AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, DH.

– Ba góc vuông ở mỗi đỉnh. Chẳng hạn, 3 góc vuông ở đỉnh A: góc EAD, góc EAB, góc BAD.

– Bốn đường chéo: AG, BH, CE, DF.

2. Hình lập phương

Hình lập phương có 6 mặt đều là hình vuông.

Ví dụ:

Hình lập phương ABCD. MNPQ có:

– Tám đỉnh: A, B, C, D, M, N, P, Q.

– Mười hai cạnh bằng nhau: AB, BC, CD, DA, MN, NP, PQ, QM, AM, BN, CP, DQ.

– Ba góc vuông ở mỗi đỉnh. Chẳng hạn, 3 góc vuông ở đỉnh A: góc MAD, góc MAB, góc BAD.

– Bốn đường chéo: AP, BQ, CM, DN.

3. Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích

Ví dụ: Diện tích xung quanh và thể tích của hình lập phương có độ dài cạnh là 10 cm lần lượt là:

Sxq = 4 . a2 = 4 . 102 = 400 (cm2);

V = a3 = 103 = 1000 (cm3).

4. Một số bài toán thực tế

Ví dụ: Bác Long có một căn phòng hình hộp chữ nhật có một cửa ra vào và một cửa sổ hình vuông với các kích thước như hình dưới. Hỏi bác Long cần trả bao nhiêu chi phí để sơn bốn bức tường xung quanh của căn phòng này (không sơn cửa)? Biết rằng để sơn mỗi mét vuông tốn 30 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải

Để tính được số tiền bác Long dùng để sơn căn phòng ta phải tính được diện tích phần cần sơn.

Diện tích phần cần sơn = Diện tích xung quanh của căn phòng – Diện tích các cửa.

Diện tích xung quanh của căn phòng là:

Sxq = 2. (5 + 6) . 3 = 66 (m2).

Diện tích phần cửa lớn và cửa sổ là:

1,2 . 2 + 1 . 1 = 3,4 (m2)

Diện tích phần cần sơn là:

66 – 3,4 = 62,6 (m2).

Tổng chi phí cần để sơn là:

62,6. 30 000 = 1 878 000 (đồng).

Vậy bác Long cần 1 878 000 đồng để sơn bốn bức tường xung quanh của căn phòng này.

Ví dụ: Bạn Ngọc muốn làm một hộp quà hình lập phương có kích thước cạnh là 30 cm bằng tấm bìa. Em hãy tính diện tích phần tấm bìa cần dùng và thể tích của hộp quà.

Hướng dẫn giải

Hộp quà hình lập phương nên ta có:

Diện tích tấm bìa cần dùng sẽ bằng diện tích xung quanh của hình lập phương cộng với diện tích hai mặt đáy.

Diện tích xung quanh của hộp quà là:

Sxq = 4 . 302 = 3 600 (cm2).

Diện tích đáy của hình lập phương là:          

30 . 30 = 900 (cm2).

Vậy diện tích hai đáy của hình lập phương là:

2. 900 = 1 800 (cm2).

Diện tích tấm bìa cần dùng để làm hộp quà là:

3 600 + 1 800 = 5 400 (cm2).

Thể tích của hộp quà là 

V = 303 = 27 000 (cm3).

Vậy diện tích tấm bìa cần dùng là 5 400 cm2 và thể tích của hộp quà là 27 000 cm3.

5. Hình lăng trụ đứng tam giác, hình lăng trụ đứng tứ giác

– Hình có ba mặt bên là hình chữ nhật và hai mặt đáy là hình tam giác được gọi là hình lăng trụ đứng tam giác.

– Hình có bốn mặt bên là hình chữ nhật và hai mặt đáy là hình tứ giác được gọi là hình lăng trụ đứng tứ giác.

Ví dụ:

a) Hình ABC.DEF là hình lăng trụ đứng tam giác.

• A, B, C, D, E, F gọi là các đỉnh.

• Ba mặt bên ACFD, BCFE, ABED là các hình chữ nhật.

• Các đoạn thẳng AD, BE, CF bằng nhau và song song với nhau, chúng gọi là các cạnh bên.

• Mặt ABC và mặt DEF song song với nhau và được gọi là hai mặt đáy (gọi tắt là đáy).

• Độ dài cạnh AD được gọi là chiều cao của hình lăng trụ.

b) Hình ABCD.EFGH là hình lăng trụ đứng tứ giác

• Hai mặt đáy là tứ giác ABCD và EFGH.

• Các mặt bên ABFE, BCGF, CDHG, ADHE đều là các hình chữ nhật.

Chú ý: Hình hộp chữ nhật, hình lập phương là lăng trụ đứng tứ giác.

6. Tạo lập hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác

Ví dụ: Tạo lập hình lăng trụ đứng tam giác có kích thước ba cạnh đáy là 2 cm, 3 cm, 4 cm và chiều cao 3,5 cm. 

Hướng dẫn giải

– Trên một tấm bìa vẽ ba hình chữ nhật và hai tam giác với kích thước như hình a.

– Cắt miếng bìa như hình vẽ rồi gấp theo các đường nét đứt, ta được hình lăng trụ đứng tam giác như hình b.

 

7. Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.

Sxq = Cđáy . h

(Cđáy là chu vi đáy, h là chiều cao).

Chú ý: Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.

Ví dụ: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF sau:

Hướng dẫn giải

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF là:

Sxq = Cđáy . h = (3 + 4 + 5 ) . 7 = 84 (cm2).

Diện tích một đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF là: 

Sđáy =  $\frac{1}{2}.3.4=6$ (cm2)

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF là:

84 + 2. 6 = 96 (cm2)

Vậy diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF lần lượt là 84 cm2 và 96 cm2.

8. Thể tích của hình lăng trụ đứng

Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

V = Sđáy . h

(Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao).

Ví dụ: Tính thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình chữ nhật chiều rộng là 3 cm, chiều dài là 4 cm, và chiều cao của lăng trụ là 5,5 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có đáy là hình chữ nhật nên diện tích đáy là:

Sđáy = 3 . 4 = 12 (cm2)

Thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác đó là: 

V = Sđáy . h = 12 . 5,5 = 66 (cm3).

Vậy thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác đó là 66 cm3.

9. Diện tích xung quanh và thể tích của một số hình khối trong thực tiễn

Ví dụ: Một tấm lịch để bàn có dạng hình lăng trụ đứng tam giác. Tính diện tích xung quanh của tấm lịch.

Hướng dẫn giải

Diện tích xung quanh của tấm lịch để bàn là:

Sxq = Cđáy . h = (7 + 15 + 15) . 16 = 592 (cm2)

Vậy diện tích xung quanh của tấm lịch là 592 cm2.

Ví dụ: Để thi công một con dốc, người ta đúc một khối bê tông hình lăng trụ đứng tam giác có kích thước như hình sau.

Hãy tính thể tích của khối bê tông.

Hướng dẫn giải

Diện tích đáy của hình lăng trụ đứng tam giác là:

Sđáy = $\frac{1}{2}.7.24$ = 84 (m2).

Thể tích của khối bê tông là:

V = Sđáy . h = 84 . 22 = 1 848 (m3).

Vậy thể tích của khối bê tông là 1 848 m3.

B. Bài tập tự luyện

B.1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.EGH, biết GH = 4 cm. SBCHG = 36 cm2. Chiều cao của lăng trụ là:

A. 32 cm;

B. 9 cm;

C. 40 cm;

D. 10 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì ABC.EGH là lăng trụ đứng tam giác nên mặt bên BCHG là hình chữ nhật.

Do đó SBCHG = GH. CH = 36 cm2

Mà GH = 4 cm nên CH = SBCHG : GH = 36 : 4 = 9 (cm).

Chiều cao của hình lăng trụ đứng là độ dài một cạnh bên, mà CH là cạnh bên của hình lăng trụ này.

Vậy chiều cao của lăng trụ đứng ABC.EGH là 9 cm.

Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông, chiều cao bằng 20 cm và diện tích xung quanh bằng 64 cm2. Cạnh đáy của hình lăng trụ đứng đó là:

A. 3,2 cm;

B. ± 4 cm;

C. 4 cm;

D. 16 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ đứng là a (cm) (a > 0).

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng đó là:

Sxq = 4 . a2

Do đó 64 = 4 . a2

a2 = 16

nên a = 4 hoặc a = –4.

Mà a > 0 nên a = 4 (cm).

Vậy độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ đứng đó là 4 cm.

Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ với đáy là hình thoi có độ dài hai đường chéo là 5 cm và 10 cm. Biết thể tích của hình lăng trụ đứng tứ giác là 160 cm3. Chiều cao của hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ là:

A. 32 cm;

B. 8 cm;

C. 6,4 cm;

D. 10 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Diện tích đáy (hình thoi) của hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ là:

$\frac{1}{2}$. 5 . 10 = 25 (cm2)

Chiều cao của hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ là:

160 : 25 = 6,4 (cm)

Vậy chiều cao của hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ là 6,4 cm.

Câu 4. Mảnh bìa dưới đây có thể gấp thành hình gì?

A. Hình lập phương;

B. Hình hộp chữ nhật;

C. Hình chữ nhật;

D. Hình thoi.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Sau khi gấp miếng bìa đã cho

Ta hình hộp chữ nhật như sau:

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 5. Trong hình dưới đây có bao nhiêu hình lập phương, bao nhiêu hình hộp chữ nhật?

A. 2 hình lập phương, 3 hình hộp chữ nhật;

B. 1 hình lập phương, 3 hình hộp chữ nhật;

C. 2 hình lập phương, 2 hình hộp chữ nhật;

D. 0 hình lập phương, 4 hình hộp chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Quan sát hình ta thấy không có hộp quà có dạng hình lập phương, có 4 hộp quà có dạng hình hộp chữ nhật đó là: hộp quà màu hồng nhạt, hộp quà màu xanh lam, hộp quà màu đỏ, hộp quà màu xanh lá cây.

Vậy chọn phương án D.

Câu 6. Trong các mảnh bìa dưới đây có mấy mảnh bìa có thể gấp thành một hình lập phương?

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hình 3 và Hình 4 là hai mảnh bìa có thể gấp thành hình lập phương.

Vậy chọn phương án A.

Câu 7. Một hình hộp chữ nhật có thể tích 7,5 cm3, chiều dài 2,5 cm và chiều rộng bằng  chiều dài. Chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là:

A. 1,5 cm;

B. 0,72 cm;

C. 5 cm;

D. 2 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật đó là:

2,5 . $\frac{3}{5}$ = 1,5 (cm)

Chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là:

7,5 : 1,5 : 2,5 = 2 (cm)

Vậy chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là 2 cm.

Câu 8. Độ dài cạnh của hình lập phương có thể tích bằng 729 cm3 là:

A. 9 cm;

B. 10 cm;

C. 27 cm;

D. 3 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi độ dài cạnh của hình lập phương là a (cm) (a > 0).

Thể tích của hình lập phương là: V = a3 = 729 (cm3).

Hay a3 = 93.

Suy ra a = 9 (thỏa mãn).

Vậy độ dài cạnh của hình lập phương là 9 cm.

Câu 9. Một thùng bánh có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 30 cm, chiều rộng 20 cm và chiều cao 15 cm. Người ta đựng những hộp bánh có dạng hình lập phương có cạnh 10 cm vào trong thùng đó. Hỏi thùng đó đựng được bao nhiêu hộp bánh:

A. 9 hộp;

B. 7 hộp;

C. 10 hộp;

D. 11 hộp.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Thể tích của thùng bánh là:

30 . 20 . 15 = 9 000 (cm3)

Thể tích của mỗi hộp bánh là:

103 = 1 000 (cm3)

Thùng đó đựng được số hộp bánh là:

9 000 : 1 000 = 9 (hộp)

Vậy thùng đó đựng được 9 hộp bánh.

Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.DEF biết AB = 3 cm; AC = 4 cm; BC = 5 cm. Chu vi tam giác DEF là:

A. 10 cm;

B. 11 cm;

C. 12 cm;

D. 13 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF như hình vẽ dưới đây:

Mặt bên ABED là hình chữ nhật nên AB = DE = 3 cm;

Mặt bên ACFD là hình chữ nhật nên AC = DF = 4 cm;

Mặt bên BCFE là hình chữ nhật nên BC = EF = 5 cm;

Chu vi tam giác DEF là:

DE + DF + EF = 3 + 4 + 5 = 12 (cm).

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 11. Cho hình bên.

Hình lăng trụ đứng tam giác với kích thước như hình bên được tạo lập từ tấm bìa nào trong các tấm bìa sau đây:

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta xét các phương án:

• Xét phương án A: Chỉ có một tam giác để tạo lâp lên mặt đáy là tam giác nên tấm bìa này không tạo lập được hình lăng trụ tam giác.

• Xét phương án B:

Quan sát hình lăng trụ đứng tam giác ta thấy mặt đáy là tam giác có độ dài ba cạnh là 3 cm, 5 cm và 6 cm.

Mà tấm bìa trong phương án B ta thấy tam giác có độ dài ba cạnh là 3 cm, 5 cm và 10 cm.

Do đó tấm bìa này không tạo lập được hình lăng trụ tam giác cần tạo lập.

• Xét phương án C: Có 4 hình chữ nhật nên tạo lập được 4 mặt bên do đó tấm bìa này không tạo lập được hình lăng trụ tam giác.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 12. Cho tấm bìa sau:

Khi gấp tấm bìa lại theo đường nét đứt, ta được hình lăng trụ đứng nào trong các hình lăng trụ đứng dưới đây:

A. 

B. 

C. 

D. 

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

+ Ta thấy mặt đáy có màu xanh biển và không có tấm bìa nào màu xanh lá cây.

Do đó ta loại phương án C và D.

+ Theo thứ tự từ trái sang phải thì các hình chữ nhật có màu sắc lần lượt là: màu xanh da trời, không màu, màu hồng, màu vàng.

Do đó khi tạo lập lên hình lăng trụ đứng tứ giác thì ta cũng được các mặt bên có thứ tự màu như vậy.

Tức là nếu ta đặt mặt không màu là “mặt sau”, mặt màu xanh da trời là “mặt bên tay trái” thì:

• “Mặt trước” sẽ là mặt màu vàng;

• “Mặt bên tay phải” sẽ là mặt màu hồng.

Vậy ta chọn phương án B.

B.2. Bài tập tự luận

Bài 1. Quan sát hình hộp chữ nhật ABCD.MNKH trong hình dưới đây:

a) Nêu các cạnh và đường chéo.

b) Nêu các góc ở đỉnh K và đỉnh H.

c) Kể tên các cạnh bằng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Các cạnh của hình hộp chữ nhật ABCD.MNKH là: AB, BC, CD, DA, MN, NK, KH, HM, AM, BN, CK, DH.

Các đường chéo của hình hộp chữ nhật ABCD.MNKH là: AK, BH, CM, DN.

b) Các góc ở đỉnh K là: góc CKH, góc CKN, góc HKN.

Các góc ở đỉnh H là: góc DHM, góc DHK, góc KHM.

c) Các cạnh bằng nhau:

• AB = CD = HK = MN;

• AD = BC = NK = MH;

• AM = BN = CK = DH.

Bài 2. Cho hình lập phương EFGH.MNPQ.

a) Biết PQ = 5 cm. Độ dài các cạnh HG, HQ bằng bao nhiêu?

b) Nêu tên các đường chéo của hình lập phương đó.

Hướng dẫn giải

a) Vì EFGH. MNPQ là hình lập phương nên các cạnh của hình lập phương bằng nhau.

Do đó HQ = HG = PQ = 5 cm.

Vậy HQ = HG = 5 cm.

b) Các đường chéo của hình lập phương EFGH.MNPQ là: EP, FQ, GM, HN.

Bài 3. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật có chiều dài là 10 cm, chiều rộng là 7 cm và chiều cao là 5 cm.

Hướng dẫn giải

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:

Sxq = 2 . (10 + 7) . 5 = 170 (cm2).

Thể tích của hình hộp chữ nhật là:

V = 10 . 7 . 5 = 350 (cm3).

Vậy diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật lần lượt là 170 cm2 và 350 cm3.

 Bài 4. Một chiếc bánh kem có dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài 30 cm, chiều rộng 20 cm, chiều cao 15 cm. Người ta cắt đi một miếng bánh có dạng hình lập phương cạnh 5 cm. Tính thể tích phần còn lại của chiếc bánh kem.

Hướng dẫn giải

Thể tích của chiếc bánh kem khi chưa bị cắt là:

30 . 20 . 15 = 9 000 (cm3)

Thể tích phần bánh kem bị cắt đi là:

53 = 125 (cm3).

Thể tích phần còn lại của chiếc bánh kem là:

9 000 – 125 = 8 875 (cm3).

Vậy thể tích phần còn lại của chiếc bánh kem là 8 875 cm3.

Bài 5. Quan sát hình lăng trụ đứng tam giác sau:

a) Chỉ ra hai mặt đáy và các mặt bên của hình lăng trụ đứng tam giác.

b) Những cạnh nào có độ dài bằng độ dài của cạnh AD?

Hướng dẫn giải

a) Hai mặt đáy là tam giác ABC và tam giác DEF.

Các mặt bên là các hình chữ nhật ABED, BCFE, ACFD.

b) Hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF có các mặt bên: ABED, ACFD đều là hình chữ nhật.

Suy ra: AD = BE; AD = CF.

Vậy các cạnh có độ dài bằng độ dài cạnh AD là BE và CF .

Bài 6. Tạo lập hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình vuông cạnh 3 cm và chiều cao 5 cm.

Hướng dẫn giải

– Vẽ lên tấm bìa bốn hình chữ nhật có chiều dài là 5 cm, chiều rộng là 3 cm và hai hình vuông có cạnh là 3 cm như hình vẽ,

– Cắt tấm bìa và gấp các cạnh BF, CG, DH, DA’, HE’ sao cho AE trùng với A'E' và các cạnh còn lại của hình vuông trên trùng với các cạnh AB, BC, CD; các cạnh còn lại của hình vuông dưới trùng với các cạnh EF, FG, GH.

Khi đó, ta được hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.EFGH có đáy là hình vuông cạnh là 3 cm và chiều cao là 5 cm.

Bài 7. Một chiếc hộp có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với các kích thước như hình vẽ sau.

Hãy tính diện tích xung quanh của chiếc hộp.

Hướng dẫn giải

Ta có chu vi đáy của hình lăng trụ đứng tam giác là:

Cđáy = 10 + 13 + 15 = 38 (cm)

Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tam giác là:

Sxq = Cđáy . h = 38 . 20 = 760 (cm2).

Vậy diện tích xung quanh của chiếc hộp là 760 cm2.

Bài 8. Lòng trong của một chiếc bể chứa nước có dạng hình lăng trụ đứng tứ giác, đáy là hình vuông có cạnh bằng 5 m, chiều cao của bể là 2,5 m. Hỏi bể chứa tối đa được bao nhiêu lít nước.

Hướng dẫn giải

Thể tích nước tối đa bể chứa được bằng thể tích của lòng trong của bể.

Lòng trong của bể hình lăng trụ đứng đáy là hình vuông nên ta có:

Sđáy = 5 . 5 = 25 (m2)

Thể tích lòng trong của bể là:

V = Sđáy . h = 25 . 2,5 = 62,5 (m3) = 62 500 (l).

Vậy bể chứa tối đa được 62 500 lít nước.