Lý thuyết Luỹ thừa của một số hữu tỉ (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 3: Luỹ thừa của một số hữu tỉ

Video giải Toán 7 Bài 3: Lũy thừa của một số hữu tỉ - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Luỹ thừa của một số hữu tỉ

1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

– Luỹ thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xn , là tích của n thừa số x.

xn =  (x ∈ ℚ, n ∈ ℕ, n >1).

– Ta đọc xn là “x mũ n” hoặc “x luỹ thừa n” hoặc “luỹ thừa bậc n của x”.

– Số x được gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

– Quy ước:

• x1 = x;

• x0 = 1 (x ≠ 0).

Ví dụ: Viết các luỹ thừa sau dưới dạng tích các số:

a) ${\left(\frac{-3}{4}\right)}^2;$

b) (0,8)4.

Hướng dẫn giải

a) ${\left(\frac{-3}{4}\right)}^2$ = $\left(\frac{-3}{4}\right).\left(\frac{-3}{4}\right);$                        

b) (0,8)4 = 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8.

– Chú ý:

Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng $\frac{a}{b}$ (a, b ∈ ℤ, b ≠ 0) ta có:

 ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\underset{nthuaso}{\underbrace{\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\mathrm{...}.\frac{a}{b}}}=\underset{nthuaso}{\underbrace{\stackrel{nthuaso}{\overbrace{\frac{a.a.\mathrm{...}.a}{b.b.\mathrm{...}.b}}}}}=\frac{a^n}{b^n}$

Vậy ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}.$

Ví dụ: Tính:

a) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3$ ;

b) (−0,125)2.

Hướng dẫn giải

a) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3=\frac{1^3}{4^3}=\frac{1}{64}$ ;                            

b) ${\left(-0,125\right)}^2={\left(\frac{-1}{8}\right)}^2=\frac{{(-1)}^2}{8^2}=\frac{1}{64}$ .

2. Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số

– Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.

xm . xn = xm+n

– Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của luỹ thừa bị chia trừ đi số mũ của luỹ thừa chia.

xm : xn = xm – n  (x ¹ 0, m ³ n)

Ví dụ: Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ:

a) (−4,1)5 : (−4,1)3;         

b) ${\left(\frac{3}{5}\right)}^3.{\left(\frac{3}{5}\right)}^4.$

Hướng dẫn giải

a) (−4,1)5 : (−4,1)3 = (−4,1)5 – 3 = (−4,1)2 ;

b) ${\left(\frac{3}{5}\right)}^3.{\left(\frac{3}{5}\right)}^4={\left(\frac{3}{5}\right)}^{3+4}={\left(\frac{3}{5}\right)}^7$ .

3. Luỹ thừa của luỹ thừa

– Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

(xm )n = xm.n

Ví dụ: Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ:

a) ${\left[{\left(-\frac{1}{5}\right)}^2\right]}^3;$

b) ${\left[{\left(0,9\right)}^2\right]}^4.$

Hướng dẫn giải

a) ${\left[{\left(-\frac{1}{5}\right)}^2\right]}^3={\left(-\frac{1}{5}\right)}^{2.3}={\left(-\frac{1}{5}\right)}^6$ ;

b) ${\left[{\left(0,9\right)}^2\right]}^4={\left(0,9\right)}^{2.4}={\left(0,9\right)}^8$ .

B. Bài tập tự luyện

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Rút gọn biểu thức A = $\frac{2^{10}{.3}^{10}-2^{10}{.3}^9}{2^9{.3}^{10}}$  ta được kết quả:

A. A = $\frac{-5}{4}$;

B. A = $\frac{3}{4}$;

C. A = $\frac{4}{3}$;

D. A = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có : A = $\frac{2^{10}{.3}^{10}-2^{10}{.3}^9}{2^9{.3}^{10}}$

$=\frac{2^{10}{.3}^9.(3-1)}{2^9{.3}^{10}}$$=\frac{2^9{\mathrm{.2.3}}^9.2}{2^9{.3}^9.3}=\frac{4}{3}$.

Vậy A = $\frac{4}{3}.$

Ta chọn phương án C.

Câu 2. Khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Kim bằng khoảng 3,82.107 km. Khoảng cách từ Trái Đất đến Mộc Tinh bằng khoảng 5,88.108 km. Chọn khẳng định đúng.

A. Sao Kim gần Trái Đất hơn Mộc Tinh và gần hơn khoảng 54,98.107 km;

B. Mộc Tinh gần Trái Đất hơn Sao Kim và gần hơn khoảng 54,98.107 km;

C. Sao Kim gần Trái Đất hơn Mộc Tinh và gần hơn khoảng 54,98.108 km;

D. Mộc Tinh gần Trái Đất hơn Sao Kim và gần hơn khoảng 54,98.106 km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có 5,88.108 = 58,8.107.

Vì 3,82 < 58,8 nên 3,82.107 < 58,8.107.

Do đó khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Kim gần hơn khoảng cách từ Trái Đất đến Mộc Tinh, tức là Sao Kim gần Trái Đất hơn Mộc Tinh.

Ta có: 58,8.107 – 3,82.107 = (58,8 – 3,82). 107 = 54,98. 107.

Do đó Sao Kim gần Trái Đất hơn Mộc Tinh khoảng 54,98.107 km.

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 3. Sản lượng gạo năm 2008 của Việt Nam bằng khoảng 3,6.107 tấn. Biết sản lượng của Việt Nam ít hơn sản lượng của Indonesia khoảng 2,1.107 tấn. Sản lượng gạo năm 2008 của Indonesia bằng khoảng:

A. 0,57.106 tấn;

B. 5,7.108 tấn;

C. 57.107 tấn;

D. 5,7.107 tấn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Sản lượng gạo năm 2008 của Indonesia bằng khoảng:

3,6.107 + 2,1.107 = (3,6 + 2,1).107 = 5,7.107 (tấn).

Vậy sản lượng gạo năm 2008 của Indonesia bằng khoảng 5,7.107 tấn.

Ta chọn đáp án D.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Tính:

a) $\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^4.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right]:{\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right]}^3;$

b) $3-{\left(-\frac{6}{7}\right)}^0+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2:2;$

c) $\left(1+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right).{\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)}^2.$

Hướng dẫn giải

a) $\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^4.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right]:{\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right]}^3$

$\begin{array}{l}=\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^{4+5}\right]:{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2.3}\\ ={\left(\frac{2}{3}\right)}^9:{\left(\frac{2}{3}\right)}^6\\ ={\left(\frac{2}{3}\right)}^{9-6}={\left(\frac{2}{3}\right)}^3\end{array}$

$=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$

b) $3-{\left(-\frac{6}{7}\right)}^0+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2:2$  

=  $3-1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2.\frac{1}{2}$

=  $2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2+1}$

=  $2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$

= $2+\frac{1^3}{2^3}$

= $2+\frac{1}{8}$

= $\frac{16}{8}+\frac{1}{8}=\frac{17}{8}$ ;

c) $\left(1+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right).{\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)}^2$

= $\left(\frac{1}{1}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right).{\left(\frac{16}{20}-\frac{15}{20}\right)}^2$

= $\left(\frac{12}{12}+\frac{8}{12}-\frac{3}{12}\right).{\left(\frac{1}{20}\right)}^2$

=  $\frac{12+8-3}{12}.\frac{1^2}{{20}^2}$

=  $\frac{17}{12}.\frac{1}{400}$

= $\frac{17.1}{12.400}=\frac{17}{4800}$ .

Bài 2. Diện tích của các đại dương được cho trong bảng sau:

Đại dương nào có diện tích nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

+) 16,525.107 = 165,25.106.

+) 219,6.105 = 21,96.106.

Vì 14,09 < 21,96 < 75 < 106,46 < 165,25.

Suy ra 14,09.106 < 21,96.106 < 75.106 < 106,46.106 < 165,25.106.

Khi sắp xếp tên các đại dương theo độ lớn của diện tích từ nhỏ đến lớn, ta được: Bắc Băng Dương, Nam Băng Dương, Ấn Độ Dương, Đại Tây Dương, Thái Bình Dương.

Vậy Bắc Băng Dương có diện tích nhỏ nhất.

Bài 3. Viết các số sau dưới dạng luỹ thừa số mũ lớn hơn 1: $0,36;\frac{1}{9};\frac{-27}{216};\frac{144}{225}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

• 0,36 = 0,6 . 0,6 = (0,6)2;

• $\frac{1}{9}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2$ ;

• $\frac{-27}{216}=\frac{-3}{6}.\frac{-3}{6}.\frac{-3}{6}={\left(\frac{-3}{6}\right)}^3$ ;

• $\frac{144}{225}=\frac{12}{15}.\frac{12}{15}={\left(\frac{12}{15}\right)}^2$ .

Bài 4. Tìm x:

a) $x.{\left(\frac{-2}{5}\right)}^7={\left(\frac{-2}{5}\right)}^9;$

b) $x:{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{3}{4};$

c) $x:{\left(0,5\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^2.$      

Hướng dẫn giải

a) $x.{\left(\frac{-2}{5}\right)}^7={\left(\frac{-2}{5}\right)}^9$

$x={\left(\frac{-2}{5}\right)}^9:{\left(\frac{-2}{5}\right)}^7$

$x={\left(\frac{-2}{5}\right)}^{9-7}$

$x={\left(\frac{-2}{5}\right)}^2$

$x=\frac{{\left(-2\right)}^2}{5^2}$

$x=\frac{4}{25}$

Vậy $x=\frac{4}{25}$ .

b) $x:{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{3}{4}$

$x=\frac{3}{4}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2$

$\begin{array}{l}x={\left(\frac{3}{4}\right)}^{1+2}\\ x={\left(\frac{3}{4}\right)}^3\\ x=\frac{3^3}{4^3}\\ x=\frac{27}{64}\end{array}$

Vậy $x=\frac{27}{64}$.

c) $x:{\left(0,5\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

$\begin{array}{l}x:{\left(\frac{1}{2}\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\\ x={\left(\frac{1}{2}\right)}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\\ x={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2+3}\\ x={\left(\frac{1}{2}\right)}^5\\ x=\frac{1^5}{2^5}\\ x=\frac{1}{32}\end{array}$

Vậy $x=\frac{1}{32}$ .