Lý thuyết Các phép tính với số hữu tỉ (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 2: Các phép tính với số hữu tỉ

Video giải Toán 7 Bài 2: Các phép tính với số hữu tỉ - Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Các phép tính với số hữu tỉ

1. Cộng, trừ hai số hữu tỉ

Để cộng, trừ hai số hữu tỉ x, y, ta có thể viết chúng dưới dạng hai phân số rồi áp dụng quy tắc cộng, trừ phân số.

Ví dụ: Tính:

a) 0,3 + $\frac{2}{-3}$ ;

b)  $2\frac{5}{6}$ − (−4).

Hướng dẫn giải

a) 0,3 + $\frac{2}{-3}$ = $\frac{3}{10}$ + $\left(\frac{-2}{3}\right)$

$\frac{9}{30}+\frac{-20}{30}=\frac{9+\left(-20\right)}{30}=\frac{-11}{30}$

b)  $2\frac{5}{6}$  − (−4) = $\frac{17}{6}+\frac{4}{1}$

$\frac{17}{6}+\frac{24}{6}=\frac{17+24}{6}=\frac{41}{6}$ .

2. Tính chất của phép cộng số hữu tỉ

Phép cộng số hữu tỉ cũng có các tính chất như phép cộng số nguyên: giao hoán, kết hợp và cộng với số 0.

Ví dụ: Tính một cách hợp lí:

$\frac{-3}{10}+0,125+\frac{-7}{10}+0,875+\frac{4}{5}$

Hướng dẫn giải

Ta có:  $\frac{-3}{10}+0,125+\frac{-7}{10}+0,875+\frac{4}{5}$

= $\frac{-3}{10}+\frac{-7}{10}+0,125+0,875+\frac{4}{5}$          (tính chất giao hoán)

= $(\frac{-3}{10}+\frac{-7}{10})+(0,125+0,875)+\frac{4}{5}$ (tính chất kết hợp)

= − 1 + 1 + $\frac{4}{5}$  

= 0 + $\frac{4}{5}$  = $\frac{4}{5}$                    (cộng với số 0)

3. Nhân hai số hữu tỉ

Cho x, y là hai số hữu tỉ: x = $\frac{a}{b}$ , y = $\frac{c}{d}$ , ta có x . y = $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}$ = $\frac{a.c}{b.d}$ .

Ví dụ 1: Tính:

a) $2\frac{3}{8}$.$\frac{-3}{5};$ 

b) 5,75 .$\frac{9}{10}.$

Hướng dẫn giải

a) $2\frac{3}{8}.\left(\frac{-3}{5}\right)=\frac{19}{8}.\frac{-3}{5}$  

$=\frac{19.\left(-3\right)}{8.5}=\frac{-57}{40}$

b) $5,75.\frac{9}{10}=\frac{575}{100}.\frac{9}{10}$

$=\frac{575:25}{100:25}.\frac{9}{10}=\frac{23}{4}.\frac{9}{10}$  

$=\frac{23.9}{4.10}=\frac{207}{40}$

Ví dụ 2: Một mảnh vườn hình bình hành có đường cao bằng 24,8 m, độ dài đáy bằng $\frac{3}{2}$ chiều cao. Tính diện tích mảnh vườn đó.

Hướng dẫn giải

Độ dài đáy mảnh vườn hình bình hành là:

$\frac{3}{2}$. 24,8  = 37,2 (m).

Diện tích mảnh vườn hình bình hành là:

37,2 . 24,8 = 922,56 (m2).

Vậy diện tích mảnh vườn hình bình hành là 922,56 m2.

4. Tính chất của phép nhân số hữu tỉ

Phép nhân số hữu tỉ cũng có các tính chất như phép nhân số nguyên: giao hoán, kết hợp, nhân với số 1, tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Ví dụ: Tính một cách hợp lí:

a) A = $\left(\frac{9}{-8}\right).\frac{4}{15}\left(\frac{-8}{9}\right).3$

b) B = $\left(\frac{-8}{3}\right).\frac{2}{11}-\frac{2}{11}.\frac{5}{3}.$

Hướng dẫn giải

a) A = $\left(\frac{9}{-8}\right).\frac{4}{15}\left(\frac{-8}{9}\right).3$

= $\left(\frac{9}{-8}\right).\left(\frac{-8}{9}\right).\frac{4}{15}. 3$      (tính chất giao hoán)

=$(\frac{9}{-8}.\frac{-8}{9}).\frac{4}{15}. 3$       (tính chất kết hợp)

= 1. $\frac{4}{5}$  = $\frac{4}{5}$ .                    (nhân với số 1)

b) B = $\left(\frac{-8}{3}\right).\frac{2}{11}-\frac{2}{11}.\frac{5}{3}.$

= $\frac{2}{11}.(\frac{-8}{3}-\frac{5}{3})$ . (phân phối của phép nhân đối với phép cộng)

= $\frac{2}{11}.\frac{-8-5}{3}$ .

= $\frac{2}{11}.\frac{-13}{3}$ .

= $\frac{2.(-13)}{11.3}$

= $\frac{-26}{33}$.

5. Chia hai số hữu tỉ

Cho x, y là hai số hữu tỉ: x = $\frac{a}{b}$ , y = $\frac{c}{d}$ (y ≠ 0), ta có x : y = $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}$

Ví dụ: Tính:

a) $\left(\frac{-12}{5}\right):(-6,5)$

b) $5\frac{1}{2}:\left(\frac{-2}{3}\right).$

Hướng dẫn giải

a) $\left(\frac{-12}{5}\right):(-6,5)=\left(\frac{-12}{5}\right):\left(\frac{-65}{10}\right)$

$=\frac{-12}{5}:\frac{-13}{2}=\frac{-12}{5}.\frac{2}{-13}$

= $\frac{\left(-12\right).2}{5.\left(-13\right)}=\frac{24}{65}$.

b) $5\frac{1}{2}:\left(\frac{-2}{3}\right)$  

=$\frac{11}{2}:\left(\frac{-2}{3}\right)=\frac{11}{2}.\left(\frac{3}{-2}\right)$

= $\frac{11.3}{2.\left(-2\right)}=\frac{33}{-4}=\frac{-33}{4}$.

Chú ý:

Thương của phép chia số hữu tỉ x cho số hữu tỉ y (y ≠ 0) gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu là $\frac{x}{y}$ hay x : y.

B. Bài tập tự luyện

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể rỗng. Vòi thứ nhất chảy trong 8 giờ thì đầy bể. Vòi thứ hai chảy 12 giờ thì đầy bể. Hỏi nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ hai chảy trong 5 giờ thì được bao nhiêu phần của bể?

A.$\frac{3}{8}$;

B.$\frac{5}{12}$ ;

C.$\frac{17}{24}$ ;

D. $\frac{19}{24}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vòi thứ nhất chảy trong 8 giờ thì đầy bể nên trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{8}$ bể.

Vòi thứ hai chảy trong 12 giờ thì đầy bể nên trong 1 giờ vòi thứ 2 chảy được $\frac{1}{16}$ bể.

Do đó:

• Sau 3 giờ vòi thứ nhất chảy được$\frac{3}{8}$ (bể).

• Sau 5 giờ vòi thứ hai chảy được $\frac{5}{12}$ (bể).

Vậy khi đó cả hai vòi chảy vào được:$\frac{3}{8}+\frac{5}{12}=\frac{9+10}{24}=\frac{19}{24}$(bể).

Ta chọn phương án D.

Câu 2. Các số nguyên x thoả mãn điều kiện: $\frac{1}{5}+\frac{2}{7}-1<x<\frac{13}{3}+\frac{6}{5}+\frac{4}{15}$ . Vậy các số nguyên x thuộc tập hợp:

A. {0; 1; 2; 3; 4; 5};

B. {0; 1; 2; 3; 4};

C. {1; 2; 3; 4; 5};

D. {0; 1; 2; 3}.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: 

•$\frac{1}{5}+\frac{2}{7}-1=\frac{1.7}{35}+\frac{2.5}{35}-\frac{35}{35}$

$=\frac{7+10-35}{35}=\frac{-18}{35}$

•$\frac{13}{3}+\frac{6}{5}+\frac{4}{15}=\frac{13.5}{3.5}+\frac{6.3}{5.3}+\frac{4}{15}$

$=\frac{65+18+4}{15}=\frac{87}{15}$.

Theo đề bài: $\frac{-18}{35}<\text{x}<\frac{87}{15}$ .

Ta có $-1<\frac{-18}{35}<0$  và $5=\frac{75}{15}<\frac{87}{15}<6$

Mà x là số nguyên

Do đó x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5}.

Ta chọn phương án A.

Câu 3. Cho phân số $\frac{\text{x}}{\text{6}}$. Sau khi quy đồng mẫu của $\frac{\text{x}}{\text{6}}$ và $\frac{1}{15}$ sao cho mẫu số chung nhỏ nhất thì $\frac{\text{x}}{\text{6}}$ trở thành một phân số mới. Trừ tử số của phân số mới cho 15 ta được một phân số bằng $\frac{1}{3}$. Hỏi phân số $\frac{\text{x}}{\text{6}}$ là phân số nào?

A. $\frac{-5}{6}$;

B. $\frac{5}{6}$;

C. $\frac{1}{3}$;

D. $\frac{1}{6}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khi quy đồng mẫu của $\frac{\text{x}}{\text{6}}$ và $\frac{1}{15}$ thì mẫu số chung nhỏ nhất bằng 30.

Do đó, sau khi quy đồng thì $\frac{\text{x}}{\text{6}}$ trở thành .

Theo đề bài ta có:$\frac{\text{5x}-\text{15}}{\text{30}}=\frac{1}{3}=\frac{10}{30}$ .

Do đó 5x −15 = 10.

5x = 25

x = 5.

Vây phân số $\frac{\text{x}}{\text{6}}$cần tìm là $\frac{5}{\text{6}}$ .

Ta chọn phương án B.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài bằng 34,6 m, chiều rộng bằng $\frac{3}{4}$ chiều dài. Tính chu vi và diện tích của khu đất đó.

Hướng dẫn giải

Chiều rộng khu đất hình chữ nhật là:

 $\frac{3}{4}.34,6=25,95$ (m)

Chu vi khu đất hình chữ nhật là:

(34,6 + 25,95). 2 = 121,1 (m)

Diện tích khu đất hình chữ nhật là:

34,6 . 25,95 = 897,87 (m2).

Vậy chu vi và diện tích của khu đất lần lượt là 121,1 m và  897,87 m2.

Bài 2. Một đội công nhân ngày thứ nhất sửa được $\frac{2}{15}$ quãng đường, ngày thứ hai sửa được $\frac{3}{20}$ quãng đường, ngày thứ ba sửa được $\frac{3}{10}$ quãng đường. Hỏi đội công nhân còn phải sửa bao nhiêu phần của quãng đường nữa?

Hướng dẫn giải

Đội công nhân đã sửa được số phần quãng đường là:

$\frac{2}{15}+\frac{3}{20}+\frac{3}{10}=\frac{8+12+18}{60}=\frac{38}{60}=\frac{19}{30}$ (quãng đường)

Đội công nhân còn phải sửa số phần quãng đường là:

$1-\frac{19}{30}=\frac{11}{30}$ (quãng đường)

Vậy đội công nhân còn phải sửa$\frac{11}{30}$quãng đường.

Bài 3. Một cửa hàng có 45 tạ gạo. Ngày thứ nhất bán được $\frac{3}{4}$ số gạo, ngày thứ hai bán được $\frac{4}{5}$ số gạo còn lại. Hỏi sau hai ngày cửa hàng còn lại bao nhiêu tạ gạo?

Hướng dẫn giải

Ngày thứ nhất cửa hàng bán được số gạo là:

$\frac{3}{4}.45=33,75$ (tạ)

Sau ngày thứ nhất cửa hàng còn lại số gạo là:

45 – 33,75 = 11,25 (tạ)

Ngày thứ hai cửa hàng bán được số gạo là:

$\frac{4}{5}.11,25=9$ (tạ)

Sau hai ngày cửa hàng còn lại số gạo là:

11,25 – 9 = 2,25 (tạ)

Vậy sau hai ngày cửa hàng còn lại 2,25 tạ.

Bài 4. Tính:

a) $\frac{-1}{6}+0,75;$         

b) $\frac{-7}{8}-\left(-\frac{5}{24}\right);$    

c) $2\frac{3}{8}.\left(-0,4\right);$     

d) $\left(\frac{-12}{5}\right):\left(-6,5\right).$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{-1}{6}+0,75$

= $\frac{-1}{6}+\frac{3}{4}$

= $\frac{-2}{12}+\frac{9}{12}=\frac{7}{12}$ ;

b) $\left(\frac{-7}{8}\right)-\left(-\frac{5}{24}\right)$

= $\frac{-21}{24}+\frac{5}{24}$

= $\frac{-16}{24}=\frac{-2}{3}$ ;

c) $2\frac{3}{8}.\left(-0,4\right)$  

= $\frac{19}{8}.\frac{-4}{10}=\frac{19}{8}.\frac{-2}{5}$   

= $\frac{19.\left(-2\right)}{8.5}=\frac{-38}{40}=\frac{-19}{20}$ ;

d)  $\left(\frac{-12}{5}\right):\left(-6,5\right).$

= $\frac{-12}{5}:\frac{-13}{2}$

= $\frac{-12}{5}.\frac{2}{-13}=\frac{24}{65}$ .

Bài 5. Tính:

a) $\frac{3}{7}+\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{3}{5}$ ;                                        

b) $\left(-2\right).\left(\frac{-38}{21}\right).\left(\frac{-7}{4}\right).\left(-\frac{3}{8}\right)$ ;    

c) $\left(\frac{-2}{3}+\frac{3}{7}\right):\frac{4}{5}+\left(\frac{-1}{3}+\frac{4}{7}\right):\frac{4}{5};$                     

d) $\frac{5}{9}:\left(\frac{1}{11}-\frac{5}{22}\right)+\frac{5}{9}:\left(\frac{1}{15}-\frac{2}{3}\right).$  

Hướng dẫn giải

a)  $\frac{3}{7}+\left(-\frac{5}{2}\right)-\frac{3}{5}$

= $\frac{3}{7}-\frac{5}{2}-\frac{3}{5}$

= $\frac{30}{70}-\frac{175}{70}-\frac{42}{70}$   

= $\frac{-187}{70}$ .

b) $\left(-2\right).\left(\frac{-38}{21}\right).\left(\frac{-7}{4}\right).\left(-\frac{3}{8}\right)$  

= $2.\frac{38}{21}.\frac{7}{4}.\frac{3}{8}$

= $\frac{2.38.7.3}{21.4.8}$

= $\frac{2.2.19.7.3}{7\mathrm{.3.}2.2.8}=\frac{19}{8}$ .

c) $\left(\frac{-2}{3}+\frac{3}{7}\right):\frac{4}{5}+\left(\frac{-1}{3}+\frac{4}{7}\right):\frac{4}{5};$    

$=\left(\frac{-2}{3}+\frac{3}{7}\right).\frac{5}{4}+\left(\frac{-1}{3}+\frac{4}{7}\right).\frac{5}{4}$

= $\left(\frac{-2}{3}+\frac{3}{7}+\frac{-1}{3}+\frac{4}{7}\right).\frac{5}{4}$

= $\left[\left(\frac{-2}{3}+\frac{-1}{3}\right)+\left(\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\right)\right].\frac{5}{4}$

= $\left(\frac{-3}{3}+\frac{7}{7}\right).\frac{5}{4}$

$=\left(-1+1\right).\frac{5}{4}$

$=0.\frac{5}{4}=0$

d) $\frac{5}{9}:\left(\frac{1}{11}-\frac{5}{22}\right)+\frac{5}{9}:\left(\frac{1}{15}-\frac{2}{3}\right).$

=  $\frac{5}{9}:\left(\frac{2}{22}-\frac{5}{22}\right)+\frac{5}{9}:\left(\frac{1}{15}-\frac{10}{15}\right)$

= $\frac{5}{9}:\frac{-3}{22}+\frac{5}{9}:\frac{-9}{15}$

$=\frac{5}{9}.\frac{22}{-3}+\frac{5}{9}.\frac{15}{-9}$

= $\frac{5}{9}.\left(\frac{-22}{3}+\frac{-15}{9}\right)$

$=\frac{5}{9}.\left(\frac{-22}{3}+\frac{-5}{3}\right)$

$=\frac{5}{9}.\frac{-27}{3}$

= $\frac{5}{9}.\left(-9\right)=\left(-5\right)$

Bài 6. Tìm x:

a) $\frac{3}{4}-x=4\frac{2}{3}$ ;

b) $\frac{2}{7}:x=\frac{1}{4}:0,125$ ;

c) $-\frac{7}{15}x=7\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{3}{4}-x=4\frac{2}{3}$

$\begin{array}{l}\frac{3}{4}-x=\frac{14}{3}\\ x=\frac{3}{4}-\frac{14}{3}\\ x=\frac{9}{12}-\frac{56}{12}\\ x=\frac{9-56}{12}\\ x=\frac{-47}{12}\end{array}$

Vậy $x=\frac{-47}{12}$ ;

b) $\frac{2}{7}:x=\frac{1}{4}:0,125$

$\begin{array}{l}\frac{2}{7}:x=\frac{1}{4}:\frac{1}{8}\\ \frac{2}{7}:x=\frac{1}{4}.\frac{8}{1}\\ \frac{2}{7}:x=2\\ x=\frac{2}{7}:2\\ x=\frac{2}{7}.\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{7}\end{array}$

Vậy $x=\frac{1}{7}$ .

c) $-\frac{7}{15}x=7\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$

$\begin{array}{l}-\frac{7}{15}x=\frac{22}{3}-\frac{1}{5}\\ -\frac{7}{15}x=\frac{110}{15}-\frac{3}{15}\\ -\frac{7}{15}x=\frac{107}{15}\\ x=\frac{107}{15}:\left(-\frac{7}{15}\right)\\ x=\frac{107}{15}.\left(-\frac{15}{7}\right)\\ x=-\frac{107}{7}\end{array}$

Vậy $x=-\frac{107}{7}$ .