Lý thuyết Các khái niệm mở đầu (Kết nối tri thức 2024) Toán 10
Tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu ngắn gọn, chính xác sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt Toán 10.
Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu
A.Lý thuyết Các khái niệm mở đầu
1. Khái niệm vectơ
– Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối.
– Độ dài vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Chú ý:
+ Vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được kí hiệu là , đọc là vectơ AB.
+ Để vẽ một vectơ, ta vẽ đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối của nó, rồi đánh dấu mũi tên ở điểm cuối.
+ Vectơ còn được kí hiệu là , , , ,…
+ Độ dài của vectơ , tương ứng được kí hiệu là , .
Ví dụ: Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài vectơ , .
Hướng dẫn giải
Vì ABCD là hình vuông nên .
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABD vuông tại A, có các cạnh góc vuông AB = AD = 1.
Ta có: BD2 = AB2 + AD2.
Suy ra: BD2 = 12 + 12 = 2 ⇒ BD = .
Do đó = BD =
Mặt khác Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo BD và AC bằng nhau.
Vì vậy AC = BD =
Do đó: = AC = ;
Vậy = ; =
2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau.
+ Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
+ Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.
+ Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu là = , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Ví dụ:
Trong hình trên đường thẳng m đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ , nên đường thẳng m gọi là giá của vectơ .
Tương tự, đường thẳng n là giá của hai vectơ và .
Đường thẳng m và n song song với nhau nên ba vectơ và và là các vectơ cùng phương.
và cùng phương nhưng ngược hướng; và cùng phương vàcùng hướng.
Hai vectơ và cùng hướng, ngoài ra chúng có độ dài bằng nhau nên = .
Chú ý:
+ Ta cũng xét các vectơ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (chẳng hạn , ), gọi là các vectơ–không.
+ Ta quy ước vectơ–không có độ dài bằng 0, cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ.
+ Các vectơ–không có cùng độ dài và cùng hướng nên bằng nhau và được kí hiệu chung là .
+ Với mỗi điểm O và vectơ cho trước, có duy nhất điểm A sao cho .
Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi và cùng phương.
Chú ý: Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng như lực, vận tốc, gia tốc. Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng, độ dài của vectơ thể hiện cho độ lớn của đại lượng và được lấy tỉ lệ với độ lớn của đại lượng.
Ví dụ: Một vật A thả chìm hoàn toàn dưới đáy một cốc chất lỏng. Khi đó biểu diễn lực đẩy Ác–si–mét và biểu diễn trọng lực tác dụng lên vật A.
và tác dụng lên vật A theo phương thẳng đứng, hai lực này cùng phương nhưng ngược hướng. Do vật chìm hoàn toàn dưới đáy cốc nên trọng lực có độ lớn lớn hơn lực đẩy Ác–si–mét , cụ thể .
B.Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hình vẽ:
a) Chỉ ra các vectơ cùng phương.
b) Chỉ ra các vectơ cùng hướng, ngược hướng.
c) Chỉ ra các vectơ bằng nhau.
Hướng dẫn giải
a) Ta nối các điểm đầu và điểm cuối của hai vectơ và để được tứ giác ABCD.
Xét tứ giác ABCD có:
AD // BC (vì AD và BC nằm trên hai dòng kẻ phân biệt)
AD = BC (cùng bằng 3 đơn vị)
Suy ra ABCD là hình bình hành.
Suy ra AB // DC.
Khi đó, ta có giá của hai vectơ và song song với nhau nên hai vectơ và cùng phương.
Ba vectơ , , có giá nằm trên các dòng kẻ dọc nên giá của các vectơ này trùng nhau hoặc song song, vì vậy ba vectơ này cùng phương.
Vectơ không cùng phương với vectơ nào.
Vậy, hai vectơ và là hai vectơ cùng phương ; ba vectơ , , đôi một cùng phương.
b) Hai vectơ và cùng hướng.
Hai vectơ và ngược hướng.
Hai vectơ và ngược hướng.
Hai vectơ và cùng hướng.
Vậy các cặp vectơ cùng hướng là: và ; và . Các cặp vectơ ngược hướng là: và ; và .
c) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC.
Hai vectơ và cùng hướng. Mặt khác ; , suy ra .
Vậy, = .
Hai vectơ và cùng hướng, tuy nhiên không cùng độ dài: , . Vì vậy và không bằng nhau.
Bài 2: Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi .
Hướng dẫn giải
– Giả sử ABCD là hình bình hành. Khi đó AB // DC và AB = DC.
Vì AB // DC nên và cùng phương. Từ hình vẽ dễ thấy và cùng hướng.
Vì AB = DC nên .
Vậy = .
– Giả sử = . Khi đó và cùng hướng và .
Từ và cùng hướng suy ra chúng cùng phương, hay AB // DC.
Từ suy ra AB = DC.
Vậy ABCD là hình bình hành.
Vậy tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi = .