Lý thuyết Các khái niệm mở đầu (Kết nối tri thức 2024) Toán 10

Tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu ngắn gọn, chính xác sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt Toán 10.

1 101 lượt xem


Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu

A.Lý thuyết Các khái niệm mở đầu

1. Khái niệm vectơ

– Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là, trong hai điểm mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối.

– Độ dài vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Chú ý:

+ Vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được kí hiệu là AB, đọc là vectơ AB.

+ Để vẽ một vectơ, ta vẽ đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối của nó, rồi đánh dấu mũi tên ở điểm cuối.

Các khái niệm mở đầu

+ Vectơ còn được kí hiệu là abxy,…

Các khái niệm mở đầu

+ Độ dài của vectơ ABatương ứng được kí hiệu là |AB||a|.

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD với cạnh có độ dài bằng 1. Tính độ dài vectơ ACBD.

Các khái niệm mở đầu

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông nên A^=B^=C^=D^=90°.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABD vuông tại A, có các cạnh góc vuông AB = AD = 1.

Ta có: BD2 = AB2 + AD2.

Suy ra: BD2 = 12 + 12 = 2  BD = 2.

Do đó |BD|= BD = 2

Mặt khác Vì ABCD là hình vuông nên hai đường chéo BD và AC bằng nhau.

Vì vậy AC = BD = 2

Do đó: AC= AC = 2;

Vậy |BD|2AC2

2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau.

+ Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

+ Đối với hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

+ Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu là a = b, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Ví dụ:

Các khái niệm mở đầu

Trong hình trên đường thẳng m đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ a, nên đường thẳng m gọi là giá của vectơ a.

Tương tự, đường thẳng n là giá của hai vectơ b và c.

Đường thẳng m và n song song với nhau nên ba vectơ a và b và là các vectơ cùng phương.

avà bcùng phương nhưng ngược hướnga và ccùng phương cùng hướng.

Hai vectơ avà ccùng hướng, ngoài ra chúng có độ dài bằng nhau nên ac.

Chú ý:

+ Ta cũng xét các vectơ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau (chẳng hạn AABB), gọi là các vectơ–không.

+ Ta quy ước vectơ–không có độ dài bằng 0, cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ.

+ Các vectơkhông có cùng độ dài và cùng hướng nên bằng nhau và được kí hiệu chung là 0.

+ Với mỗi điểm O và vectơ acho trước, có duy nhất điểm A sao cho OA=a.

Các khái niệm mở đầu

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB và ACcùng phương.

Các khái niệm mở đầu

Chú ý: Ta có thể dùng vectơ để biểu diễn các đại lượng như lực, vận tốc, gia tốc. Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng, độ dài của vectơ thể hiện cho độ lớn của đại lượng và được lấy tỉ lệ với độ lớn của đại lượng.

Ví dụ: Một vật A thả chìm hoàn toàn dưới đáy một cốc chất lỏng. Khi đó F biểu diễn lực đẩy Ác–si–mét và P biểu diễn trọng lực tác dụng lên vật A.

Các khái niệm mở đầu

F và P tác dụng lên vật A theo phương thẳng đứng, hai lực này cùng phương nhưng ngược hướng. Do vật chìm hoàn toàn dưới đáy cốc nên trọng lực P có độ lớn lớn hơn lực đẩy Ác–si–mét F, cụ thể |P|=3|F|.

B.Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hình vẽ:

Các khái niệm mở đầu

a) Chỉ ra các vectơ cùng phương.

b) Chỉ ra các vectơ cùng hướng, ngược hướng.

c) Chỉ ra các vectơ bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Các khái niệm mở đầu

a) Ta nối các điểm đầu và điểm cuối của hai vectơ uvà vđể được tứ giác ABCD.

Xét tứ giác ABCD có:

AD // BC (vì AD và BC nằm trên hai dòng kẻ phân biệt)

AD = BC (cùng bằng 3 đơn vị)

Suy ra ABCD là hình bình hành.

Suy ra AB // DC.

Khi đó, ta có giá của hai vectơ u và v song song với nhau nên hai vectơ u và v cùng phương.

Ba vectơ abc có giá nằm trên các dòng kẻ dọc nên giá của các vectơ này trùng nhau hoặc song song, vì vậy ba vectơ này cùng phương.

Vectơ t không cùng phương với vectơ nào.

Vậy, hai vectơ u và v là hai vectơ cùng phương ; ba vectơ abc đôi một cùng phương.

b) Hai vectơ u và v cùng hướng.

Hai vectơ a và b ngược hướng.

Hai vectơ a và c ngược hướng.

Hai vectơ b và c cùng hướng.

Vậy các cặp vectơ cùng hướng là: u và vb và c. Các cặp vectơ ngược hướng là: a và ba và c.

c) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC.

Hai vectơ u và v cùng hướng. Mặt khác |u|=DC|v|=AB, suy ra |u|=|v| .

Vậy, u = v.

Hai vectơ và cùng hướng, tuy nhiên không cùng độ dài: |b|=5|c|=2. Vì vậy b và c không bằng nhau.

Bài 2: Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi AB=DC.

Hướng dẫn giải

Các khái niệm mở đầu

– Giả sử ABCD là hình bình hành. Khi đó AB // DC và AB = DC.

Vì AB // DC nên AB và DC cùng phương. Từ hình vẽ dễ thấy AB và DC cùng hướng.

Vì AB = DC nên |AB|=|DC|.

Vậy AB = DC.

– Giả sử AB = DC. Khi đó AB và DC cùng hướng và |AB|=|DC|.

Từ AB và DC cùng hướng suy ra chúng cùng phương, hay AB // DC.

Từ |AB|=|DC| suy ra AB = DC.

Vậy ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi AB = DC.

1 101 lượt xem