Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác (Kết nối tri thức 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

A. Lý thuyết Hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lí Côsin 

Đối với tam giác ABC, ta thường kí hiệu A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Định lí Côsin. Trong tam giác ABC:

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.

b2 = c2 + a2 – 2ca.cosB.

c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có góc A bằng 60° và AB = 2 cm, AC = 3 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải

Áp dụng Định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB . AC . cos 60o = 22 + 32 – 2.2.3. $\frac{1}{2}$ = 7.

Suy ra BC = $\sqrt{7}$ (cm)

Vậy BC = $\sqrt{7}$ cm.

2. Định lí sin

Trong tam giác ABC: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có $\widehat{\mathrm{A}}=120°$, $\widehat{\mathrm{B}}=30°$, c = 10. Tính số đo góc C và a, b, R.

Hướng dẫn giải

Theo Định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: $\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}=180°$.

Suy ra $\widehat{\mathrm{C}}=180°-(\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}})=180°-(120°+30°)=30°$.

Áp dụng Định lí sin, ta có: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}=2\mathrm{R}$

$\iff \frac{\mathrm{a}}{\sin 120°}=\frac{\mathrm{b}}{\sin 30°}=\frac{10}{\sin 30°}=2\mathrm{R}$.

Suy ra:

$\mathrm{a}=\frac{10}{\sin 30°}\cdot \sin 120°=10\sqrt{3}$

$\mathrm{b}=\frac{10}{\sin 30°}\cdot \sin 30°=10$

$\mathrm{R}=\frac{10}{2\sin 30°}=10$.

Vậy a = $10\sqrt{3}$; b = 10; R = 10; $\widehat{\mathrm{C}}={30}^0$.

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó được gọi là giải tam giác.

Chú ý: Áp dụng định lí côsin, sin và sử dụng máy tính cầm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:

+ Biết hai cạnh và góc xen giữa.

+ Biết ba cạnh.

+ Biết một cạnh và hai góc kề.

Ví dụ: Giải tam giác ABC biết b = 12, $\widehat{\mathrm{C}}=60°$, $\widehat{\mathrm{A}}=100°$.

Hướng dẫn giải

Theo định lí tổng ba góc của tam giác, ta có: $\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}=180°$.

Suy ra $\widehat{\mathrm{B}}=180°-(\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{C}})=180°-(100°+60°)=20°$.

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{sinC}}$

$\iff \frac{\mathrm{a}}{\sin 100°}=\frac{12}{\sin 20°}=\frac{\mathrm{c}}{\sin 60°}$

Suy ra:

$\mathrm{a}=\frac{12}{\sin 20°}\cdot \sin 100°\approx 34,6$

$\mathrm{c}=\frac{12}{\sin 20°}\cdot \sin 60°\approx 30,4$

Vậy tam giác ABC có: $\widehat{\mathrm{A}}=100°$, $\widehat{\mathrm{B}}=20°$, $\widehat{\mathrm{C}}=60°$; a ≈ 34,6 ; b = 12; c ≈ 30,4.

Ví dụ: Để đo khoảng cách giữa hai đầu C và A của một hồ nước người ta không thể đi trực tiếp từ C đến A, người ta tiến hành như sau: Chọn 1 điểm B sao cho đo được khoảng cách BC, BA và góc BCA. Sau khi đo, ta nhận được BC = 5m, BA = 12m, $\widehat{\mathrm{BCA}}={37}^{\mathrm{o}}$. Tính khoảng cách AC (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí sin đối với tam giác ABC ta có:

$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{sinA}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}$

⇒ $\frac{5}{\mathrm{sinA}}=\frac{12}{\sin {37}^0}$

⇒ sin A = $\frac{5.\sin {37}^{\mathrm{o}}}{12}\approx 0,2508$

⇒ $\widehat{\mathrm{A}}$ ≈ 14°31’

⇒ $\widehat{\mathrm{B}}$ ≈ 180° – (37° + 14°31’) = 128°29’.

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{sinB}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}$ 

⇒ AC = $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{sinC}}\cdot \mathrm{sinB}$ = $\frac{12}{\sin 37°}\cdot \sin 128°29\text{'}$ ≈15,61 (m)

Vậy khoảng cách AC ≈ 15,61 m.

4. Công thức tính diện tích tam giác

Đối với tam giác ABC: A, B, C là các góc của tam giác tại đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng là độ dài của các cạnh đối diện với đỉnh A, B, C; p là nửa chu vi; S là diện tích; R, r tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC sau:

+) S = pr = $\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})\mathrm{r}}{2}$

+) S = $\frac{1}{2}$bc sin A = $\frac{1}{2}$ca sin B =$\frac{1}{2}$ab sin C.

+) S = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}$

+) Công thức Heron: S = $\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$.

Ví dụ:

a) Tính diện tích tam giác ABC biết các cạnh b = 14 cm, c = 35 cm và $\widehat{\mathrm{A}}={60}^{\mathrm{o}}$.

b) Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC, biết các cạnh a = 4 cm, b =  5 cm, c = 3 cm.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC, ta có:

S = $\frac{1}{2}$bc sin A = $\frac{1}{2}$.14.35.sin 60° = $\frac{1}{2}$.14.35.$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{245\sqrt{3}}{2}$(cm2).

Vậy diện tích tam giác ABC là: $\frac{245\sqrt{3}}{2}$ cm2.

b) Ta có nửa chu vi của tam giác ABC là: $\mathrm{p}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}=\frac{4+5+3}{2}=\frac{12}{2}=6$ (cm).

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích tam giác ABC là:

S = $\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}=\sqrt{6.(6-4).(6-5).(6-3)}=\sqrt{36}=6$(cm2).

Mặt khác: S = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}$ ⇒ R = $\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{S}}$= $\frac{\mathrm{4.5.3}}{4.6}=\frac{5}{2}=2,5$(cm).

Ta có: S = pr  ⇒ r = $\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{p}}$ = $\frac{6}{6}$ = 1 (cm).

Vậy diện tích tam giác ABC là 6 cm2, bán kính đường tròn ngoại tiếp là 2,5 cm; bán kính đường tròn nội tiếp là 1 cm.

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập tự luận

Bài 1: Tính diện tích tam giác ABC biết a = 12  cm, b = 15 cm , c = 23 cm.

Hướng dẫn giải

Ta có $\mathrm{p}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}=\frac{12+15+23}{2}=\frac{50}{2}=25$ (cm).

Áp dụng công thức Heron cho tam giác ABC ta có:

S = $\sqrt{\mathrm{p}(\mathrm{p}-\mathrm{a})(\mathrm{p}-\mathrm{b})(\mathrm{p}-\mathrm{c})}$

S =$\sqrt{25.(25-12).(25-15).(25-23)}=\sqrt{6500}\approx 80,62$ (cm2).

Vậy diện tích tam giác ABC là 80,62 cm2.

Bài 2: Giải tam giác ABC biết AB = 15, BC = 35, $\widehat{\mathrm{B}}=60°$. (Độ dài cạnh AC làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, số đo góc A và C làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:

AC2 = AB2 + BC2 – 2. AB. BC . cos B

= 152 + 352 – 2. 15. 35. cos 60° = 925.

Do đó AC = $\sqrt{925}$ ≈ 30,4.

Mặt khác:

BC2 = AB2 + AC2 – 2. AB. AC . cos A

⇒ cos A = $\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{BC}}^2}{2.\mathrm{AB}.\mathrm{AC}}$= $\frac{{15}^2+925-{35}^2}{\mathrm{2.15.}\sqrt{925}}\approx -0,08$.

⇒ $\widehat{\mathrm{A}}\approx 95°$

⇒  $\widehat{\mathrm{C}}=180°-(\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}})\approx 180°-(95°+60°)=25°$

Vậy tam giác ABC có:

$\widehat{\mathrm{A}}\approx 95°$; $\widehat{\mathrm{B}}=60°$; $\widehat{\mathrm{C}}\approx 25°$.

AB = 15, AC  ≈ 30,4; BC = 35.

Bài 3: Một hồ nước nằm ở góc tạo bởi hai con đường. Hãy tính khoảng cách từ B đến C, biết góc tạo bởi hai con đường là góc A bằng 120° và khoảng cách từ A đến B là 3 km, khoảng cách từ A đến C là 4 km.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cos A = 32 + 42 – 2. 3. 4 . cos 120° = 37.

⇒ BC = $\sqrt{37}$ ≈ 6,08 (km).

Vậy khoảng cách từ B đến C khoảng 6,08 km.

B2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 4. Tam giác ABC có $\mathrm{AC}=3\sqrt{3}$, AB = 3, BC = 6. Tính số

đo góc B

A. 60°;

B. 45°;

C. 30°;

D. 120°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả của định lý côsin, ta có: $\mathrm{cosB}=\frac{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{b}}^2}{2\mathrm{ac}}$

$\iff \mathrm{cosB}=\frac{{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AB}}^2-{\mathrm{AC}}^2}{2\mathrm{AB}.\mathrm{BC}}=\frac{6^2+3^2-{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}{\mathrm{2.6.3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{\mathrm{B}}=60°$.

Bài 5. Cho tam giác ABC có a = 2, $\mathrm{b}=\sqrt{6}$, $\mathrm{c}=\sqrt{3}+1$. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.

A. $\sqrt{2}$;

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$;

D. $\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\mathrm{cosA}=\frac{{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{a}}^2}{2\mathrm{bc}}=\frac{{\sqrt{6}}^2+{(\sqrt{3}+1)}^2-2^2}{2.\sqrt{6}.(\sqrt{3}+1)}$$=\frac{\sqrt{2}}{2}$$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{A}}$ = 45°.

Do đó: $\mathrm{R}=\frac{\mathrm{a}}{2\mathrm{sinA}}$$=\frac{2}{2.\sin 45°}$$=$$\sqrt{2}$.

Bài 6. Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là 5; 12; 13.

A. 60;

B. 30;

C. 34;

D. $7\sqrt{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nửa chu vi của tam giác là: $\mathrm{p}=\frac{5+12+13}{2}=15$

Diện tích của tam giác là:

$\mathrm{S}=\sqrt{\mathrm{p}\left(\mathrm{p}-5\right)\left(\mathrm{p}-12\right)\left(\mathrm{p}-13\right)}=\sqrt{15\left(15-5\right)\left(15-12\right)\left(15-13\right)}=30$