Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (Kết nối tri thức 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

A. Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

1. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là Pn, được tính bằng công thức

Pn = n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : Pn = n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P3 = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

Ví dụ : Từ 3 chữ số 1, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách sắp xếp ba chữ số đã cho để lập thành một số có ba chữ số khác nhau là một hoán vị của ba chữ số đó.

Do đó ta có số các số thỏa mãn là: P3 = 3! = 3.2.1 = 6 (số).

Vậy có 6 số có ba chữ số khác nhau lập từ ba chữ số 1, 6, 9.

2. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là $A_n^k$, được tính bằng công thức:

$A_n^k$ = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$(1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy Pn = $A_n^n$

Ví dụ: Một nhóm có 8 học sinh, giáo viên muốn chọn ra hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn lần lượt 2 bạn trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó là một chỉnh hợp chập 2 của 8 học sinh.

Ta có : $A_8^2=\frac{8!}{(8-2)!}=56$

Vậy có 56 cách chọn ra 2 trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó.

3. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là $C_n^k$, được tính bằng công thức :

$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}(0\le k\le n)$

Chú ý :

+) <$C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Ví dụ : Một tổ có 10 người, bạn tổ trưởng muốn cử ra 5 bạn đi trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn lần lượt 5 bạn trong 10 bạn đi trực nhật là một tổ hợp chập 5 của 10.

Ta có $C_{10}^5=\frac{10!}{(10-5)!5!}=252$

Vậy có 252 cách chọn 5 trong 10 bạn đi trực nhật.

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính Pn, $A_n^k$, $C_n^k$ sẽ được dùng rất nhiều.

Ví dụ : Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã mở cửa. Gia đình bác An đặt mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi bác An có bao nhiêu cách tạo mật mã ?

Hướng dẫn giải

Các chữ số có một chữ số để tạo mật mã là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Vì mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau nên mỗi mật mã là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.

Ta có $A_{10}^6=\frac{10!}{(10-6)!}=151200$

Vậy có 151 200 cách để bác An tạo mật mã cửa.

5. Sử dụng máy tính cầm tay

Ta có thể dùng máy tính cầm tay để tính số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Hoán vị

Để tính n!, ta ấn phím theo trình tự sau :

Ấn số n, ấn phím, sau đó ấn phím. Khi đó kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ : Tính 9!

Ta ấn liên tiếp các phím như sau

Dòng kết quả hiện ra 362 880.

Vậy 9! = 362 880.

Chỉnh hợp

Để tính $A_n^k$ ta ấn theo trình tự sau :

Ấn số n, ấn phímấn số k, sau đó ấn phím. Khi đó kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ: Tính $A_{15}^2$

Ta ấn các phím theo trình tự sau :

Dòng kết quả hiện ra 210.

Vậy $A_{15}^2$ = 210.

Tổ hợp

Để tính <$C_n^k$ ta ấn phím theo trình tự sau :

Ấn số n, ấn phím, ấn số k, sau đó ấn phím. Khi đó, kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ: Tính $C_{20}^5$

Ta ấn các phím theo trình tự sau :

Dòng kết quả hiện ra 15 504.

Vậy $C_{20}^5$= 15 504.

B. Bài tập Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 1: Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số sau: 9, 5, 4, 8, 3.

Hướng dẫn giải

Mỗi cách lấy ba trong năm chữ số sau đó sắp xếp chúng thành số có ba chữ số khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số.

Ta có: $A_5^3=\frac{5!}{(5-3)!}=60$

Vậy có 60 số có ba chữ số khác nhau mà các chữ số đó lấy từ năm chữ số : 9, 5, 4, 8, 3.

Bài 2: Giáo viên muốn xếp 4 học sinh ngồi cùng một bàn có bốn chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp bốn học sinh đó vào vị trí chỗ ngồi?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách xếp bốn học sinh vào bốn vị trí chỗ là một hoán vị của bốn học sinh đó.

Do vậy ta có P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp.

Vậy có 24 cách xếp bốn học sinh vào bốn vị trí chỗ ngồi.

Bài 3: Một nhóm gồm 22 học sinh, giáo viên muốn lấy ra một đội gồm 8 bạn tham gia chơi trò chơi dân gian. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách để chọn?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách lấy 8 học sinh từ 22 học sinh là một tổ hợp chập 8 của 22 học sinh.

Ta có: $C_{22}^8=\frac{22!}{(22-8)!8!}=319\text{770}$

Vậy có 319 770 cách lấy 8 học sinh từ 22 học sinh để tham gia chơi trò chơi.

Bài 4: Sử dụng máy tính cầm tay hãy tính:

a) P7;

b) <$A_{21}^6$

c) <$C_9^3$

Hướng dẫn giải

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được các kết quả sau:

a) Ta ấn các phím theo trình tự sau:

Dòng kết quả hiện ra là 5 040.

Vậy P7 = 5 040.

b) Ta ấn các phím theo trình tự sau:

Dòng kết quả hiện ra là 39 070 080.

Vậy $A_{21}^6=39070080$

c) Ta ấn các phím theo trình tự sau:

Dòng kết quả hiện ra là 84.

Vậy $C_9^3=84$