Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ (Kết nối tri thức 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

A.Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ khác $\overrightarrow{0}$. Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ hay đơn giản là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, kí hiệu là ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$).

Chú ý :

+ Quy ước rằng góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{0}$ có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0° đến 180°.

+ Nếu ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = 90° thì ta nói rằng $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau. Kí hiệu $\overrightarrow{u}$ ⊥ $\overrightarrow{v}$ hoặc $\overrightarrow{v}$ ⊥ $\overrightarrow{u}$. Đặc biệt được coi là vuông góc với mọi vectơ.

Ví dụ : Cho tam giác ABC vuông tại A và $\hat{B}=30°$. Tính $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$.

Hướng dẫn giải

Ta có $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ = $\widehat{BAC}=90°$.

Tam giác ABC vuông tại A nên ta có .

$\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90°\Rightarrow \widehat{ACB}=90°-\widehat{ABC}=90°-30°=60°$

Suy ra: $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=\widehat{ACB}=60°$.

Vẽ $\overrightarrow{BD}$ sao cho $\overrightarrow{BD}$ = $\overrightarrow{AB}$. Khi đó $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$ = $(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC})$ = $\widehat{CBD}$.

Mặt khác $\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{CBD}=180°-\widehat{ABC}=180°-30°=150°$.

Do đó, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$ = $\widehat{CBD}$ = 150°.

Vậy $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ = 90°, $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$ = 60°, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})$ = 150°.

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$, được xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = |$\overrightarrow{u}$|.|$\overrightarrow{v}$|.cos($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$)

Chú ý:

+) $\overrightarrow{u}$ ⊥ $\overrightarrow{v}$ ⇔ $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = 0.

+) $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{u}$ còn được viết là ${\overrightarrow{u}}^2$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{u}$.

Ta có ${\overrightarrow{u}}^2=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{u}\right|.\cos 0°={\left(\overrightarrow{u}\right)}^2$.

(Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.)

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2 và có đường cao AH. Tính các tích vô hướng:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$;

b) $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì tam giác ABC đều nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}=60°$.

Suy ra: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\mathrm{2.2.}\cos 60°=\mathrm{2.2.}\frac{1}{2}=2$.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = 2.

b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ⊥ BC.

Do đó $(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC})=90°$.

Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|\cos (\overrightarrow{AH},\overrightarrow{BC})=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|\cos 90°=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.0=0$.

Vậy $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}$ = 0.

3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng

• Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}=(x;y)$ và $\overrightarrow{v}=(x\text{'};y\text{'})$ được tính theo công thức :

$\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = x.x' + y.y'.

Nhận xét:

+ Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi x.x' + y.y' = 0.

+ Bình phương vô hướng của $\overrightarrow{u}=(x;y)$ là ${\overrightarrow{u}}^2$ = x2 + y2.

+ Nếu $\overrightarrow{u}$ ≠ $\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{v}$ ≠ $\overrightarrow{0}$ thì cos($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = $\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\frac{xx\text{'}+yy\text{'}}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2}}$.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=(0;-5)$ và $\overrightarrow{v}=(\sqrt{3};1)$ .

a) Tính tích vô hướng của hai vectơ trên.

b) Tìm góc giữa của hai vectơ trên.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = 0.$\sqrt{3}$ + (–5).1= –5;

Vậy $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = –5.

b) Ta có $|\overrightarrow{u|}=\sqrt{0^2+{(-5)}^2}=5$; $\left|\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}=2$

Suy ra : cos($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = $\frac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\frac{-5}{5.2}=\frac{-5}{10}=\frac{-1}{2}$.

Suy ra ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = 120°.

Vậy ($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$) = 120°.

• Tính chất của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{\text{w}}$ bất kì và mọi số thực k, ta có :

+) $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = $\overrightarrow{v}$. $\overrightarrow{u}$ (tính chất giao hoán);

+) $\overrightarrow{u}$. ($\overrightarrow{v}$ + $\overrightarrow{\text{w}}$) = $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ + $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{\text{w}}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng) ;

+) (k $\overrightarrow{u}$). $\overrightarrow{v}$ = k ($\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$) = $\overrightarrow{u}$.( k$\overrightarrow{v}$).

Chú ý: Từ tính trên, ta có thể chứng minh được :

$\overrightarrow{u}$. ($\overrightarrow{v}$ – $\overrightarrow{\text{w}}$)= $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ – $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{\text{w}}$ (tính chất phân phối đối với phép trừ) ;

($\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$)2 = ${\overrightarrow{u}}^2$ + 2$\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ + ${\overrightarrow{v}}^2$; ($\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$)2 = ${\overrightarrow{u}}^2$ –2$\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$ + ${\overrightarrow{v}}^2$;

($\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$).($\overrightarrow{u}$ – $\overrightarrow{v}$) = ${\overrightarrow{u}}^2$ – ${\overrightarrow{v}}^2$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm M tùy ý ta có:

$\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=0$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MA}.(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB};$(1)

$\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{MB}.(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC};$ (2)

$\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MC}.(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA})=\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$. (3)

Cộng các kết quả từ (1), (2), (3), ta được: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=0$

Vậy $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=0$.

B.Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=(1;-2);\overrightarrow{b}=(-1;-3)$.

a) Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

b) Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{a}$ .$\overrightarrow{b}$ = 1.(–1) + (–2).(–3) = 5.

Vậy $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ = 5.

b) Ta có $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{1^2+{(-2)}^2}=\sqrt{5}$; $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{{(-1)}^2+{(-3)}^2}=\sqrt{10}$.

Khi đó cos($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$) = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{5}{\sqrt{5}.\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra ($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ ) = 45°.

Vậy góc giữa hai vectơ và là 45°.

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(2; 4) và B(1; 1). Tìm tọa độ của điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B.

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm C cần tìm có tọa độ (x; y). Để tam giác ABC vuông cân tại B ta phải có:

$\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\\ \left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|\end{array}\right)$

Ta có $\overrightarrow{BA}=(1;3)$ và $\overrightarrow{BC}=(x-1;y-1)$.

Khi đó $\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=1.(x-1)+3(y-1)=x+3y-4$.

Và $\left|\overrightarrow{BA}\right|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$; $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-1)}^2}$

Ta có: $\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=0\\ \left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|\end{array}\right)$

⇔ $\left(\begin{array}{c}x+3y-4=0\\ \sqrt{10}=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-1)}^2}\end{array}\right)$

⇔ $\left(\begin{array}{c}x+3y-4=0\\ \sqrt{10}=\sqrt{{(x-1)}^2+{(y-1)}^2}\end{array}\right)$

⇔ $\left(\begin{array}{c}x+3y-4=0\\ 10={(x-1)}^2+{(y-1)}^2\end{array}\right)$

⇔ $\left(\begin{array}{c}x=4-3y\\ {(3-3y)}^2+{(y-1)}^2=10\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}x=4-3y\\ 10y^2-20y=0\end{array}\right)$

⇔ $\left(\begin{array}{c}x=4-3y\\ \left(\begin{array}{c}y=0\\ y=2\end{array}\right)\end{array}\right)$ ⇔ $\left(\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}x=4\\ y=0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c}x=-2\\ y=2\end{array}\right)\end{array}\right)$