Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 (Kết nối tri thức 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán lớp 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

A. Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

1. Giá trị lượng giác của một góc

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị.

Cho trước một góc α, 0° ≤ α ≤ 180°. Khi đó, có duy nhất điểm M(x0; y0) trên nửa đường tròn đơn vị để $\widehat{\mathrm{xOM}}=\mathrm{\alpha }$.

- Định nghĩa tỉ số lượng giác của một góc từ 0o đến 180o

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), gọi M(x0; y0) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho  $\widehat{\mathrm{xOM}}=\mathrm{\alpha }$. Khi đó:

+ sin của góc α là tung độ y0 của điểm M, được kí hiệu là sin α;

+ côsin của góc α là hoành độ x0 của điểm M, được kí hiệu là cos α;

+ Khi α ≠ 90° (hay x0 ≠ 0), tang của α là $\frac{{\mathrm{y}}_0}{{\mathrm{x}}_0}$, được kí hiệu là tan α;

+ Khi α ≠ 0° và α ≠ 180° (hay y0 ≠ 0), côtang của α là $\frac{{\mathrm{x}}_0}{{\mathrm{y}}_0}$, được kí hiệu là cot α.

- Từ định nghĩa trên ta có:

$\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 90°);$$\mathrm{cot\alpha }=\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}(\mathrm{\alpha }\ne 0°\mathrm{và}\mathrm{\alpha }\ne 180°);$$\mathrm{tan\alpha }=\frac{1}{\mathrm{cot\alpha }}\text{ (}\mathrm{\alpha }\notin \text{{}0°;90°;180°\text{}})$

- Bảng giá trị lượng giác (GTLG) của một số góc đặc biệt:

Chú ý: Kí hiệu || chỉ giá trị lượng giác tương ứng không xác định.

Ví dụ: Tìm các giá trị lượng giác của góc 120°.

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{\mathrm{xOM}}={120}^{\mathrm{o}}$. Gọi N, K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Do $\widehat{\mathrm{xOM}}={120}^{\mathrm{o}}$ và $\widehat{\mathrm{xOK}}={90}^{\mathrm{o}}$nên $\widehat{\mathrm{KOM}}={30}^{\mathrm{o}}$và $\widehat{\mathrm{MON}}={60}^{\mathrm{o}}$.

Từ bảng GTLG của một số góc đặc biệt:

Ta có: cos 60o = $\frac{1}{2}$ và cos 30o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Các tam giác MOK và MON là các tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1

Suy ra ON = cos$\widehat{\mathrm{MON}}$.OM = cos60o.1 = $\frac{1}{2}$ và OK = cos$\widehat{\mathrm{MOK}}$.OM = cos30o.1 = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Mặt khác, do điểm M nằm bên trái trục tung nên $\mathrm{M}\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Theo định nghĩa giá trị lượng giác ta có:

sin 120o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

cos 120o =  $-\frac{1}{2}$

tan 120o = $\frac{\sin {120}^{\mathrm{o}}}{\cos {120}^{\mathrm{o}}}=-\sqrt{3}$

cot 120o = $\frac{\cos {120}^{\mathrm{o}}}{\sin {120}^{\mathrm{o}}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Vậy sin 120o = $\frac{\sqrt{3}}{2}$; cos 120o =  $-\frac{1}{2}$; tan 120o = $-\sqrt{3}$; cot 120o = $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

- Ta có thể dùng máy tính bỏ túi để tính giá trị gần đúng của các giá trị lượng giác của một góc.

Ví dụ:

- Ta cũng có thể tìm được góc khi biết một giá trị lượng giác của góc đó.

Ví dụ:

Chú ý:

+ Khi tìm x biết sin x, máy tính chỉ đưa ra giá trị x ≤ 90°.

+ Muốn tìm x khi biết cos x, tan x, ta cũng làm tương tự như trên, chỉ thay phím  tương ứng bởi phím .

2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Đối với hai góc bù nhau, α và 180° – α, ta có:

sin (180° – α) = sin α;

cos (180° – α) = – cos α;

tan (180° – α) = – tan α  (α ≠ 90°);

cot (180° – α) = – cot α  (0° < α < 180°).

Chú ý:

- Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; có côsin, tang, côtang đối nhau.

Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác của góc 135°.

Hướng dẫn giải

Ta có 135° + 45° = 180°, vì vậy góc 135° và góc 45° là hai góc bù nhau:

Suy ra:

sin135° = sin45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

cos135° = – cos45° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$

tan135° = – tan45° = –1

cot135° = – cot45° = –1

Vậy sin135° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos135° = $-\frac{\sqrt{2}}{2}$; tan135° = –1 ; cot135° = –1.

- Hai góc phụ nhau có sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Ví dụ:

Ta có  30° + 60° = 90° nên góc 30° và góc 60° là hai góc phụ nhau.

Khi đó:  

sin30° = cos60° = $\frac{1}{2}$

tan30° = cot60° = $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

B. Bài tập tự luyện

B1. Bài tập tự luận

Bài 1. Cho $\mathrm{A}=\frac{3\mathrm{sin\alpha }-\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }+\mathrm{cos\alpha }}$ và tan α = $\sqrt{2}$. Chứng minh $\mathrm{A}=7-4\sqrt{2}.$ 

Hướng dẫn giải

Ta có: $\mathrm{tan\alpha }=\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}=\sqrt{2}\Rightarrow \mathrm{sin\alpha }=\sqrt{2}\mathrm{cos\alpha }$

Suy ra $\mathrm{A}=\frac{3\mathrm{sin\alpha }-\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }+\mathrm{cos\alpha }}$

$=\frac{3\sqrt{2}\mathrm{cos\alpha }-\mathrm{cos\alpha }}{\sqrt{2}\mathrm{cos\alpha }+\mathrm{cos\alpha }}$ 

$=\frac{(3\sqrt{2}-1)\mathrm{cos\alpha }}{(\sqrt{2}+1)\mathrm{cos\alpha }}$

$=\frac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\left(3\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}=7-4\sqrt{2}$

Vậy A= 7 –  4$\sqrt{2}$.

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 3sin150° + tan135° + cot45°

b) cot135° – tan60°. cos230°

Hướng dẫn giải

a) 3sin 150° + tan 135° + cot 45°

= 3.sin(180° – 30°) + tan(180° – 45°) + cot 45°

= 3.sin30° –  tan45° + cot45°

= 3 . $\frac{1}{2}$ + (-1) + 1 = $\frac{3}{2}$.

b) cot 135° – tan 60°. cos2 30°  

= cot(180° – 45°) – tan60°.cos230°

= – cot45° – tan60°.cos230°

= (– 1) – $\sqrt{3}$.${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$= $-\frac{4+3\sqrt{3}}{4}$.

Bài 3. Cho góc α, biết sin α = $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Tính giá trị của biểu thức A = 4sin2 α + 3cos2 α.

Hướng dẫn giải

Ta có:

A = 4sin2 α + 3cos2 α = (3sin2 α + 3cos2 α) + sin2 α = 3  (sin2 α + cos2 α) + sin2 α

Vì cos2 α  + sin 2 α  = 1 và sin α = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Thay vào A ta có:  A = 3. 1 + ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ = $\frac{7}{2}$;

Vậy A = $\frac{7}{2}$.

B2. Bài tập trắc nghiệm

Bài 4. Biết tanα = 2, giá trị của biểu thức $\mathrm{M}=\frac{3\mathrm{sin\alpha }-2\mathrm{cos\alpha }}{5\mathrm{cos\alpha }+7\mathrm{sin\alpha }}$

bằng:

A. $-\frac{4}{9}$;

B. $\frac{4}{19}$;

C. $-\frac{4}{19}$;

D. $\frac{4}{9}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cách 1: Vì cos α ≠ 0 nên chia cả tử và mẫu của M cho cosα ta có:

$\mathrm{M}=\frac{3\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}-2}{5+7\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}}=\frac{3.\mathrm{tan\alpha }-2}{5+7.\mathrm{tan\alpha }}=\frac{3.2-2}{5+7.2}=\frac{4}{19}$.

Cách 2: Ta có: $\mathrm{tan\alpha }=2\iff \frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}=2\left(\mathrm{cos\alpha }\ne 0\right)\iff \mathrm{sin\alpha }=2\mathrm{cos\alpha }$, thay sinα = 2cosα vào M ta được $\mathrm{M}=\frac{3.2\mathrm{cos\alpha }-2\mathrm{cos\alpha }}{5\mathrm{cos\alpha }+7.2\mathrm{cos\alpha }}=\frac{4\mathrm{cos\alpha }}{19\mathrm{cos\alpha }}=\frac{4}{19}$.

Bài 5. Cho $\mathrm{cos\alpha }=-\frac{4}{5}$ và góc α thỏa mãn 90° < α < 180°. Khi

đó.

A. $\mathrm{cot\alpha }=\frac{4}{3}$;

B. $\mathrm{sin\alpha }=\frac{3}{5}$;

C. $\mathrm{tan\alpha }=\frac{4}{5}$.

D. $\mathrm{sin\alpha }=-\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: sin2α + cos2α = 1

⇔ sin2α = 1 – cos2α  = 1 – ${\left(-\frac{4}{5}\right)}^2$= 1 – $\frac{16}{25}$= $\frac{9}{25}.$

⇔ $\left[\begin{array}{l}\mathrm{sin\alpha }=\frac{3}{5}\\ \mathrm{sin\alpha }=-\frac{3}{5}\end{array}\right.$

Vì 90° < α < 180° nên sinα > 0. Do đó $\mathrm{sin\alpha }=\frac{3}{5}$ 

⇒ tanα = $\frac{\mathrm{sin\alpha }}{\mathrm{cos\alpha }}=-\frac{3}{4}$, cotα = $\frac{\mathrm{cos\alpha }}{\mathrm{sin\alpha }}=-\frac{4}{3}$.

Vậy đáp án đúng là B.

Bài 6. Nếu 3cosx + 2 sinx = 2 và sinx < 0  thì giá trị đúng của

sinx là:

A. $-\frac{5}{13}$;

B. $-\frac{7}{13}$;

C. $-\frac{9}{13}$;

D. $-\frac{12}{13}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: 3cosx + 2 sinx = 2

$\iff$(3cosx + 2 sinx)2 = 4

$\iff$9cos2x + 12cosx.sinx + 4sin2x = 4(sin2x + cos2x)

$\iff$5cos2x + 12cosx.sinx = 0

$\iff$cosx(5cosx + 12sinx) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}\text{cos}\mathrm{x}=0\\ 5\text{cos}\mathrm{x}+12\mathrm{sinx}=0\end{array}\right.$

Với cosx = 0$\Rightarrow$sinx = 1 loại vì sinx < 0.

Với 5cosx + 12sinx = 0, ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}5\text{cos}\mathrm{x}+12\mathrm{sinx}=0\\ 3\mathrm{cosx}+2\mathrm{sinx}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{sinx}=-\frac{5}{13}\\ \text{cos}\mathrm{x}=\frac{12}{13}\end{array}\right.$.

Vậy $\mathrm{sinx}=-\frac{5}{13}$.