Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai (Kết nối tri thức 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán 10 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

A. Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai

1. Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những số thực cho trước (với a ≠ 0), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

Chú ý : Nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cũng là nghiệm của tam thức bậc hai ax2 + bx + c.

Ví dụ : Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là tam thức bậc hai và tìm nghiệm của tam thức bậc hai đó.

a) A = x2 + 6x + 10;

b) B = 2x3 + x;

c) C = $\sqrt{x}$ + 2x + 1.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức A = x2 + 6x + 10 có dạng tam thức bậc hai với a = 1; b = 6 ; c = 10.

Nghiệm của tam thức bậc hai x2 + 6x + 10 cũng chính là nghiệm của phương trình x2 + 6x + 10 = 0.

Xét phương trình x2 + 6x + 10 = 0 có ∆ = 62 – 4.1.10 = –4 < 0

Suy ra phương trình x2 + 6x + 10 = 0 vô nghiệm.

Vậy tam thức bậc hai x2 + 6x + 10 vô nghiệm.

b) Đa thức 2x3 + x có bậc là 3 nên biểu thức B = 2x3 + x không phải là tam thức bậc hai.

c) Biểu thức C = $\sqrt{x}$ + 2x + 1 không có dạng ax2 + bx + c (a ≠ 0), do đó nó không phải là tam thức bậc hai.

Vậy biểu thức A = x2 + 6x + 10 là tam thức bậc hai và tam thức này vô nghiệm.

Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0).

+ Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ℝ.

+ Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\ne -\frac{b}{2a}$ và $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=0$

+ Nếu ∆ > 0 thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 (x1 < x2). Khi đó, f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ (–∞; x1) ∪ (x2; +∞); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ (x1; x2).

Tức là, khi ∆ > 0, dấu của f(x) và a là: “Trong trái, ngoài cùng”

Chú ý: Trong định lí về dấu của tam thức bậc hai có thể thay ∆ bởi ∆’.

Ví dụ: Xét dấu của tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = –2x2 + x – 2;

b) f(x) = – 4x2 – 12x – 9.

c) f(x) = 2x2 – x – 15.

Hướng dẫn giải

a) Xét f(x) = – 2x2 + x – 2 có ∆ = 12 – 4. (–2).(–2) = –15 < 0 .

Mặt khác a = –2 < 0 nên f(x) luôn cùng dấu với hệ số a = –2 < 0.

Vậy f(x) luôn âm với mọi x ∈ℝ.

b) Xét f(x) = – 4x2 – 12x – 9.

Ta có ∆ = (–12)2 – 4. (–4). (–9) = 0

Mặt khác a = –4 < 0 nên f(x) cùng dấu với a = –4 < 0 với mọi x ≠ $-\frac{3}{2}$ và f( $-\frac{3}{2}$) = 0.

Vậy f(x) âm với mọi x ≠ $-\frac{3}{2}$ và f( $-\frac{3}{2}$) = 0.

c) Xét f(x) = 2x2 – x – 15.

Ta có ∆ = (–1)2 – 4. 2 (–15) = 121 > 0.

Khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{1+\sqrt{121}}{2.2}=3$ và $x_2=\frac{1-\sqrt{121}}{2.2}=-\frac{5}{2}$ .

Mặt khác a = 2 > 0 nên ta có bảng xét dấu sau :

Vậy f(x) dương trong khoảng $\left(-\infty ;-\frac{5}{2}\right)\cup \left(3;+\infty \right)$ và âm trong khoảng .

2. Bất phương trình bậc hai

- Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c > 0 (hoặc ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho và a ≠ 0.

- Số thực x0 gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c > 0, nếu ax02 + bx0 + c > 0. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c > 0 gọi là tập nghiệm của bất phương trình này.

- Giải một bất phương trình bậc hai là tìm tập nghiệm của nó.

Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c > 0 (hoặc ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≤ 0) ta cần xét dấu tam ax2 + bx + c, từ đó suy ra tập nghiệm.

Ví dụ: Giải bất phương trình sau: 2x2 – 5x + 3 < 0;

Hướng dẫn giải

Đặt f(x) = 2x2 – 5x + 3

Ta có ∆ = (–5)2 – 4.2.3 = 1 > 0

Do đó f(x) = 2x2 – 5x + 3 có hai nghiệm phân biệt là :

$x_1=\frac{5+\sqrt{1}}{2.2}=\frac{3}{2}$ và $x_2=\frac{5-\sqrt{1}}{2.2}=1$ .

Mặt khác a = 2 > 0 nên ta có bảng xét dấu sau :

Từ bảng xét dấu trên ta thấy f(x) = 2x2 – 5x + 3 < 0 khi x ∈ $\left(1;\frac{3}{2}\right)$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 2x2 – 5x + 3 < 0 là $\left(1;\frac{3}{2}\right)$ .

B. Bài tập Dấu của tam thức bậc hai

Bài 1: Giải các bất phương trình bậc hai:

a) 3x2 + 2x + 5 < 0

b) x2 + 12x + 36 > 0

c) 2x2 – x – 1 ≤ 0

Hướng dẫn giải

a) Đặt f(x) = 3x2 + 2x + 5

Ta có ∆ = 22 – 4.3.5 = –56< 0.

Khi đó f(x) luôn cùng dấu với a = 3 > 0 với mọi x ∈ℝ.

Tức là f(x) =3x2 + 2x + 5 > 0 với mọi x ∈ℝ.

Do đó bất phương trình 3x2 + 2x + 5 < 0 vô nghiệm.

b) Đặt g(x) = x2 + 12x + 36

Ta có ∆ = 122 – 4.1.36 = 0.

Khi đó g(x) luôn cùng dấu với a = 1 > 0 với mọi x ≠ –6 và g(–6) = 0.

Tức là g(x) = x2 + 12x + 36 > 0 với mọi x ≠ –6 và g(–6) = 0.

Do đó bất phương trình x2 + 12x + 36 > 0 khi x ≠ –6.

Vậy bất phương trình x2 + 12x + 36 > 0 có tập nghiệm là ℝ\{–6}.

c) Đặt h(x) = 2x2 – x – 1

Ta có ∆ = (–1)2 – 4.2.(–1) = 9> 0.

Khi đó h(x) có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{-(-1)+\sqrt{9}}{2.2}=1$ và $x_2=\frac{-(-1)-\sqrt{9}}{2.2}=-\frac{1}{2}$ .

Mặt khác a = 2> 0 nênta có bảng xét dấu sau :

Từ bảng xét dấu ta thấy h(x) = 2x2 – x – 1 ≤ 0 khi x ∈ $\left(-\frac{1}{2};1\right)$.

Vậy bất phương trình 2x2 – x – 1 ≤ 0 có tập nghiệm là $\left(-\frac{1}{2};1\right)$

Bài 2: Tổng chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm được cho bởi biểu thức x2 + 20x + 3 100; giá bán của một sản phẩm là 150 nghìn đồng. Số sản phẩm sản xuất phải trong khoảng nào để đảm bảo không bị lỗ.

Hướng dẫn giải

Vì giá bán một sản phẩm là 150 nghìn đồng nên với x sản phẩm thì bán được 150x (nghìn đồng).

Do tổng chi phí để sản xuất ra x sản phầm là x2 + 20x + 3 100 nên lợi nhuận thu về từ x sản phẩm là:

150x – (x2 + 20x + 3 100) = – x2 + 130x – 3100.

Để không bị lỗ thì – x2 + 130x – 3 100 ≥ 0.

Đặt f(x) = – x2 + 130x – 3 100

Ta có: ∆ = 1302 – 4.(–1)( –3 100) = 4 500 > 0.

Khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là $x_1=\frac{-130+\sqrt{4500}}{2.(-1)}=65-15\sqrt{5}\approx 31,5$ và $x_2=\frac{-130-\sqrt{4500}}{2.(-1)}=65+15\sqrt{5}\approx 98,5$.

Mặt khác a = –1 < 0 nên ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy f(x) = – x2 + 130x – 3 100 ≥ 0 khi x ∈ [31,5; 98,5].

Mặt khác, vì x là số sản phẩm nên để không bị lỗ thì x ∈ [32; 98].

Vậy để không bị lỗ thì số sản phẩm sản xuất phải từ 32 đến 98 sản phẩm.

Bài 3: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = – 2x2 + 3x +5

b) g(x) = –x2 + 2x + 4

c) h(x) = 4x2 – 5x + 7

Hướng dẫn giải

a) Xét f(x) = –2x2 + 3x + 5 có ∆ = 32 – 4. (–2).5 = 49 > 0

Khi đó f(x) có hai nghiệm phân biệt $x_1=\frac{-3+\sqrt{49}}{2.(-2)}=-1$ và $x_2=\frac{-3-\sqrt{49}}{2.(-2)}=\frac{5}{2}$ .

Mặt khác a = –2 < 0 nênta có bảng xét dấu sau :

Vậy f(x) âm trong khoảng $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left(\frac{5}{2};+\infty \right)$ và dương trong khoảng $\left(-1;\frac{5}{2}\right)$ .

b) Xét g(x) = –x2 + 2x –4 có ∆ = 22 – 4. (–1). (–4) = –12 < 0

Mặt khác a = –1 < 0 nên g(x) luôn cùng dấu với hệ số a = –1 < 0.

Vậy g(x) luôn âm với mọi x ∈ℝ.

c) Xét h(x) = 3x2 – 6x + 3 có ∆ = (–6)2 – 4.3.3 = 0.

Khi đó h(x) cùng dấu với hệ số a = 3 > 0 với mọi $x\ne -\frac{-6}{2.3}$ , tức là x ≠ 1 và h(1) = 0.

Vậy h(x) dương với mọi x ≠ 1 và h(1) = 0.