Lý thuyết Phương trình đường thẳng (Kết nối tri thức 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng

A. Lý thuyết Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

- Vectơ $\overrightarrow{n}$ khác $\overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆.

Nhận xét:

+ Nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì $k\overrightarrow{n}$ (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của ∆.

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Ví dụ: Cho hai điểm A(2; 1) và B(0; 4). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{AB}=(0-2;4-1)=(-2;3)$

Vì đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB}=(-2;3)$.

Vậy vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB là $\overrightarrow{AB}(-2;3)$.

- Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x0; y0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(a;b)$. Khi đó M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi a(x – x0) + b(y – y0) = 0.

- Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0.

Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax + by + c = 0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận $\overrightarrow{n}(a;b)$ là một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận $\overrightarrow{n}(-1;3)$ là một vectơ pháp tuyến.

Hướng dẫn giải

Điểm A(1; 2) thuộc ∆ và $\overrightarrow{n}(-1;3)$ là một vectơ pháp tuyến của ∆.

Khi đó đường thẳng ∆ có phương trình là: – 1(x – 1) + 3(y – 2) = 0 hay – x + 3y – 5 = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là – x + 3y – 5 = 0.

Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0.

+ Nếu b = 0 thì phương trình ∆ có thể đưa về dạng x = m (với m = $-\frac{c}{a}$) và ∆ vuông góc với Ox.

+ Nếu b ≠ 0 thì phương trình ∆ có thể đưa về dạng y = nx + p (với n = $-\frac{a}{b}$, p =$-\frac{c}{b}$ ).

Ví dụ:

a) Đường thẳng ∆: 2x + 3 = 0 là tập hợp những điểm M thỏa mãn 2x + 3 = 0, hay x = $-\frac{3}{2}$ .

b) Đường thẳng ∆: x + 4y – 2 = 0 là tập hợp những điểm M thỏa mãn x + 3y – 2 = 0, hay $y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$ .

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Vectơ $\overrightarrow{u}$ khác $\overrightarrow{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét:

+ Nếu $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì $k\overrightarrow{u}$(k ≠ 0) cũng là vectơ chỉ phương của ∆.

+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.

+ Vectơ $\overrightarrow{n}(a;b)$ vuông góc với các vectơ và $\overrightarrow{u}(-b;a)$ và $\overrightarrow{v}(b;-a)$ nên nếu $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(2; 1) và B(–2; 3). Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2-2;3-1)=(-4;2)$

Khi đó giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ trùng với đường thẳng AB nên đường thẳng AB nhận vectơ $\overrightarrow{AB}(-4;2)$ là một vectơ chỉ phương.

Lấy $\overrightarrow{n}=(2;4)$ , khi đó $\overrightarrow{n}=(2;4)$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$.

Do đó $\overrightarrow{n}=(2;4)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

Vậy $\overrightarrow{AB}(-4;2)$ là vectơ chỉ phương, $\overrightarrow{n}=(2;4)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB.

- Cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x0; y0) và có vectơ chỉ phương . Khi đó điểm M(x; y) thuộc đường thẳng ∆ khi và chỉ khi tồn tại số thực t sao cho $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}$, hay $\left(\begin{array}{c}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}\right)\text{(2)}$

Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ∆ (t là tham số).

Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; –3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(2;-1)$.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; –3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(2;-1)$ .

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng ∆ là:$\left(\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-3-t\end{array}\right)$

B. Bài tập Phương trình đường thẳng

Bài 1. Cho vectơ $\overrightarrow{n}(-5;2)$ và điểm A( $\frac{1}{2}$; 6). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có vectơ pháp tuyến là .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A($\frac{1}{2}$ ; 6) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(-5;2)$ .

Khi đó ∆ có phương trình tổng quát là –5(x – $\frac{1}{2}$ ) + 2(y – 6) = 0, hay –5x + 2y – $\frac{19}{2}$ = 0.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là: –5x + 2y –$\frac{19}{2}$ = 0.

Bài 2. Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M(2; –2) và N(0; 3).

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{NM}=(2-0;-2-3)=(2;-5)$

Đường thẳng đi qua hai điểm M và N có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{NM}(2;-5)$ .

Khi đó đường thẳng đi qua điểm N(0 ; 3) có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{NM}(2;-5)$ có phương trình tham số là $\left(\begin{array}{c}x=2t\\ y=3-5t\end{array}\right)$

Vậy, phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N là $\left(\begin{array}{c}x=2t\\ y=3-5t\end{array}\right)$:

Bài 3. Cho tam giác PQR có P(–4; 1), Q(1; 3), R(2; 5).

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ R của tam giác PQR.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ P của tam giác PQR.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{PQ}=(1+4;3-1)=(5;2)$

Đường cao của tam giác PQR kẻ từ R là đường thẳng đi qua điểm R(2 ; 5) và vuông góc với PQ. Do đó, nó nhận vectơ $\overrightarrow{PQ}(5;2)$ là một vectơ pháp tuyến.

Khi đó, phương trình tổng quát của đường cao này là: 5(x – 2) + 2(y – 5) = 0, hay 5x + 2y – 20 = 0.

Vậy đường cao kẻ từ R của tam giác PQR có phương trình tổng quát là: 5x + 2y – 20 = 0.

b) Gọi I là trung điểm của QR. Khi đó tọa độ của điểm I thỏa mãn:

$\left(\begin{array}{c}{x}_I=\frac{x_Q+x_R}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}\\ y_I=\frac{y_Q+y_R}{2}=\frac{3+5}{2}=4\end{array}\right)$

Suy ra I($\frac{3}{2}$ ; 4).

Ta có $\overrightarrow{PI}=(\frac{3}{2}+4;4-1)=(\frac{11}{2};3)$

Đường trung tuyến kẻ từ P của tam giác PQR chính là đường thẳng đi qua hai điểm P và I, tức là đường thẳng PI.

Do đó đường thẳng PI đi qua P(–4; 1), có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{PI}(\frac{11}{2};3)$.

Phương trình tham số của đương thẳng PI là $\left(\begin{array}{c}x=-4+\frac{11}{2}t\\ y=1+3t\end{array}\right)$: .

Vậy phương trình tham số của đường trung tuyến kẻ từ P của tam giác PQR là: $\left(\begin{array}{c}x=-4+\frac{11}{2}t\\ y=1+3t\end{array}\right)$

Bài 4. Cho hai đường thẳng ∆1: –x + 4y – 1 = 0 và ∆2:$\left(\begin{array}{c}x=2+2t\\ y=-1+5t\end{array}\right)$

a) Viết phương trình tham số của ∆1.

b) Viết phương trình tổng quát của ∆2.

Hướng dẫn giải