Lý thuyết Đại số tổ hợp (Kết nối tri thức 2024) Toán 10

Lý thuyết Toán 10 Chương 8: Đại số tổ hợp

A. Lý thuyết Chương 8: Đại số tổ hợp

1. Quy tắc cộng và sơ đồ cây

Giả sử một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong hai phương án khác sau:

- Phương án một có n1 cách thực hiện,

- Phương án hai có n2 cách thực hiện (không trùng với bất kì cách thực hiện nào của phương án một).

Khi đó số cách thực hiện công việc sẽ là: n1 + n2 cách.

Chú ý:

- Sơ đồ minh hoạ cách phân chia trường hợp được gọi là sơ đồ hình cây.

- Trong bài toán đếm, người ta thường dùng sơ đồ hình cây để minh họa, giúp cho việc đếm thuận tiện và không bỏ sót trường hợp.

- Ta áp dụng quy tắc cộng cho một công việc có nhiều phương án khi các phương án đó phải rời nhau, không phụ thuộc vào nhau (độc lập với nhau).

Ví dụ: Lớp 10A có 3 bạn nữ ưu tú là Nga, Mai, Ngọc và có 3 bạn nam ưu tú là Lâm, Quân, Tùng. Cô giáo muốn lấy ra một trong các bạn đó làm lớp trưởng của lớp. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách để chọn?

Hướng dẫn giải

Ta có sơ đồ hình cây minh họa các cách lựa chọn như sau:

Để lựa chọn một học sinh làm lớp trưởng, cô giáo có hai phương án:

Phương án 1: Chọn một học sinh nữ làm lớp trưởng, khi đó có n1 = 3 (cách).

Phương án 2: Chọn một học sinh nam làm lớp trưởng, khi đó n2 = 3 (cách).

Theo quy tắc cộng, số cách lựa chọn một học sinh làm lớp trưởng là:

n1 + n2 = 3 + 3 = 6 (cách).

Vậy cô giáo có 6 cách để chọn một trong số các bạn đó làm lớp trưởng.

2. Quy tắc nhân

Giả sử một công việc phải hoàn thành qua hai công đoạn liên tiếp nhau:

- Công đoạn một có m1 cách thực hiện,

- Với mỗi cách thực hiện công đoạn một, có m2 cách thực hiện công đoạn hai.

Khi đó số cách thực hiện công việc là m1 . m2 cách.

Chú ý: Quy tắc nhân áp dụng để tính số cách thực hiện một công việc có nhiều công đoạn, các công đoạn nối tiếp nhau và những công đoạn này độc lập với nhau.

Ví dụ: Bạn Lan có có 4 chiếc áo sơ mi khác màu lần lượt là trắng, hồng, đỏ, vàng và 2 chiếc quần khác màu lần lượt là đen, xanh. Hãy cho biết bạn Lan có bao nhiêu cách để chọn một bộ gồm quần và áo.

Hướng dẫn giải

Để Lan chọn được một bộ quần áo phải qua hai công đoạn:

Chọn áo sơ mi → Chọn quần.

Ta có sơ đồ hình cây minh họa các cách lựa chọn như sau:

- Công đoạn 1: Chọn áo sơ mi có 4 cách chọn.

- Công đoạn 2: Ứng với mỗi cách chọn áo sơ mi có 2 cách chọn quần.

Áp dụng quy tắc nhân ta có 4.2 = 8 (cách) chọn một bộ gồm áo và quần.

Vậy bạn Lan có 8 cách để lựa chọn một bộ quần áo.

3. Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân

- Hầu hết các bài toán đếm trong thực tế sẽ phức tạp và thường phải áp dụng cả hai quy tắc cộng và nhân.

- Quy tắc cộng được áp dụng khi công việc được chia thành các phương án phân biệt (thực hiện một trong các phương án để hoàn thành công việc).

- Quy tắc nhân được áp dụng khi công việc có nhiều công đoạn nối tiếp nhau (phải thực hiện tất cả các công đoạn để hoàn thành công việc).

Ví dụ: Một nhà hàng chuẩn bị bữa sáng gồm hai loại đồ uống là nước ép hoa quả và trà. Nước ép hoa quả gồm có nước cam ép, nước ép dứa, nước ép dưa leo ; trà có hai loại là : trà xanh, trà nhài. Có 4 món ăn là cháo, bún, phở và cơm rang; 2 món tráng miệng là kem và sữa chua. Tính số cách để khách hàng chọn một khẩu phần ăn gồm đủ ba loại : 1 đồ uống, 1 món ăn và 1 món tráng miệng.

Hướng dẫn giải

Để khách hàng chọn một khẩu phần ăn gồm đủ ba loại : đồ uống, món ăn và món tráng miệng thì gồm có 3 công đoạn chọn:

Công đoạn 1: Lựa chọn đồ uống:

- Phương án 1: Chọn nước ép hoa quả có 3 (cách)

- Phương án 2: Chọn trà có 2 (cách)

Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách chọn đồ uống là 3 + 2 = 5 (cách).

Công đoạn 2: Ứng với mỗi cách lựa chọn đồ uống thì có 4 cách để lựa chọn món ăn.

Công đoạn 3: Ứng với mỗi cách lựa chọn đồ uống và món ăn ở trên thì có 2 cách lựa chọn món tráng miệng.

Áp dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn một khẩu phần ăn gồm đủ ba loại : 1 đồ uống, 1 món ăn và 1 món tráng miệng là : 5.4.2 = 40 (cách).

Vậy khách hàng có 40 cách chọn một khẩu phần ăn gồm đủ ba loại : 1 đồ uống, 1 món ăn và 1 món tráng miệng.

4. Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, n ≥ 1).

Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là Pn, được tính bằng công thức

Pn = n.(n – 1).(n – 2) … 2.1.

Chú ý :

+ Kí hiệu n.(n – 1).(n – 2) … 2.1 là n! (đọc là n giai thừa), ta có : Pn = n!.

Chẳng hạn với n = 3 ta có P3 = 3! = 3.2.1 = 6.

+ Quy ước 0! = 1.

Ví dụ : Từ 3 chữ số 1, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách sắp xếp ba chữ số đã cho để lập thành một số có ba chữ số khác nhau là một hoán vị của ba chữ số đó.

Do đó ta có số các số thỏa mãn là: P3 = 3! = 3.2.1 = 6 (số).

Vậy có 6 số có ba chữ số khác nhau lập từ ba chữ số 1, 6, 9.

5. Chỉnh hợp

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 1 ≤ k ≤ n).

Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là Ank, được tính bằng công thức:

Ank = n.(n – 1)…(n – k + 1) hay Ank=n!(n−k)!(1 ≤ k ≤ n).

Chú ý :

+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.

+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy Pn = Ann

Ví dụ: Một nhóm có 8 học sinh, giáo viên muốn chọn ra hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn lần lượt 2 bạn trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng và một bạn làm nhóm phó là một chỉnh hợp chập 2 của 8 học sinh.

Ta có : A82=8!(8−2)!=56

Vậy có 56 cách chọn ra 2 trong 8 bạn, một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó.

6. Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, 0 ≤ k ≤ n).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là Cnk, được tính bằng công thức :

Cnk=n!(n−k)!k!(0≤k≤n)

Chú ý :

+) <Cnk=Ankk!

+) Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Ví dụ : Một tổ có 10 người, bạn tổ trưởng muốn cử ra 5 bạn đi trực nhật. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn lần lượt 5 bạn trong 10 bạn đi trực nhật là một tổ hợp chập 5 của 10.

Ta có C105=10!(10−5)!5!=252

Vậy có 252 cách chọn 5 trong 10 bạn đi trực nhật.

7. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính Pn, Ank, Cnk sẽ được dùng rất nhiều.

Ví dụ : Ở các căn hộ chung cư, người ta thường dùng các chữ số để tạo mật mã mở cửa. Gia đình bác An đặt mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi bác An có bao nhiêu cách tạo mật mã ?

Hướng dẫn giải

Các chữ số có một chữ số để tạo mật mã là 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Vì mật mã nhà là một dãy số gồm 6 chữ số đôi một khác nhau nên mỗi mật mã là một chỉnh hợp chập 6 của 10 chữ số.

Ta có A106=10!(10−6)!=151200

Vậy có 151 200 cách để bác An tạo mật mã cửa.

8. Sử dụng máy tính cầm tay

Ta có thể dùng máy tính cầm tay để tính số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Hoán vị

Để tính n!, ta ấn phím theo trình tự sau :

Ấn số n, ấn phím , sau đó ấn phím . Khi đó kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ : Tính 9!

Ta ấn liên tiếp các phím như sau 

Dòng kết quả hiện ra 362 880.

Vậy 9! = 362 880.

Chỉnh hợp

Để tính Ank ta ấn theo trình tự sau :

Ấn số n, ấn phím  ấn số k, sau đó ấn phím . Khi đó kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ: Tính A152

Ta ấn các phím theo trình tự sau : 

Dòng kết quả hiện ra 210.

Vậy A152 = 210.

Tổ hợp

Để tính

Ấn số n, ấn phím , ấn số k, sau đó ấn phím . Khi đó, kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ: Tính C205

Ta ấn các phím theo trình tự sau : 

Dòng kết quả hiện ra 15 504.

Vậy C205= 15 504.

9. Nhị thức Newton

Nhận xét: Các tích nhận được từ sơ đồ hình cây của một tích các đa thức giống như cách lấy ra một đơn thức từ mỗi đa thức rồi nhân lại với nhau. Tổng của chúng cho ta khai triển của tích các đa thức đã cho.

Ví dụ: Sơ đồ hình cây của khai triển: (a + b)4

Ta có: (a + b)4 = (a + b).(a + b).(a + b).(a + b)

+ Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ nhất là a và b.

+ Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai là a và b.

+ Làm tương tự cho đến nhị thức thứ tư.

+ Tại ngọn của mũi tên xây dựng tại bước cuối cùng, ta ghi lại các tích của các nhãn của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.

Nhị thức Newton:

Ví dụ:

a) Khai triển (1 + x)4 ;

b) Khai triển (2x – 3)5.

Hướng dẫn giải

a) Ta có :

(1 + x)4 = $C_4^0$14 + $C_4^1$13.x + $C_4^2$12x2 + $C_4^3$1.x3 + $C_4^4$>x4

= 14 + 4.13x + 6.12.x2 + 4.1.x3 + x4

= 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4.

Vậy (1 + x)4 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4.

b) Ta có :

(x + 3)5 = $C_5^0$x5 + $C_5^1$x4.3 + $C_5^2$x3.32 + $C_5^3$>x2.33 + $C_5^4$x.34 + $C_5^5$35

= x5 + 5x4.3 + 10x3.32 + 10x2.33 + 5x.34 + 35

= x5 + 15x4 + 90x3 + 270x2 + 405x + 243.

Nhận xét: Các công thức khai triển (a + b)n với n ∈ {4 ; 5}, là một công cụ hiệu quả để tính chính xác hoặc xấp xỉ một số đại lượng mà không cần dùng máy tính.

Ví dụ: Dùng hai số hạng đầu của khai triển (1 + 0,02)5 để tính giá trị gần đúng của 1,025.

Hướng dẫn giải

Ta có: (1 + 0,02)5 = 15 + 5.14. 0,02 + 10.13.0,022 + 10.12.0,023 + 5.1.0,024 + 0,025

= 1 + 0,1 + 10.13.0,022 + 10.12.0,023 + 5.1.0,024 + 0,025.

Vì 1 + 0,1 = 1,1 nên (1 + 0,02)5 ≈ 1,1, tức là 1,025 ≈ 1,1.

Vậy 1,025 ≈ 1,1.

B. Bài tập Chương 8: Đại số tổ hợp

Bài 1: Giáo viên muốn xếp 4 học sinh ngồi cùng một bàn có bốn chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp bốn học sinh đó vào vị trí chỗ ngồi?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách xếp bốn học sinh vào bốn vị trí chỗ là một hoán vị của bốn học sinh đó.

Do vậy ta có P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp.

Vậy có 24 cách xếp bốn học sinh vào bốn vị trí chỗ ngồi.

Bài 2: Một nhóm gồm 22 học sinh, giáo viên muốn lấy ra một đội gồm 8 bạn tham gia chơi trò chơi dân gian. Hỏi cô giáo có bao nhiêu cách để chọn?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách lấy 8 học sinh từ 22 học sinh là một tổ hợp chập 8 của 22 học sinh.

Ta có: C228=22!(22−8)!8!=319 770

Vậy có 319 770 cách lấy 8 học sinh từ 22 học sinh để tham gia chơi trò chơi.

Bài 3: Từ vị trí A đến vị trí B có ba con đường, từ B đến C có bốn con đường. Hỏi có bao nhiêu cách để đi từ A đến C qua B.

Hướng dẫn giải

Để đi từ vị trí A đến vị trí C qua B, ta thực hiện hai công đoạn:

Công đoạn 1: Đi từ A đến B có 3 (cách).

Công đoạn 2: Ứng với mỗi cách đi từ A đến B, đi từ B đến C có 4 (cách).

Áp dụng quy tắc nhân ta có: Số cách đi từ A đến C là: 3.4 = 12 (cách).

Vậy có 12 cách đi từ A đến C.

Bài 4: Bạn Hoa dự định đi vào một cửa hàng để mua kem sau đó sẽ đi mua một cốc nước. Biết có hai loại kem để lựa chọn là kem que hoặc kem ốc quế. Kem que có 5 loại; kem ốc quế có 3 loại. Có ba loại nước là nước cam, nước dừa, nước mía. Hỏi có bao nhiêu cách để Hoa mua được một loại kem và một loại nước.

Hướng dẫn giải

Để Hoa mua được một loại kem và một loại nước, Hoa chia làm 2 công đoạn:

Công đoạn 1: Mua một loại kem :

Có 2 phương án để lựa chọn kem:

- Phương án 1: Lựa chọn kem que: có 5 (cách).

- Phương án 2: Lựa chọn kem ốc quế: có 3 (cách).

Áp dụng quy tắc cộng ta có: 5 + 3 = 8 (cách) lựa chọn kem.

Công đoạn 2: Ứng với một loại kem, mua một loại nước: có 3 (cách) lựa chọn.

Áp dụng quy tắc nhân ta có: Số cách lựa chọn một loại kem và một loại nước là 8.3 = 24 (cách).

Vậy có 24 cách để Hoa chọn một loại kem và một loại nước.

Bài 5: Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số sau: 9, 5, 4, 8, 3.

Hướng dẫn giải

Mỗi cách lấy ba trong năm chữ số sau đó sắp xếp chúng thành số có ba chữ số khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 chữ số.

Ta có: A53=5!(5−3)!=60

Vậy có 60 số có ba chữ số khác nhau mà các chữ số đó lấy từ năm chữ số : 9, 5, 4, 8, 3.

Bài 6: Sử dụng máy tính cầm tay hãy tính:

a) P7;

b) <A216

c) <C93

Hướng dẫn giải

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được các kết quả sau:

a) Ta ấn các phím theo trình tự sau: 

Dòng kết quả hiện ra là 5 040.

Vậy P7 = 5 040.

b) Ta ấn các phím theo trình tự sau: 

Dòng kết quả hiện ra là 39 070 080.

Vậy A216=39070080

c) Ta ấn các phím theo trình tự sau: 

Dòng kết quả hiện ra là 84.

Vậy C93=84

Bài 7: Khai triển các đa thức sau :

a) (2x – 1)4 ;

b) (x + 4)5 + (x – 4)5.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: (2x – 1)4 = (2x)4 + 4(2x)3.(–1) + 6(2x)2.(–1)2 + 4.2x.(–1)3 + (–1)4.

= 16x4 – 32x3 + 24x2 – 8x + 1.

Vậy : (2x – 1)4 = 16x4 – 32x3 + 24x2 – 8x + 1.

b) Ta có:

(x + 4)5 + (x – 4)5 = [x5 + 5x4.4 + 10.x3.42 + 10.x2.43 + 5.x.44 + 45] + [x5 + 5x4.(–4) + 10.x3.(–4)2 + 10.x2.(–4)3 + 5.x.(–4)4 + (–4)5]

= [x5 + 20x4 + 160x3 + 640x2 + 1280x + 1024] + [x5 – 20x4 + 160x3 – 640x2 + 1280x –1024]

= x5 + 20x4 + 160x3 + 640x2 + 1280x + 1024 + x5 – 20x4 + 160x3 – 640x2 + 1280x –1024 = 2x5 + 320x3 + 2560x.

Vậy (x + 4)5 + (x – 4)5 = 2x5 + 320 x3 + 2560x.

Bài 8:

a) Dùng hai số hạng đầu của khai triển (2 + 0,01)4 để tính giá trị gần đúng của 2,014.

b) Dùng máy tính cầm tay để tính giá trị của 2,014 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:(2 + 0,01)4 = 24 + 4.23.0,01 + 6.22.0,012 + 4.2.0,013 + 0,014

= 16 + 0,32 + 6.22.0,012 + 4.2.0,013 + 0,014

Vì 16 + 0,32 = 16,32 nên (2 + 0,01)4 ≈ 16,32, tức là 2,014 ≈ 16,32.

Vậy 2,014 ≈ 16,32.

b) Dùng máy tính cầm tay ta tính được giá trị của 2,014 = 16,32240801....

Ta có: 16,32 < 2,014 <16,33

Suy ra: |16,32 – 2,014| < |16,33 – 16, 32| = 0,01.

Vậy với giá trị gần đúng 16,32 thì sai số tuyệt đối không vượt quá 0,01.