Lý thuyết Đa thức (Kết nối tri thức 2024) Toán 8

Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Đa thức

Bài giảng Toán 8 Bài 2: Đa thức - Kết nối tri thức

A. Lý thuyết Đa thức

1. Đa thức

Đa thức là một tổng của những đơn thức.

Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Chú ý: mỗi đơn thức được gọi là một đa thức (chỉ chứa một hạng tử).

Số 0 được gọi là đơn thức không, cũng gọi là đa thức không.

Ví dụ: $x^2-4x+3;x^2+3xy{z}^2-yz+1;\left(x+3y\right)+\left(2x--y\right)$ là đa thức.

$\frac{x+y}{x-y},\frac{x^2+2}{x^2-y^2}$ không phải là đa thức.

$x^2-4x+3$ có 3 hạng tử $x^2;-4x;3$.

$x^2+3xy{z}^2-yz+1$ có 4 hạng tử $x^2;3xy{z}^2;-yz;1$.

2. Đa thức thu gọn

Đa thức thu gọn là đa thức không chứa hai hạng tử nào đồng dạng.

Biến đổi một đa thức thành đa thức thu gọn gọi là thu gọn đa thức đó.

Để thu gọn một đa thức, ta nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau và cộng các hạng tử đồng dạng đó với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}A=x^3-2x^{2}y-x^{2}y+3x{y}^2-y^3\\ =x^3-3x^{2}y-3x{y}^2-y^3\end{array}$

3. Bậc của đa thức

Bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức gọi là bậc của đa thức đó.

Một số khác 0 tùy ý được coi là một đa thức bậc 0.

Số 0 cũng là một đa thức, gọi là đa thức không. Nó không có bậc xác định.

B. Bài tập Đa thức

Bài 1. Thu gọn (nếu cần) và tìm bậc của mỗi đa thức sau:

A = 3x2y – 5xy + $\frac{1}{2}$x2y – xy + 3xy – $\frac{2}{3}$ x +$\frac{1}{2}$+ $\frac{1}{3}$x – $\frac{3}{2}$ ;

B = 7x5 – $\frac{1}{2}$x3y – $\frac{3}{4}$xy2 + 3;

C = 5x2y + xy2 – xy + 3 + 2xy2 – 5xy – 5x2y + 1.

Hướng dẫn giải

A = 3x2y – 5xy + $\frac{1}{2}$x2y – xy + 3xy – $\frac{2}{3}$x + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$x – $\frac{3}{2}$

= (3x2y + $\frac{1}{2}$x2y) + (– 5xy – xy + 3xy) + (– $\frac{2}{3}$ x + $\frac{1}{3}$ x ) + ( $\frac{1}{2}$ – $\frac{3}{2}$ )

= $\frac{7}{2}$ x2y – 3xy – $\frac{1}{3}$ x – 1

Hạng tử $\frac{7}{2}$ x2y có bậc 3; hạng tử – 3xy có bậc 2; hạng tử – $\frac{1}{3}$ x có bậc 1; – 1 có bậc 0.

Nên đa thức A có bậc là 3.

B = 7x5 – $\frac{1}{2}$ x3y – $\frac{3}{4}$ xy2 + 3 là đa thức đa thu gọn có:

Hạng tử 7x5 có bậc 5; hạng tử – $\frac{1}{2}$ x3y có bậc 4; hạng tử –$\frac{3}{4}$ xy2 có bậc 3; hạng tử 3 có bậc 0.

Nên đa thức B có bậc là 5.

C = 5x2y + xy2 – xy + 3 + 2xy2 – 5xy – 5x2y + 1

= (5x2y – 5x2y) + (xy2 + 2xy2) + (– xy – 5xy) + (3 + 1)

= 3xy2 – 6xy + 4

Hạng tử 3xy2 có bậc 3; hạng tử – 6xy có bậc 2; hạng tử 4 có bậc 0.

Nên đa thức C có bậc 3.

Bài 2. Cho đa thức M = 9x2y2z – 3xyz + 5y2z – 6x2y2z + x2y2 – 3x2y2z.

a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức M;

b) Tính giá trị của đa thức M tại x = 1; y = – 1 và z = 2.

Hướng dẫn giải

a) Thu gọn đa thức M:

M = 9x2y2z – 3xyz + 5y2z – 6x2y2z + x2y2 – 3x2y2z

= (9x2y2z – 6x2y2z – 3x2y2z) – 3xyz + 5y2z + x2y2

= – 3xyz + 5y2z + x2y2

Hạng tử – 3xyz có bậc 3; hạng tử 5y2z có bậc 3; hạng tử x2y2 có bậc 4.

Vậy đa thức M có bậc 4.

b) Thay x = 1; y = – 1 và z = 2 vào đa thức M thu gọn, ta được:

M = – 3.1.( – 1).2 + 5.(– 1)2.2 + 12.( – 1)2

= 6 + 10 + 1

= 17

Vậy M = 17 tại x = 1; y = – 1 và z = 2.

Bài 3. Cho các biểu thức sau:

x3 – x2 + 2x + 3; xy4 + 2x3 – x2y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$ ; x3y2z + xyz – $\frac{1}{y^2}$ ; 2x2y2 – 5xyz + 2023;

a) Trong các biểu thức trên, biểu thức nào là đa thức?

b) Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử trong các đa thức tìm được.

Hướng dẫn giải

a) Các đa thức là: x3 – x2 + 2x + 3; xy4 + 2x3 – x2y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$ ; 2x2y2 – 5xyz + 2023.

Biểu thức x3y2z + xyz – $\frac{1}{y^2}$ không là đa thức vì hạng tử – $\frac{1}{y^2}$ không là đơn thức.

b) Đa thức x3 – x2 + 2x + 3 có:

Hạng tử x3 có hệ số là 1, bậc 3;

Hạng tử – x2 có hệ số là – 1, bậc 2;

Hạng tử 2x có hệ số là 2, bậc 1;

Hạng tử 3 có hệ số là 3, bậc 0.

+ Đa thức xy4 + 2x3 – x2y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$ có:

Hạng tử xy4 có hệ số là 1, bậc 5;

Hạng tử 2x3 có hệ số là 2, bậc 3;

Hạng tử – x2y có hệ số là – 1, bậc 3;

Hạng tử $\frac{x}{\sqrt{2}}$ có hệ số là $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , bậc 1.

+ Đa thức 2x2y2 – 5xyz + 2023 có:

Hạng tử 2x2y2 có hệ số là 2, bậc 4;

Hạng tử – 5xyz có hệ số là – 5, bậc 3;

Hạng tử 2023 có hệ số là 2023, bậc 0.