Lý thuyết Định lí Thalès trong tam giác (Kết nối tri thức 2024) Toán 8

Lý thuyết Toán lớp 8 Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác

A. Lý thuyết Định lí Thalès trong tam giác

1. Khái niệm tỉ số của hai đoạn thẳng

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

2. Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu có tỉ lệ thức: $\frac{AB}{CD}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ hay $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{CD}{C^{\prime }{D}^{\prime }}$

3. Định lí Thalès

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương đương tỉ lệ.

$$\begin{gathered} \mathrm{\Delta }ABC,B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}//BC(B^{\text{'}}\in AB,C^{\text{'}}\in AC) \\ \Rightarrow \frac{A{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{A{C}^{\text{'}}}{AC};\frac{A{B}^{\text{'}}}{B{B}^{\text{'}}}=\frac{A{C}^{\text{'}}}{C{C}^{\text{'}}};\frac{B^{\text{'}}B}{AB}=\frac{C^{\text{'}}C}{AC} \end{gathered}$$

4. Định lí Thalès đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

$$\begin{gathered} \mathrm{\Delta }ABC,B^{\text{'}}\in AB,C^{\text{'}}\in AC,\frac{A{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{A{C}^{\text{'}}}{AC} \\ \Rightarrow B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}//BC \end{gathered}$$

B. Bài tập Định lí Thalès trong tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BC = 2BD. Trên đoạn AD lấy điểm O sao cho $\frac{AO}{OD}=\frac{3}{2}$ . Gọi I là giao điểm của CO và AB. Tính tỉ số $\frac{AI}{IB}$ .

Hướng dẫn giải

Kẻ thêm DH // CI (H thuộc AB) thì DH // IO.

Áp dụng định lí Thalès vào ∆ADH có DH // IO, ta có:

Ta có: BD + DC = BC, suy ra DC = BC – BD = 2BD – BD = BD nên BC = 2DC.

Áp dụng định lí Thalès vào ∆BIC có DH // IC, ta có:

$\frac{BI}{IH}=\frac{BC}{CD}=2$⇒ BI = 2IH = 2 . 2t = 4t

Vậy $\frac{AI}{IB}=\frac{3t}{4t}=\frac{3}{4}$ .

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, BC = 10 cm. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M sao cho AM = 2 cm. Dựng đường thẳng MN vuông góc AB. Tính BN.

Hướng dẫn giải

Ta có: AM + MB = AB, suy ra MB = AB – AM = 6 – 2 = 4 (cm).

Ta thấy: MN vuông góc với AB (gt) và AC vuông góc với AB (do tam giác ABC vuông tại A)

Suy ra: MN // AC.

Áp dụng định lí Thalès trong ∆ABC, ta có:

$\frac{BM}{AB}=\frac{BN}{BC}$⇒ BN = $\frac{BM\cdot BC}{AB}=\frac{4\cdot 10}{6}=\frac{20}{3}$ (cm)

Vậy BN = $\frac{20}{3}$ cm.

Bài 3: Tìm các cặp đường thẳng song song trong hình vẽ dưới đây và giải thích vì sao chúng song song với nhau?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{EC}{AE}=\frac{\mathrm{2,5}}{2}=\frac{5}{4}$

$\frac{DC}{BD}=\frac{3}{\mathrm{2,4}}=\frac{5}{4}$

Suy ra $\frac{EC}{AE}=\frac{DC}{BD}$ .

Áp dụng định lí Thalès đảo trong tam giác ABC.

Do đó, DE // AB.

Bài 4: Tìm độ dài x cho hình vẽ sau biết MN // BC.

Hướng dẫn giải

Ta có: AB = AM + MB = 2 + 3 = 5.

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác ABC có MN // BC

Ta có: $\frac{AM}{AB}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{AN}{AC}$  ⇒ $\frac{2}{5}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}=\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\frac{\mathrm{1,5}}{x}$⇒ x = $\frac{\mathrm{5.1,5}}{2}$  = 3,75.

Vậy x = 3,75.