Lý thuyết Đường trung bình của tam giác (Kết nối tri thức 2024) Toán 8

Lý thuyết Toán lớp 8 Bài 16: Đường trung bình của tam giác

A. Lý thuyết Đường trung bình của tam giác

1. Khái niệm

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

2. Tính chất

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

Chú ý: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Ví dụ:

DE là đường trung bình của tam giác ABC, khi đó DE // BC và $DE=\frac{1}{2}BC$.

B. Bài tập Đường trung bình của tam giác

Bài 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC, F là trung điểm của EC. Tính tỉ số $\frac{AE}{EC}$ .

Hướng dẫn giải

Xét ∆BEC có:

M là trung điểm của BC;

F là trung điểm của EC.

Do đó, MF là đường trung bình của ∆BEC.

Suy ra MF // BE.

Xét ∆AMF có:

D là trung điểm của AM;

DE // MF (do MF // BE).

Do đó, DE là đường trung bình của ∆AMF.

Suy ra E là trung điểm của AF nên AE = EF.

Mà EF = FC = $\frac{1}{2}$ EC (do F là trung điểm của EC)

Do vậy, AE = EF = FC = $\frac{1}{2}$ EC.

Suy ra $\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$ .

Bài 2: Tính độ dài đoạn AE, biết DE // BC và AC = 8 cm.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có: D là trung điểm AB và DE // BC

⇒ E là trung điểm của AC.

Suy ra: AE = $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 8=4cm$ .

Bài 3: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = $\frac{1}{2}$  DC. Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh: AI = IM.

Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm của DC.

Trong ΔBDC, ta có:

M là trung điểm của BC (giả thiết).

E là trung điểm của CD (ta gọi).

Nên ME là đường trung bình của ∆BCD.

⇒ ME // BD (tính chất đường trung bình tam giác).

Suy ra: DI // ME.

Lại có: AD = $\frac{1}{2}$  DC (giả thiết).

DE = $\frac{1}{2}$ DC (vì E là trung điểm của DC).

Suy ra AD = DE nên D là trung điểm của AE.

Xét tam giác AME có D là trung điểm của AE và DI // ME (cmt).

Suy ra I là trung điểm của AM (tính chất đường trung bình của tam giác)

Vậy AI = IM.