Lý thuyết Phép nhân đa thức (Kết nối tri thức 2024) Toán 8

Lý thuyết Toán lớp 8 Bài 4: Phép nhân đa thức

A. Lý thuyết Phép nhân đa thức

1. Nhân đơn thức với đa thức

+ Nhân hai đơn thức như thế nào?

Muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau.

Ví dụ: $(-3x^{2}y)(4xy)=\left[\left(-3.4\right)\right].(x^2.x).\left(y.y\right)=-12.x^3.y^2$

+ Nhân đơn thức với đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}3x^{2}y\left(2x^{2}y-xy+3y^2\right)\\ =(3x^{2}y).(2x^{2}y)-(3x^{2}y).(xy)+(3x^{2}y).(3y^2)\\ =\mathrm{3.2.}(x^2.x^2)\left(y.y\right)-3.(x^2.x).\left(y.y\right)+\mathrm{3.3.}{x}^2.\left(y.y^2\right)\\ =6x^4{y}^2-3x^3.y^2+9x^2{y}^3\end{array}$

2. Nhân đa thức với đa thức

+ Nhân hai đa thức như thế nào?

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

Phép nhân đa thức cũng có các tính chất tương tự phép nhân các số.

+ Giao hoán: A.B = B.A

+ Kết hợp: (A.B).C = A.(B.C)

+ Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: (A + B).C = AB + AC

Ví dụ:

$\begin{array}{l}(xy+1)(xy-3)\\ =(xy).\left(xy\right)+xy-3xy-3\\ =x^2{y}^2-2xy-3\end{array}$

B. Bài tập Phép nhân đa thức

Bài 1. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

(2x + 2022).(1 – x2) + x(2x2 – 2 + 2022x).

Hướng dẫn giải

Ta có: (2x + 2022).(1 – x2) + x(2x2 – 2 + 2022x)

      = 2x.(1 – x2) + 2022.(1 – x2) + 2x3 – 2x + 2022x2

      = 2x – 2x3 + 2022 – 2022x2 + 2x3 – 2x + 2022x2

      = (2x – 2x) + (– 2x3 + 2x3) + (– 2022x2 + 2022x2) + 2022

      = 0 + 0 + 0 + 2022

      = 2022 với mọi giá trị của x.

Vậy giá trị của biểu thức (2x + 2022).(1 – x2) + x(2x2 – 2 + 2022x) không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài 2. Tìm tích của đơn thức với đa thức:

a) – x3(5xy – y3 + 2xy2);

b) (x2y2 $-\frac{1}{2}$ x2y + $\frac{5}{6}$ xy2).12xy.

Hướng dẫn giải

a) – x3(5xy – y3 + 2xy2) = (– x3).5xy + (– x3).( – y3) + (– x3).(2xy2)

                                      = – 5x4y + x3y3 – 2x4y2.

b) (x2y2 $-\frac{1}{2}$ x2y + $\frac{5}{6}$ xy2).12xy = x2y2.12xy + ( $-\frac{1}{2}$x2y).12xy +  $\frac{5}{6}$ xy2.12xy

                                                = 12x3y3 – 6x3y2 + 10x2y3.

Bài 3. Nhân hai đơn thức:

a) 2xy2 và – 3x2y;                    

b) $-\frac{2}{5}$x4y3 và 10xy;

c) 0,5xyz và 4x3y2z.

Hướng dẫn giải

a) (2xy2).(– 3x2y) = 2.( – 3).(xy2).(x2y) = – 6x3y3                     

b) ( $-\frac{2}{5}$x4y3).(10xy) = $-\frac{2}{5}$ .10.( x4y3).(xy) =  – 4x5y4

c) (0,5xyz).(4x3y2z) = 0,5.4.(xyz).( x3y2z) = 2x4y3z2.

Bài 4. Làm tính nhân:

a) (x2 – xy + y2)(xy + 2);

b) (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2).

Hướng dẫn giải

a) (x2 – xy + y2)(xy + 2) = (x2 – xy + y2).xy + (x2 – xy + y2).2

                                         = x3y – x2y2 + xy3 + 2x2 – 2xy + 2y2.

b) (x – 2y)(x2 + 2xy + 4y2) = x. (x2 + 2xy + 4y2) + (– 2y) (x2 + 2xy + 4y2)

                                            = x3 + 2x2y + 4xy2 – 2x2y – 4xy2 – 8y3

                                            = x3 + (2x2y – 2x2y) + (4xy2 – 4xy2) – 8y3

                                            = x3 – 8y3.

Video bài giảng Toán 8 Bài 4: Phép nhân đa thức - Kết nối tri thức