50 câu Trắc nghiệm Giải tam giác và ứng dụng thực tế (có đáp án 2024) – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Đáp án: C

Giải thích:

• Theo hệ quả định lí sin ta có:

$\sin A=\frac{a}{2R}$, $\sin B=\frac{b}{2R}$ và $\sin C=\frac{c}{2R}$.

Ta có sin2A = sinB.sinC.

$\iff {\left(\frac{a}{2R}\right)}^2=\frac{b}{2R}.\frac{c}{2R}$

$\iff \frac{a^2}{{\left(2R\right)}^2}=\frac{bc}{{\left(2R\right)}^2}$

⇔ a2 = bc.

Do đó phương án A đúng.

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{b^2+c^2-bc}{2bc}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số b, c > 0, ta được b2 + c2 ≥ 2bc.

Do đó ta có $\cos A=\frac{b^2+c^2-bc}{2bc}\ge \frac{2bc-bc}{2bc}=\frac{bc}{2bc}=\frac{1}{2}$.

Vì vậy $\cos A\ge \frac{1}{2}$.

Do đó phương án B đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án: B

Giải thích:

Diện tích ∆ABC là: $S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c$.

Suy ra $h_a=\frac{2S}{a};h_b=\frac{2S}{b};h_c=\frac{2S}{c}$.

Diện tích ∆ABC là:

$S=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}ac.\sin B=\frac{1}{2}ab.\sin C$.

Suy ra $\sin A=\frac{2S}{bc};\sin B=\frac{2S}{ac};\sin C=\frac{2S}{ab}$.

Ta có a.sinA + b.sinB + c.sinC = ha + hb + hc

$\iff a.\frac{2S}{bc}+b.\frac{2S}{ac}+c.\frac{2S}{ab}=\frac{2S}{a}+\frac{2S}{b}+\frac{2S}{c}$

$\iff 2S.\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)=2S.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$

$\iff \frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

$\iff \frac{a^2+b^2+c^2}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{abc}$

⇔ a2 + b2 + c2 = bc + ac + ab

⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2bc + 2ac + 2ab

⇔ (a2 – 2ab + b2) + (a2 – 2ac + c2) + (b2 – 2bc + c2) = 0

⇔ (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 = 0

$\iff \left\{\begin{array}{l}a-b=0\\ a-c=0\\ b-c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=b\\ a=c\\ b=c\end{array}\right.$

⇔ a = b = c.

Vậy ∆ABC là tam giác đều.

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\frac{{\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B}{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}=\frac{1}{2}\left({\cot }^{2}A+{\cot }^{2}B\right)$.

$\iff \frac{{\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B}{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}+1=\frac{1}{2}\left(1+{\cot }^{2}A+1+{\cot }^{2}B\right)$

$\iff \frac{{\cos }^{2}A+{\cos }^{2}B+{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{{\sin }^{2}A}+\frac{1}{{\sin }^{2}B}\right)$

$\iff \frac{2}{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}=\frac{1}{2}.\frac{{\sin }^{2}A+{\sin }^{2}B}{{\sin }^{2}A.{\sin }^{2}B}$ 

(Áp dụng kết quả Bài tập 5a và 5d, trang 65, Sách giáo khoa, Toán 10, Tập một).

⇔ (sin2A + sin2B)2 = 4.sin2A.sin2B

⇔ sin4A + 2.sin2A.sin2B + sin4B – 4.sin2A.sin2B = 0

⇔ sin4A – 2.sin2A.sin2B + sin4B = 0

⇔ (sin2A – sin2B)2 = 0

⇔ sin2A = sin2B

Theo hệ quả định lí sin, ta được ${\left(\frac{a}{2R}\right)}^2={\left(\frac{b}{2R}\right)}^2$

$\iff \frac{a^2}{{\left(2R\right)}^2}=\frac{b^2}{{\left(2R\right)}^2}$

⇔ a2 = b2

⇔ a = b hay BC = AC.

Vậy ∆ABC cân tại C.

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án: C

Giải thích:

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC, ta được:

BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA

Suy ra 702 = 402 + AC2 – 2.40.AC.cos45°

Do đó $A{C}^2-40\sqrt{2}.AC-3300=0$

Vì vậy $AC=10\sqrt{41}+20\sqrt{2}$ hoặc $AC=-10\sqrt{41}+20\sqrt{2}$.

Vì AC > 0 nên ta nhận $AC=10\sqrt{41}+20\sqrt{2}$ ≈ 92,3 (m)

Do đó ta chọn phương án C.

Đáp án: A

Giải thích:

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ và $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

$sinA=\frac{a}{2R};sinB=\frac{b}{2R};sinC=\frac{c}{2R}$.

• Ta có $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}$

⇔ sinA(cosB + cosC) = sinB + sinC

$\iff \frac{a}{2R}.\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)=\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}$

$\iff \frac{a}{2R}.\frac{1}{2a}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{b}\right)=\frac{b+c}{2R}$

$\iff \frac{1}{2}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{b}\right)=b+c$

$\iff \frac{b\left(a^2+c^2-b^2\right)+c\left(a^2+b^2-c^2\right)}{bc}=2\left(b+c\right)$

⇔ a2b + bc2 – b3 + a2c + b2c – c3 = 2b2c + 2bc2

⇔ b3 + c3 – (a2b + a2c) + (b2c + bc2) = 0

⇔ (b + c)(b2 – bc + c2) – a2(b + c) + bc(b + c) = 0

⇔ (b + c)(b2 – bc + c2 – a2 + bc) = 0

⇔ (b + c)(b2 + c2 – a2) = 0

⇔ b + c = 0 (vô lí vì b, c > 0) hoặc b2 + c2 = a2

⇔ AC2 + AB2 = BC2

Áp dụng định lí Pytago đảo, ta được ∆ABC vuông tại A.

Vậy ta chọn phương án A.