50 câu Trắc nghiệm Ôn tập Chương 4 (có đáp án 2024) – Toán 10 Chân trời sáng tạo

Đáp án: D

Giải thích:

Vì tanα = –3 nên  $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-3$ do đó cosα ≠ 0.

Ta có  $H=\frac{6\sin \alpha -7\cos \alpha }{6\cos \alpha +7\sin \alpha }$

$=\frac{6.\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-7.\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}{6.\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }+7.\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$        (vì cosα ≠ 0)

$=\frac{6.\tan \alpha -7}{6+7.\tan \alpha }$

$=\frac{6.\left(-3\right)-7}{6+7.\left(-3\right)}=\frac{5}{3}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có sinα – cosα = $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

$\Rightarrow {\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)}^2={\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^2$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{5}$

$\Rightarrow 1-2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{5}$ (Vì sin2α + cos2α = 1, áp dụng Bài tập 5a, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một)

$\Rightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{4}{5}$

$\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha =\frac{2}{5}$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =\frac{4}{25}$

Ta có $E=\sqrt{{\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha }$

$=\sqrt{{\left({\sin }^2\alpha \right)}^2+{\left({\cos }^2\alpha \right)}^2}$

$=\sqrt{{\left({\sin }^2\alpha \right)}^2+2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha +{\left({\cos }^2\alpha \right)}^2-2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$

$=\sqrt{{\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)}^2-2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }$

$=\sqrt{1^2-2.\frac{4}{25}}=\frac{\sqrt{17}}{5}$ 

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án: D

Giải thích:

⦁ Ta xét khẳng định (I):

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABC ta có:

b2 – c2 = c2 + a2 – 2ca.cosB – (a2 + b2 – 2ab.cosC)

= c2 + a2 – 2ca.cosB – a2 – b2 + 2ab.cosC

= c2 – b2 + 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ b2 – c2 = c2 – b2 + 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ 2(b2 – c2) = 2a(b.cosC – c.cosB)

Þ b2 – c2 = a(b.cosC – c.cosB).

Do đó khẳng định (I) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (II):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

(b + c)sinA =  $\left(2R.\sin B+2R.\sin C\right).\frac{a}{2R}$

$=\left(\sin B+\sin C\right).\frac{2R.a}{2R}$

= a(sinB + sinC).

Vì vậy khẳng định (II) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (III):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

2R.sinB.sinC = $2R.\frac{b}{2R}.\frac{c}{2R}$

$=\frac{bc}{2R}=\frac{abc}{4R}.\frac{2}{a}$

$=\frac{2S}{a}=h_a$.

Vì vậy khẳng định (III) đúng.

⦁ Ta xét khẳng định (IV):

Áp dụng hệ quả định lí sin cho ∆ABC ta có:

R.r.(sinA + sinB + sin C) = $R.r.\left(\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}\right)$

$=R.r.\frac{1}{R}\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)$

$=r.\frac{a+b+c}{2}=r.p=S$.

Vì vậy khẳng định (IV) đúng.

Vậy có 4 khẳng định đúng, ta chọn phương án D.

Đáp án: A

Giải thích:

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ và  $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

$\sin A=\frac{a}{2R};\sin B=\frac{b}{2R};\sin C=\frac{c}{2R}$.

• Ta có $\sin A=\frac{\sin B+\sin C}{\cos B+\cos C}$

⇔ sinA(cosB + cosC) = sinB + sinC

$$\begin{gathered} \iff \frac{a}{2R}.\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)=\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R} \\ \iff \frac{a}{2R}.\frac{1}{2a}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{b}\right) \\ \iff \frac{1}{2}\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{c}+\frac{a^2+b^2-c^2}{b}\right)=b+c \\ \iff \frac{b\left(a^2+c^2-b^2\right)+c\left(a^2+b^2-c^2\right)}{bc}=2\left(b+c\right) \end{gathered}$$

⇔ a2b + bc2 – b3 + a2c + b2c – c3 = 2b2c + 2bc2

⇔ b3 + c3 – (a2b + a2c) + (b2c + bc2) = 0

⇔ (b + c)(b2 – bc + c2) – a2(b + c) + bc(b + c) = 0

⇔ (b + c)(b2 – bc + c2 – a2 + bc) = 0

⇔ (b + c)(b2 + c2 – a2) = 0

⇔ b + c = 0 (vô lí vì b, c > 0) hoặc b2 + c2 = a2

⇔ AC2 + AB2 = BC2

Áp dụng định lí Pytago đảo, ta được ∆ABC vuông tại A.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $2\cos \alpha +\sqrt{2}\sin \alpha =2$

$\iff \sqrt{2}\sin \alpha =2-2\cos \alpha$

⇒ 2sin2α = (2 – 2cosα)2

⇔ 2(1 – cos2α) = 4 – 8cosα + 4cos2α

⇔ 6cos2α – 8cosα + 2 = 0   (1)

Đặt t = cosα.

Vì 0° < α < 90° nên 0 < t < 1.

Phương trình (1) tương đương với: 6t2 – 8t + 2 = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{1}{3}\end{array}\right.$

Vì 0 < t < 1 nên ta nhận  $t=\frac{1}{3}$.

Với  $t=\frac{1}{3}$, ta có  $\cos \alpha =\frac{1}{3}$.

Suy ra  ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{9}$

Áp dụng Bài tập 5a, trang 65, Sách giáo khoa Toán 10, Tập một, ta có:

sin2α + cos2α = 1

$\iff {\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$.

$\iff \left[\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}\\ \sin \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}\end{array}\right.$

Vì 0° < α < 90° nên α là góc nhọn.

Do đó sinα > 0.

Vì vậy ta nhận  $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ta có  $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{1}{3}:\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}.\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: A

Giải thích:

Xét ∆ABH vuông tại H có $\tan \widehat{ABH}=\frac{AH}{HB}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$.

Suy ra $\widehat{ABH}\approx 11°{19}^{\text{'}}$.

Ta có CB ⊥ BH (cái cây vuông góc với mặt đất)

Suy ra $\widehat{CBH}=90°$.

Do đó $\widehat{CBA}+\widehat{ABH}=90°$

Vì vậy $\widehat{CBA}=90°-\widehat{ABH}\approx 90°-11°{19}^{\text{'}}=78°{41}^{\text{'}}$

∆ABC có $\widehat{CAB}+\widehat{CBA}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{ACB}=180°-\left(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}\right)\approx 180°-\left(45°+78°{41}^{\text{'}}\right)=56°{19}^{\text{'}}$.

∆ABH vuông tại H nên theo định lí Pythagore ta có:

AB2 = AH2 + BH2

= 42 + 202 = 416

Suy ra AB = $4\sqrt{26}$ (m) 

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

Suy ra $\frac{BC}{\sin 45°}=\frac{4\sqrt{26}}{\sin 56°{19}^{\text{'}}}$

Do đó $BC=\frac{4\sqrt{26}.\sin 45°}{\sin 56°{19}^{\text{'}}}\approx 17,33$ (m).

Giá trị này gần với 17,5 (m)

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{CAH}=\widehat{BAH}=90°$.

$\Rightarrow \widehat{BAC}=90°-30°=60°$.

Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=90°+15°{30}^{\text{'}}=105°{30}^{\text{'}}$.

∆ABC có $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{ACB}=180°-\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)=180°-\left(60°+105°{30}^{\text{'}}\right)=14°{30}^{\text{'}}$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}$

Suy ra $AC=\frac{AB.\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{70.\sin 105°{30}^{\text{'}}}{\sin 14°{30}^{\text{'}}}\approx 269,4$ (m)

∆ACH vuông tại H: $\sin \widehat{CAH}=\frac{CH}{AC}$

Suy ra $CH=AC.\sin \widehat{CAH}\approx 269,4.\sin 30°=134,7$ (m)

Vậy ngọn núi cao khoảng 134,7 m.

Giá trị này gần với 135 m nhất.

Do đó ta chọn phương án A.

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có $\widehat{CAD}+\widehat{BAD}=180°$ (hai góc kề bù).

$\Rightarrow \widehat{BAD}=180°-\widehat{CAD}=180°-63°=117°$.

∆ABD có: $\widehat{BAD}+\widehat{ADB}+\widehat{ABD}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ADB}=180°-\left(\widehat{BAD}+\widehat{ABD}\right)=180°-\left(117°+48°\right)=15°$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABD, ta được  $\frac{BD}{\sin \widehat{BAD}}=\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}$

Suy ra  $\frac{BD}{\sin 117°}=\frac{24}{\sin 15°}$

Do đó  $BD=\frac{24.\sin 117°}{\sin 15°}\approx 82,6$ (m)

∆BCD vuông tại C:  $\sin \widehat{CBD}=\frac{CD}{BD}$.

Suy ra $h=CD=BD.\sin \widehat{CBD}\approx 82,6.\sin 48°=61,4$ (m)

Giá trị này gần với 60,5 m.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có $\widehat{BAC}+\widehat{CAD}=\widehat{BAD}=50°$

Do đó $\widehat{BAC}=50°-\widehat{CAD}=50°-40°=10°$.

∆ABD có: $\widehat{ABD}+\widehat{BAD}+\widehat{ADB}=180°$ (đị nh lí tổng ba góc trong một tam giác)

$\Rightarrow \widehat{ABD}=180°-\left(\widehat{BAD}+\widehat{ADB}\right)=180°-\left(50°+90°\right)=40°$.

Áp dụng định lí sin cho ∆ABC, ta được  $\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}$

Suy ra  $AC=\frac{BC.\sin \widehat{ABC}}{\sin \widehat{BAC}}=\frac{5.\sin 40°}{\sin 10°}\approx 18,5$ (m)

∆ACD vuông tại D:  $\sin \widehat{CAD}=\frac{CD}{AC}$ $CD=AC.\sin \widehat{CAD}\approx 18,5.\sin 40°\approx 11,9$.

Suy ra $CD=AC.\sin \widehat{CAD}\approx 18,5.\sin 40°\approx 11,9$ (m)

Chiều cao của tòa nhà là:

CH = CD + DH = 11,9 + 7 = 18,9 (m)

Giá trị này gần với 19 m nhất.

Vậy ta chọn phương án B.