Lý thuyết Số nguyên (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 6

Lý thuyết Toán lớp 6 Chương 2: Số nguyên

Video giải Toán 6 Chương 2: Số nguyên - Cánh diều

A. Lý thuyết Chương 2: Số nguyên

1. Số nguyên âm 

+ Các số – 1, – 2, – 3, ... là các số nguyên âm. Số nguyên âm được nhận biết bằng dấu “–”  ở trước số tự nhiên khác 0.

Ví dụ: – 5, – 10, – 10 000, ….

+ Cách đọc số nguyên âm: Có hai cách đọc số nguyên âm

Ví dụ: – 7 là số nguyên âm, đọc là âm bảy hoặc trừ bảy. 

+ Số nguyên âm được sử dụng trong nhiều tình huống thực tiễn cuộc sống. 

Chẳng hạn, 

- Số nguyên âm được dùng để chỉ nhiệt độ dưới 0 °C

Ví dụ: Nhiệt độ 5 độ dưới 0 °C được viết là   – 5 °C. đọc là: âm năm độ C.

- Số nguyên âm được dùng để chỉ độ cao dưới mực nước biển.

Ví dụ: Một thị trấn nhỏ gần thành phố Rốt-téc-đam (Rotterdam, Hà Lan) là một vùng đất trũng dưới mực nước biển xấp xỉ 7 m. Ta nói độ cao trung bình của vùng đất đó là – 7 m. 

- Số nguyên âm được đùng để chỉ số tiền nợ, cũng như để chỉ số tiền lỗ trong kinh doanh.

Ví dụ: Khi ông Huy nợ 50 000 đồng thì ta có thể nói ông Huy có – 50 000 đồng.

Khi báo cáo kết quả kinh doanh, nếu bị lỗ 40 000 000 đồng thì ta có thể nói lợi nhuận là – 40 000 000 đồng.

- Số nguyên âm được dùng để chỉ thời gian trước Công nguyên.

Ví dụ: Nhà toán học Py-ta-go (Pythagoras) sinh năm – 570, nghĩa là ông sinh năm 570 trước Công nguyên.

2. Tập hợp các số nguyên

+ Số tự nhiên khác 0 còn được gọi là số nguyên dương.

+ Các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương tạo thành tập hợp các số nguyên.

+ Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là  .

Ví dụ: 

+ Các số nguyên dương: 4, 6, 10 000, … 

+ Tập hợp các số nguyên = {…, – 2, – 1, 0, 1, 2, …}

Chú ý:

+ Số 0 không phải số nguyên âm, cũng không phải số nguyên dương.

+ Các số nguyên dương 1, 2, 3,... đều mang dấu “+' nên còn được viết là + 1, + 2, + 3,...

3. Biểu diễn số nguyên trên trục số 

Ta có thể biểu diễn số nguyên trên trục số. Có hai loại trục số:

3.1 Trục số nằm ngang 

Trên trục số nằm ngang, điểm biểu diễn số nguyên âm nằm bên trái điểm 0, điểm biểu diễn số nguyên dương nằm bên phải điểm 0.

3.2 Trục số thẳng đứng

Trên trục số thẳng đứng, điểm biểu diễn số nguyên âm nằm phía dưới điểm 0, điểm biểu diễn số nguyên dương nằm phía trên điểm 0.

Chú ý: Khi nói “trục số” mà không nói gì thêm, ta hiểu là nói về trục số nằm ngang.

4. Số đối của một số nguyên 

+ Trên trục số, hai số nguyên (phân biệt) có điểm biểu diễn nằm về hai phía của gốc 0 và cách đều gốc 0 được gọi là hai số đối nhau.

+ Số đối của 0 là 0.

Ví dụ: 

– 4 và 4 là hai số đối nhau.

– 4 là số đối của 4 và 4 là số đối của – 4.

5. So sánh các số nguyên

5.1 So sánh hai số nguyên

+ Trên trục số nằm ngang, nếu điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.

+ Trên trục số thẳng đứng, nếu điểm a nằm phía dưới điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.

+ Nếu a nhỏ hơn b thì ta viết là a < b hoặc b > a.

Ví dụ: 

Điểm – 10 nằm bến trái điểm – 5 nên – 10 < – 5 

Điểm 2 nằm bên phải điểm 0 nên 2 > 0.

Chú ý: 

+ Số nguyên dương luôn lớn hơn 0. Số nguyên âm luôn nhỏ hơn 0.

+ Nếu a < b và b < c thì a < c

Ví dụ: – 2 < 0 và 0 < 5 thì – 2 < 5. 

5.2 Cách so sánh hai số nguyên

5.2.1 So sánh hai số nguyên khác dấu

Số nguyên âm luôn nhỏ hơn số nguyên dương. 

Ví dụ: – 7 là số nguyên âm và 5 là số nguyên dương nên – 7 < 5. 

5.2.2 So sánh hai số nguyên cùng dấu

+ So sánh hai số nguyên dương: Đã biết ở chương I.

+ So sánh hai số nguyên âm:

Để so sánh hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Bước 1. Bỏ dấu “–” trước cả hai số âm

Bước 2. Trong hai số nguyên dương nhận được, số nào nhỏ hơn thì số nguyên âm ban đầu (trước khi bỏ dấu “–”) sẽ lớn hơn. 

Ví dụ: So sánh – 216 và – 309.

Bỏ dấu “–” trước các số – 216 và – 309, ta được các số lần lượt là 216 và 309.

Do 216 < 309 nên – 216 > – 309. 

6. Phép cộng hai số nguyên cùng dấu 

6.1 Phép cộng hai số nguyên dương 

Cộng hai số nguyên dương chính là cộng hai số tự nhiên khác 0. 

Ví dụ: 7 + 5 = 12

6.2 Phép cộng hai số nguyên âm

Để cộng hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Bước 1. Bỏ đấu “–” trước mỗi số

Bước 2. Tính tổng của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1

Bước 3. Thêm dấu “–” trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có tổng cần tìm.

Ví dụ: (– 80) + (– 6) = – (80 + 6) = – 86

Chú ý: 

+ Tổng của hai số nguyên dương là số nguyên dương.

+ Tổng của hai số nguyên âm là số nguyên âm.

7. Phép cộng hai số nguyên khác dấu 

Để cộng hai số nguyên khác dấu, ta làm như sau:

Bước 1. Bỏ dấu “–” trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại

Bước 2. Trong hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta lấy số lớn hơn trừ đi số nhỏ hơn

Bước 3. Cho hiệu vừa nhận được dấu ban đầu của số lớn hơn ở Bước 2, ta có tổng cần tìm.

Ví dụ: (– 6) + 3 = – (6 – 3) = – 3

Chú ý: Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0.

Chẳng hạn, – 7 và 7 là hai số nguyên đối nhau, ta có: (– 7) + 7 = 0. 

8. Tính chất của phép cộng các số nguyên 

Phép cộng các số nguyên có các tính chất sau:

+ Giao hoán: a + b = b + a;

+ Kết hợp: (a + b) + c = a + ( b + c);

+ Cộng với số 0: a + 0 = 0 + a = a;

+ Cộng với số đối: a + (– a) = (– a) + a = 0.

Ví dụ: Tính: a) 51 + (– 97) + 49;                   b) 65 + (– 42) + (– 65).

Lời giải:

a) 51 + (– 97) + 49 

= 51 + 49 + (– 97)       (tính chất giao hoán)

= (51 + 49) + (– 97)    (tính chất kết hợp)

= 100 + (– 97) 

= 100 – 97 

= 3. 

b) 65 + (– 42) + (– 65) 

= 65 + (– 65) + (– 42)                         (tính chất giao hoán) 

= [65 + (– 65)] + (– 42)                      (tính chất kết hợp)

= 0 + (– 42)                                         (cộng với số đối)

= – 42.                                     (cộng với số 0)

9. Phép trừ số nguyên 

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b: 

a – b = a + (– b).

Chú ý: Phép trừ trong không phải bao giờ cũng thực hiện được, còn phép trừ trong luôn thực hiện được.

Ví dụ: (– 10) – 15 = (– 10) + (– 15) = – (10 + 15) = – 25

            6 – 18 = 6 + (– 18) = – (18 – 6) = – 12

10. Quy tắc dấu ngoặc 

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc.

a + (b + c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c.

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “–” đằng trước, ta phải đổi dấu của các số hạng trong ngoặc: dấu “+” thành dấu “–” và dấu “–” thành dấu “+”.

a – (b + c) = a – b – c

a – (b – c) = a – b + c.

Ví dụ: Tính (– 147) – (13 – 47). 

Ta có: 

 (– 147) – (13 – 47) 

= (– 147) – 13 + 47                 (quy tắc dấu ngoặc)

= (– 147) + 47 – 13                 (tính chất giao hoán)

= [(– 147) + 47] – 13              (tính chất kết hợp)

= [– (147 – 47)] – 13

= (– 100) – 13 

= (– 100) + (– 13) 

= – (100 + 13) 

= – 113. 

11. Phép nhân hai số nguyên khác dấu 

Để nhân hai số nguyên khác dấu, ta làm như sau: 

Bước 1. Bỏ dấu “–” trước số nguyên âm, giữ nguyên số nguyên còn lại 

Bước 2. Tính tích của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1

Bước 3. Thêm dấu “–” trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có tích cần tìm.

Chú ý: Tích của hai số nguyên khác dấu là số nguyên âm.

Ví dụ: (– 6) . 7 = – (6 . 7) = – 42 

           20 . (– 10) = – (20 . 10) = – 200 

12. Phép nhân hai số nguyên cùng dấu 

12.1 Phép nhân hai số nguyên dương

Nhân hai số nguyên dương chính là nhân hai số tự nhiên khác 0. 

Ví dụ: 4 . 6 = 24; 16 . 2 = 32. 

12.2 Phép nhân hai số nguyên âm

Để nhân hai số nguyên âm, ta làm như sau: 

Bước 1. Bỏ dấu “–” trước mỗi số

Bước 2. Tính tích của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có tích cần tìm.

Chú ý: Tích của hai số nguyên cùng dấu là số nguyên dương. 

Ví dụ: (– 5) . (– 9) = 5 . 9 = 45 

           (– 20) . (– 6) = 20 . 6 = 120 

Chú ý: Cách nhận biết dấu của tích 

(+) . (+) → (+)

(–) . (–) → (+)

(+) . (–) → (–)

(–) . (+) → (–)

13. Tính chất của phép nhân các số nguyên 

Giống như phép nhân các số tự nhiên, phép nhân các số nguyên cũng có các tính chất: giao hoán; kết hợp; nhân với số 1; phân phối của phép nhân đối với phép cộng, phép trừ. 

+ Tính chất giao hoán: a . b = b . a

+ Tính chất kết hợp: (a . b) . c = a . (b . c)

+ Tính chất nhân với số 1: a . 1 = 1 . a = a 

+ Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a . (b + c) = a . b + a . c

   Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ: a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: 

a . 0 = 0 . a = 0

a . b = 0 thì hoặc a = 0 hoặc b = 0

Ví dụ: Tính 

a) (– 9) . 4 . (– 5);

b) (– 127 086) . 674 . 0; 

c) (– 4) . 7 + (– 4) . 3.

Lời giải: 

a) (– 9) . 4 . (– 5) = (– 9) . [4 . (– 5)] = (– 9) . (– 20) = 9 . 20 = 180 

b) (– 127 086) . 674 . 0 = 0 

c) (– 4) . 7 + (– 4) . 3 = (– 4) . (7 + 3) = (– 4) . 10 = – 40 

14. Phép chia hết hai số nguyên khác dấu 

Để chia hai số nguyên khác dấu, ta làm như sau:

Bước 1. Bỏ dấu “–” trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại

Bước 2. Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1

Bước 3. Thêm dấu “–” trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có thương cần tìm.

Ví dụ: (– 24) : 4 = – (24 : 4) = – 6 

           45 : (– 9) = – (45 : 9) = – 5 

15. Phép chia hết hai số nguyên cùng dấu 

15.1 Phép chia hết hai số nguyên dương

Phép chia hết của một số nguyên dương cho một số nguyên dương là phép chia hết hai số tự nhiên với số chia khác 0. 

Ví dụ: 32 : 8 = 4; 10 : 2 = 5; …

15.2 Phép chia hết hai số nguyên âm 

Để chia hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Bước 1. Bỏ dấu “–” trước mỗi số

Bước 2. Tính thương của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có thương cần tìm.

Ví dụ: (– 12) : (– 3) = 12 : 3 = 4

           (– 100) : (– 20) = 100 : 20 = 5 

Chú ý:

• Cách nhận biết dấu của thương:

(+)  : (+) → (+)

(–) : (–) → (+)

(+) : (–) → (–)

(–) : (+) → (–)

• Thứ tự thực hiện các phép tính với số nguyên (trong biểu thức không chứa dấu ngoặc hoặc có chứa dấu ngoặc) cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính với số tự nhiên.

16. Quan hệ chia hết 

Cho hai số nguyên a, b với . Nếu có số nguyên q sao cho a = b . q thì ta nói:

• a chia hết cho b;

• a là bội của b;

• b là ước của a.

Ví dụ: Ta có: – 48 = 6 . (– 8) nên – 48 chia hết cho 6 hay – 48 là bội của 6 và 6 là ước của – 48.   

Chú ý: 

+ Nếu a là bội của b thì – a cũng là bội của b.

+ Nếu b là ước của a thì – b cũng là ước của a. 

Ví dụ: 6 chia hết cho 2 nên 6 là bội của 2, do đó – 6 cũng là bội của 2

           – 25 chia hết cho 5 nên 5 là ước của – 25, do đó – 5 cũng là ước của – 25. 

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính tuổi thọ của nhà bác học Ác-si-mét, biết rằng ông sinh năm – 287 và mất năm – 212.

Lời giải:

Tuổi thọ của nhà bác học Ác – si – mét là:

– 212 – (– 287) = – 212 + 287 = 75 (tuổi)

Vậy tuổi thọ của nhà bác học Ác-si-mét là 75 tuổi. 

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau

a) (– 4) . 2 . 6 . 25 . (– 7) . 5

b) 16 . (38 – 2) – 38 . (16 – 1)

Lời giải:

a) Ta có: (– 4) . 2 . 6 . 25 . (– 7) . 5 

= [(– 4) . 25] . (2 . 5) . [6 . (– 7)]

       = (– 100) . 10 . (– 42) 

= (– 1 000) . (– 42)

        = 42 000

b) Ta có: 16 . (38 – 2) – 38 . (16 – 1) 

= 16 . 38 – 16 . 2 – 38 . 16 + 38

       = (16 . 38 – 38 . 16) + 38 – 16 . 2

           = 0 + 38 – 32 = 6

Bài 3. 

a) Đọc các số sau: – 10, – 27.

b) Viết các số sau: trừ hai mươi lăm; âm ba trăm bốn mươi tám.

Lời giải:

a) Số – 10 được đọc là: 'âm mười' hoặc là 'trừ mười';

Số – 27 được đọc là: 'âm hai mươi bảy' hoặc 'trừ hai mươi bảy'.

b) Số 'trừ hai mươi lăm' được viết là: – 25;

Số 'âm ba trăm bốn mươi tám' được viết là: – 348. 

Bài 4. Viết số nguyên âm chỉ năm có các sự kiện sau:

a) Thế vận hội đầu tiên diễn ra năm 776 trước Công nguyên;

b) Nhà toán học Ác-si-mét (Archimedes) sinh năm 287 trước Công nguyên.

Lời giải:

a) Thế vận hội đầu tiên diễn ra năm 776 trước Công nguyên.

 Vậy có nghĩa là nó được tổ chức năm – 776.

b) Nhà toán học Ác-si-mét (Archimedes) sinh năm 287 trước Công nguyên.

Vậy có nghĩa là nhà toán học Ác-si-mét (Archimedes) sinh năm – 287.

Bài 5. Chọn kí hiệu '”, '' thích hợp cho :

a)  -5

b) 0 

c) 13 

d) -2

Lời giải:

a) Ta có số – 5 là số nguyên âm nên nó thuộc tập hợp các số nguyên.

Do đó ta viết -5 

b) Ta có số 0 là số nguyên nên nó thuộc tập hợp các số nguyên.

Do đó ta viết 0 

c) Ta có số 13 là số nguyên dương nên nó cũng thuộc tập hợp các số nguyên. 

Do đó ta viết 13 

d) Ta có số – 2 là số nguyên âm nên nó không phải là số tự nhiên hay – 2 không thuộc tập hợp các số tự nhiên.

Do đó ta viết -2 

Bài 6. Tính một cách hợp lí:

a) 48 + (– 66) + (– 34); 

b) 2 896 + (–2 021) + (– 2 896).

Lời giải: 

a) 48 + (– 66) + (– 34) 

= 48 + [(– 66) + (– 34)]                      (tính chất kết hợp)

= 48 + [– (66 + 34)]

= 48 + (– 100) 

= – (100 – 48) 

= – 52. 

b) 2 896 + (– 2 021) + (– 2 896) 

= 2 896 + (– 2 896) + (– 2 021)                      (tính chất giao hoán)

= [2 896 + (– 2 896)] + (– 2 021)       (tính chất kết hợp)

= 0 + (– 2 021)                                                (cộng hai số đối nhau) 

= – 2 021.                                                        (cộng với 0)

Bài 7. Tìm số nguyên x, biết: 

a) (– 5) . x = 55; 

b) (– 30) : (x + 7) = – 6. 

Lời giải: 

a) Ta có:

 (– 5) . x = 55 

         x = 55 : (– 5)

             x = – (55 : 5) 

               x = – 11

Vậy x = – 11. 

b) (– 30) : (x + 7) = – 6 

                  x + 7 = (– 30) : (– 6) 

                   x + 7 = 5 

                   x         = 5 – 7 

                   x        = – 2 

Vậy x = – 2. 

Bài 8. Tìm các bội của – 13 lớn hơn – 40 và nhỏ hơn 40.

Lời giải:

Để tìm các bội của – 13, ta lấy – 13 nhân lần lượt với các số 0, – 1, 1, – 2, 2,… 

Ta được các bội của – 13 là: 0, – 13, 13, – 26, 26, – 39, 39, – 52,  52, ...

Mà theo bài ta có: bội đó lớn hơn – 40 và nhỏ hơn 40

Nên các bội cần tìm là: – 39, – 26, – 13, 0, 13, 26, 39

Vậy các bội số thỏa mãn yêu cầu là – 39, – 26, – 13, 0, 13, 26, 39. 

Bài 9. Chứng minh rằng với a, b, c  thì:

     a(b + c) – b(a + c) = b(a – c) – a(b – c)

Lời giải:

Ta có: a(b + c) – b(a + c) 

           = ab + ac – (ba + bc)

= ab + ac – ab – bc

           = (ab – bc) + (ac – ab)

           = b( a – c) – (ab – ac)

       = b(a – c) – a(b – c) (đpcm)