Lý thuyết Số tự nhiên (Chân trời sáng tạo 2024) Toán 6

Lý thuyết Toán lớp 6 Chương 1: Số tự nhiên

Video giải Toán 6 Chương 1: Số tự nhiên - Cánh diều

A. Lý thuyết Chương 1: Số tự nhiên

1. Tập hợp

Tập hợp là khái niệm cơ bản thường dùng trong toán học và cuộc sống. Ta hiểu tập hợp thông qua các ví dụ.

Ví dụ:

   + Tập hợp các đồ vật (sách, bút) đặt trên bàn.

   + Tập hợp học sinh lớp 6A.

2. Kí hiệu và cách viết tập hợp

Tên tập hợp được viết bằng chữ cái in hoa như: A, B, C,…

Ví dụ: 

+ Tập hợp A gồm các số tự nhiên nhỏ hơn 5

Ta viết: A = {0; 1; 2; 3; 4}

Chú ý: 

• Các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc nhọn { }, ngăn cách nhau bởi dấu ';'.

• Mỗi phần tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê tùy ý.

Chẳng hạn, với tập A ở trên, ta có thể viết như sau:

A = {2; 3; 1; 4; 0}

3. Phần tử thuộc tập hợp

Kí hiệu: ∈ (thuộc) và ∉ (không thuộc)

Ví dụ: Cho tập hợp B = {2; 3; 5; 6}

- Số 2 là phần tử của tập hợp B, ta nói phần tử 2 (số 2) thuộc tập hợp B, viết là 2 ∈ B

- Ta thấy số 4 không là phần tử của tập hợp B, ta viết 4 ∉ B, đọc là 4 không thuộc B.

4. Cách cho tập hợp

 Có hai cách cho một tập hợp

4.1 Liệt kê các phần tử của tập hợp.

Ví dụ: Quan sát các số được cho ở hình dưới:

 

Gọi A là tập hợp các số đó. 

Các phần tử của tập hợp A là: 0; 1; 2; 3; 4

Ta viết: A = {0; 1; 2; 3; 4}. .

4.2 Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

Ví dụ:Các phần tử của tập hợp A ở trên đều là các số tự nhiên nhỏ hơn 5. Ta có thể viết:

 A = {x| x là số tự nhiên nhỏ hơn 5} .

4.3 Chú ý:

• Các phần tử của một tập hợp được viết trong hai dấu ngoặc nhọn { }, ngăn cách nhau bởi dấu ';'.

• Mỗi phần tử được liệt kê một lần, thứ tự liệt kê tùy ý.

• Ngoài ra ta còn minh họa tập hợp bằng một vòng tròn kín, mỗi phần tử của tập hợp được biểu diễn bằng 1 dấu chấm bên trong vòng tròn kín đó, còn phần tử không thuộc tập hợp được biểu diễn bởi một dấu chấm bên ngoài vòng kín. Cách minh họa tập hợp như trên gọi là biểu đồ Ven (Venn). 

Ví dụ:Tập hợp B trong hình vẽ là B = {a; b; c; d} ; e ∉ B

5. Tập hợpvà tập hợp 

Các số 0, 1, 2, 3, 4 … là các số tự nhiên.

Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là, tức là= {0; 1; 2; 3; 4; …} .

Tập hợp các số tự nhiên khác 0 được kí hiệu là, tức là={1; 2; 3; 4; …} .

6. Biểu diễn một số tự nhiên trên tia số

Các số tự nhiên được biểu diễn trên tia số. Mỗi số tự nhiên ứng với một điểm trên tia số.

7. Cấu tạo thập phân của số tự nhiên

Số tự nhiên được viết trong hệ thập phân bởi một, hai hay nhiều chữ số. Các chữ số được dùng là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Khi một số gồm hai chữ số trở lên thì chữ số đầu tiên (tính từ trái sang phải) khác 0.

Trong cách viết một số tự nhiên có nhiều chữ số, mỗi chữ số ở những vị trí khác nhau có giá trị khác nhau.

Ví dụ: 

+ Số 987 có:

- Chữ số hàng trăm là 9 và có giá trị là 9 x 100 

- Chữ số hàng chục là 8 và có giá trị là 8 x 10 

- Chữ số hàng đơn vị là 7 và có giá trị là 7

Ta viết: 987 = 9 x 100 + 8 x 10 + 7 

+ Kí hiệu (a # 0)là chỉ số tự nhiên có hai chữ số có:

- Chữ số hàng chục là a và có giá trị là a x 10 

- Chữ số hàng đơn vị là b và có giá trị là b 

Ta viết: = a x 10 +b

8. Số La Mã

Cách ghi số La Mã:

+ Các số tự nhiên từ 0 đến 10 được ghi bằng số La Mã tương ứng như sau:

+ Nếu thêm vào bên trái mỗi số ở dòng (1) một chữ số X, ta được số La Mã từ 11 đến 20:

+ Nếu thêm vào bên trái mỗi số ở dòng (1) hai chữ số X, ta được các số La Mã từ 21 đến 30:

Ví dụ:

+ Số La Mã XIV đọc là mười bốn

+ Số 15 được viết bằng số La Mã là: XV

9. So sánh các số tự nhiên

+ Trong hai số tự nhiên khác nhau, có một số nhỏ hơn số kia. Nếu số a nhỏ hơn số b thì ta viết a < b hay b > a.

Ví dụ: Số 15 nhỏ hơn số 20, ta viết 15 < 20 hay 20 > 15.

+ Với số tự nhiên a cho trước:

Ta viết x ≤ a để chỉ x < a hoặc x = a.

Ta viết x ≥ a để chỉ x > a hoặc x = a.

+ Nếu a < b và b < c thì a < c (tính chất bắc cầu)

Ví dụ: 2 < 3 và 3 < 4 thì 2 < 4

+ Cách so sánh hai số tự nhiên

- Trong hai số tự nhiên có số chữ số khác nhau: Số nào có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn, số nào có ít chữ số hơn thì nhỏ hơn.

- Để so sánh hai số tự nhiên có số chữ số bằng nhau, ta lần lượt so sánh từng cặp chữ số trên cùng một hàng (tính từ trái sang phải) cho đến khi xuất hiện cặp chữ số đầu tiên khác nhau. Ở cặp chữ số khác nhau đó, chữ số nào lớn hơn thì số tự nhiên chứa chữ số đó lớn hơn.

10. Phép cộng

10.1 Phép cộng hai số tự nhiên

a + b = c

         (số hạng) + (số hạng) = (tổng)

Ví dụ: 3 + 2 = 5; 10 + 24 = 34

10.2 Tính chất của phép cộng các số tự nhiên

+ Phép cộng các số tự nhiên có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0. 

Tính chất	Phát biểu	Kí hiệu
Giao hoán	Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi.	a + b = b + a
Kết hợp	Muốn cộng một tổng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba.	(a + b) + c = a + (b + c)
Cộng với số 0	Bất kì số nào cộng với số 0 cũng bằng chính nó.	a + 0 = 0 + a = a

 

+ Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a + b + c có thể được tính theo một trong hai cách sau: a + b + c = (a + b) + c hoặc a + b + c = a + (b + c). 

11. Phép trừ

11.1 Phép trừ hai số tự nhiên

         a – b = c     (a ≥  b)

(số bị trừ) – (số trừ) = (hiệu)

Ví dụ: 12 – 7 = 5; 23 – 3 = 20 

 11.2 Lưu ý

+ Nếu a – b = c thì a = b + c và b = a – c. 

+ Nếu a + b = c thì a = c – b và b = c – a.

12. Phép nhân 

12.1 Phép nhân hai số tự nhiên

a x b = c 

(thừa số) x (thừa số) = (tích)

Ví dụ: 5 x 2 = 10; 20 x 3 = 60 

Quy ước: 

+ Trong một tích, ta có thể thay dấu nhân “x” bằng dấu chấm “.” 

Ví dụ: 5 x 2 = 5 . 2 

+ Trong một tích mà các thừa số đều bằng chữ hoặc chỉ có một thừa số bằng số, ta có thể không cần viết dấu nhân giữa các thừa số

Ví dụ: a x b = a . b = ab hoặc 4. a . b = 4ab

+ Khi nhân hai số có nhiều chữ số, thông thường đặt tính rồi tính, chú ý khi viết các tích riêng (tích riêng thứ hai lùi sang bên trái một cột so với tích riêng thứ nhất, tích riêng thứ ba lùi sang bên trái hai cột so với tích riêng thứ nhất,…)

12.2 Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số tự nhiên có các tính chất sau:

+ Giao hoán:               a . b = b . a

+ Kết hợp:                  (a . b) . c = a . (b . c)

+ Nhân với số 1:         a . a = 1 . a = a

+ Phân phối đối với phép cộng và phép trừ:

a . (b + c) = a. b + a . c

a . (b – c) = a . b – a . c

Chú ý: Do tính chất kết hợp nên giá trị của biểu thức a. b. c có thể được tính theo một trong hai cách sau:

a . b. c = (a . b) . c hoặc a . b . c = a . (b . c)

13. Phép chia

13.1 Phép chia hết 

a : b = q   (b # 0)     

(số bị chia) : (số chia) = (thương)

Ví dụ: 10 : 2 = 5; 30 : 5 = 6

Chú ý: 

+ Nếu a : b = q thì q = bq

+ Nếu a : b = q và q # 0 thì a : q = b 

+ Thông thường, ta đặt tính chia để thực hiện phép chia.

13.2 Phép chia có dư

Cho hai số tự nhiên a và b với b # 0 . Khi đó luôn tìm được đúng hai số tự nhiên q và r sao cho a = b . q + r, trong đó  0 ≤ r < b    .

Chú ý: 

+ Khi r = 0 ta có phép chia hết.

+ Khi   ta có phép chia có dư. Ta nói: a chia cho b được thương là q và số dư là r.

Kí hiệu: a : b = q (dư r)

14. Phép nâng lên lũy thừa 

Lũy thừa bậc n của a, kí hiệu  , là tích của n thừa số a:

Trong đó:

a được gọi là cơ số

n được gọi là số mũ.

Quy ước:  a1= a  

Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi là phép nâng lên lũy thừa.

Chú ý: 

+  an đọc là “a mũ n” hoặc “a lũy thừa n” hoặc “lũy thừa bậc n của a”.

+  a2  còn được gọi là “a bình phương” hay “bình phương của a”.

+  a3  còn được gọi là “a lập phương” hay “lập phương của a”.

Lưu ý: Với n là số tự nhiên khác 0, ta có: 

15. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ: 

am . an = am + n 

Ví dụ: 23 . 24 = 23 + 4 = 27

16. Chia hai lũy thừa cùng cơ số 

Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số (khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các số mũ:

am : an = am - n  ( a# 0 m≥n ) 

Quy ước: a0 = 1  (a # 0). 

Ví dụ:  97 : 93 = 97 - 3 = 94

17. Thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức không chứa dấu ngoặc 

+ Khi biểu thức chỉ có các phép tính cộng và trừ (hoặc chỉ có các phép tính nhân và chia), ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải. 

+ Khi biểu thức có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, ta thực hiện phép tính nhân và chia trước, rồi đến cộng và trừ.

+ Khi biểu thức có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện phép tính nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân và chia, cuối cùng đến cộng và trừ.

Lũy thừa → Nhân, chia → Cộng, trừ

18. Thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức chứa dấu ngoặc 

+ Khi biểu thức có chứa dấu ngoặc, ta thực hiện các phép tính trong dấu ngoặc trước.

+ Nếu biểu thức chứa các dấu ngoặc ( ), [ ], { } thì thứ tự thực hiện các phép tính như sau: ( ) → [ ] → { }

19. Khái niệm về chia hết

Cho hai số tự nhiên a và b (b#0)   .

Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b . q thì ta nói a chia hết cho b.

Khi a chia hết cho b, ta nói a là bội của b và b là ước của a.

Lưu ý: 

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b bằng 0 thì a chia hết cho b, kí hiệu là  . 

+ Nếu số dư trong phép chia a cho b khác 0 thì a không chia hết cho b, kí hiệu là  . 

Lưu ý: Với a là số tự nhiên khác 0 thì:

+ a là ước của a;

+ a là bội của a;

+ 0 là bội của a;

+ 1 là ước của a.

20. Cách tìm bội và ước của một số

20.1 Cách tìm bội của một số 

Để tìm các bội của   ta có thể lần lượt nhân n với 0, 1, 2, 3, …. Khi đó, các kết quả nhận được đều là bội của n.

20.2 Cách tìm ước của một số 

Để tìm các ước của số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có thể lần lượt chia n cho các số tự nhiên từ 1 đến n. Khi đó, các phép chia hết cho ta số chia là ước của n.

21. Tính chất chia hết của một tổng

Tổng quát: Nếu tất cả các số hạng của tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

Cụ thể đối với tổng 2 số hạng: 

Nếu thì.

Khi đó ta có: (a + b) : m = a : m + b : m.

22. Tính chất chia hết của một hiệu

Tổng quát: Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho cùng một số thì hiệu chia hết cho số đó.

Cụ thể:

Với a ≥ b  :

Nếu  

Khi đó ta có: (a – b) : m = a : m – b : m.

23. Tính chất chia hết của một tích

Tổng quát: Nếu một thừa số của tích chia hết cho một số thì tích chia hết cho số đó.

Cụ thể: Nếu  với mọi số tự nhiên b.

24. Dấu hiệu chia hết cho 2

Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.

25. Dấu hiệu chia hết cho 5 

Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.

Nhận xét: Từ dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 ở trên, ta thấy những số chia hết cho cả 2 và 5 là những số có chữ số tận cùng là 0. 

26. Dấu hiệu chia hết cho 3

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3.

27. Dấu hiệu chia hết cho 9 

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9.

28. Số nguyên tố và hợp số

• Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

• Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước.

Lưu ý: 

+ Số 0 và số 1 không là số nguyên tố và cũng không là hợp số.

+ Để chứng tỏ số tự nhiên a lớn hơn 1 là hợp số, ta chỉ cần tìm một ước của a khác 1 và khác a.

Lưu ý: Nếu số nguyên tố p là ước của số tự nhiên a thì p được gọi là ước nguyên tố của a.

Nhận xét: Số nguyên tố nhỏ nhất là số 2 và đó là số nguyên tố chẵn duy nhất. 

29. Cách tìm một ước nguyên tố của một số 

Để tìm một ước nguyên tố của số tự nhiên n lớn hơn 1, ta có thể làm như sau: lần lượt thực hiện phép chia n cho các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

Khi đó, phép chia hết đầu tiên cho ta số chia là một ước nguyên tố của n.

30. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

+ Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ta thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.

Lưu ý: Khi phân tích một số ra thừa số nguyên tố ta nên chia mỗi số trong khi phân tích cho ước nguyên tố nhỏ nhất của nó.

Cứ tiếp tục chia như thế cho đến khi được thương là 1.

+ Ta có thể phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách viết “rẽ nhánh” và “theo cột dọc”. 

Chú ý:

+ Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là chính số đó.

+ Mọi hợp số đều phân tích được ra thừa số nguyên tố.

+ Thông thường, khi phân tích một số tự nhiên ra thừa số nguyên tố, các ước nguyên tố được viết theo thứ tự tăng dần.

+ Ngoài cách làm như trên, ta cũng có thể phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách viết số đó thành tích của hai thừa số một cách linh hoạt.

Nhận xét: Dù phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng cách nào thì cuối cùng ta cũng được cùng một kết quả.

31. Ước chung: 

Số tự nhiên n được gọi là ước chung của hai số a và b nếu n vừa là ước của a vừa là ước của b.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC.

Kí hiệu: Tập hợp các ước chung của a và b là ƯC(a, b).

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là ước chung của ba số a, b, c nếu n là ước của cả ba số a, b, c. 

32. Ước chung lớn nhất: 

Số lớn nhất trong các ước chung của hai số a và b được gọi là ước chung lớn nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Kí hiệu: ước chung lớn nhất của a và b là ƯCLN(a, b). 

33. Tìm ước chung của hai số khi biết ƯCLN của hai số đó

Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng. 

34. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố 

Các bước tìm ƯCLN bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn lũy thừa với số mũ nhỏ nhất

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.

Chú ý: 

+ Nếu hai số đã cho không có thừa số nguyên tố chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

+ Nếuthì ƯCLN(a, b) = b. Chẳng hạn, ƯCLN(48, 16) = 16.

35. Hai số nguyên tố cùng nhau

Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1.

36. Phân số tối giản

+ Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

+ Ta có thể rút gọn một phân số về phân số tối giản bằng cách chia cả tử và mẫu của phân số đó cho ƯCLN của chúng. 

37. Bội chung: 

Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n vừa là bội của a vừa là bội của b.

Quy ước: Viết tắt bội chung là BC. 

Kí hiệu: Tập hợp các bội chung của a và b là BC(a, b). 

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là bội chung của ba số a, b, c nếu n là bội của cả ba số a, b, c. Ta kí hiệu: Tập hợp các bội chung của a, b, c là BC(a, b, c).

38. Bội chung nhỏ nhất: 

Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt bội chung nhỏ nhất là BCNN.

Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN(a, b).

Chú ý: 

+ Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của ba số a, b, c được gọi là bội chung nhỏ nhất của ba số a, b, c.

+ Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của a, b, c là BCNN(a, b, c).

+ Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau bằng tích của hai số đó. 

39. Tìm bội chung thông qua BCNN

+ Bội chung của nhiều số là bội của bội chung nhỏ nhất của chúng.

+ Để tìm bội chung của nhiều số, ta có thể lấy bội chung nhỏ nhất của chúng lần lượt nhân với 0, 1, 2, …

40. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố 

Các bước tìm BCNN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng

Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất

Bước 4: Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất cần tìm.

Chú ý: Nếu  thì BCNN(a, b) = a. Chẳng hạn: BCNN(48, 16) = 48.

41. Ứng dụng bội cung nhỏ nhất vào cộng, trừ các phân số không cùng mẫu

Để tính tổng (hoặc hiệu) hai hay nhiều phân số không cùng mẫu, ta có thể làm như sau:

+ Quy đồng mẫu số hai phân số bằng cách chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu. 

+ Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).

+ Sau khi nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng, ta cộng (trừ) hai hay nhiều phân số có cùng mẫu. 

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Chứng minh A là một lũy thừa của 2 với A = 4 + 22 + 23 + .... + 220.

Lời giải:

Ta có: A = 4 + 22 + 23 + .... + 220 

Suy ra: 2A = 2 . (4 + 22 + 23 + .... + 220) = 8 + 23 + 24 + 25 + .... + 221

Do đó: 2A – A = (8 + 23 + 24 + 25 + .... + 221) – (4 + 22 + 23 + .... + 220)

  = 8 – (22 + 4) + 221 = 8 – (4 + 4) + 221 = 221 

Khi đó A = 221 

Vậy A là một lũy thừa của 2. 

Bài 2. Một trang trại nuôi 70 con bò. Biết trung bình một con bò ăn 30 kg cỏ trong một ngày. Trang trại đó cần bao nhiêu ki-lô-gam cỏ cho đàn bò trong 5 ngày. 

Lời giải:

Trong một ngày, 70 con bò ăn hết số ki-lô-gam cỏ là:

30 . 70 = 2 100 (kg)

Trong 5 ngày, 70 con bò ăn hết số ki-lô-gam cỏ là:

2 100 x 5 = 10 500 (kg)

Đáp số: 10 500 kg cỏ. 

Bài 3. Viết các tập hợp sau:

a) A là tập hợp các số tự nhiên chẵn bé hơn 20.

b) B là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 10.

Lời giải:

a) Ta có A là tập hợp các số tự nhiên chẵn bé hơn 20 nên các phần tử của A là: 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18.

Do đó ta viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử là:

A =

Ta có thể viết tập hợp A bằng cách nêu dấu hiệu đặc trưng như sau:

A = .

b) Ta có B là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 10 nên các phần tử của tập hợp B là: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10.

Do đó ta viết tập hợp B bằng cách liệt kê các phần tử là:

B =

Ta có thể viết tập hợp b bằng cách nêu dấu hiệu đặc trưng như sau:

B = { x ∈| x ≤ 10 }.

Bài 4.

a) Số liền trước số 49 là số?

b) Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn 228 ≤ a < b < c ≤ 230?

Lời giải:

a) Số liền trước số 49 là số 48.

b) Theo đề bài, ta có các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 228 và nhỏ hơn hoặc bằng 230 là 228; 229; 230.

Mà mặt khác a < b < c nên a = 228; b = 229; c = 230.

Bài 5. Thực hiện các phép tính sau

a) 37 . 27 . 81;

b) 100 . 1 000 . 10 000.

Lời giải:

a) Ta có: 37 . 27 . 81 = 37 . (3 . 3 . 3) . (3 . 3 . 3 . 3) = 37 . 33 . 34 = 37 + 3 + 4 = 314

b) Ta có: 100 . 1 000 . 10 000 = 102.103.104 = 102 + 3 + 4 = 109

Bài 6. Tổng của hai số tự nhiên gấp 3 lần hiệu của chúng. Tìm thương của hai số tự nhiên đó?

Lời giải:

Gọi hai số tự nhiên đã cho là a và b (a > b)

Theo bài ra ta có: a + b = 3(a – b)

Nên a + b = 3a – 3b 

Suy ra: 2a = 4b tức là a = 2b

Do đó: a : b = 2b : b = 2

Vậy a : b = 2 hay thương của hai số tự nhiên đó là 2. 

Bài 7. Không tính giá trị biểu thức, hãy giải thích tại sao A = 36 . 234 + 217 . 24 – 54 . 13 chia hết cho 6.

Lời giải: 

Ta có: 36 : 6 = 6;   24 : 6 = 4;    54 : 6 = 9.

Nên các số 36; 24; 54 đều là các số chia hết cho 6, áp dụng tính chất chia hết của một tích ta có:

36 . 234;      217 . 24;       54 . 13 đều là các tích chia hết cho 6.

Khi đó: A = 36 . 234 + 217 . 24 – 54 . 13 chia hết cho 6.

(Theo tính chất chia hết của một tổng và tính chất chia hết của một hiệu).

Bài 8. Cho số N =Có bao nhiêu số N sao cho N là số có 5 chữ số khác nhau và N chia cho 5 dư 1 và N chia hết cho 2.

Lời giải: 

Điều kiện: a, b ∈ 

N =chia cho 5 dư 1 nên b ∈

Mà N chia hết cho 2 nên b = 6, ta được số N = 

Lại có N là số có 5 chữ số khác nhau nên a ∈ 

Vậy có 6 số N thỏa mãn yêu cầu bài là 50 276; 51 276; 53 276; 54 276; 58 276; 59 276.

Bài 9. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng là 4n ± 1 với n là số tự nhiên bất kì. 

Lời giải:

Khi chia một số tự nhiên a lớn hơn 2 cho 4 thì ta được các số dư là 0, 1, 2, 3. Trường hợp các số dư là 0 và 2 thì a là hợp số. 

Thật vậy,

+ Với số dư là 0 thì a chia hết cho 4 nên a là hợp số

+ Với số dư là 2, ta có: a = 4n + 2 

Vì 4 chia hết cho 2 nên  , 2 chia hết cho 2

Do đó:nên a là hợp số

Ta xét trường hợp số dư là 1 và 3.

+ Với mọi trường hợp số dư là 1 ta có a = 4n + 1

+ Với mọi trường hợp số dư là 3 ta có a = 4n + 3 = 4n + 4 – 1 = 4(n + 1) – 1 

Đặt n + 1 = m, khi đó a = 4m – 1

Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 

Bài 10. 

a) Biết 400 = 24 . 52. Hãy viết 800 thành tích các thừa số nguyên tố.

b) Biết 2 700 = 22 . 33 . 52. Hãy viết 270 và 900 thành tích các thừa số nguyên tố.

Lời giải:

a) Ta có: 800 = 2 . 400 

Mà 400 = 24 . 52 

Do đó: 800 = 2 . (24 . 52) = (21 . 24). 52 = 24+1 . 52 = 25 . 52

Vậy 800 = 25 . 52. 

b) Ta có: 2 700 =  10 . 270 = 3 . 900

Mà 10 = 2 . 5 và 2 700 = 22 . 33 . 52 

Do đó: 270 = 2 700 : 10 = (22 . 33 . 52) : (2 . 5) = (22 : 2) . 33 . (52 : 5) = 2 . 33 . 5

900 = 2 700 : 3 = (22 . 33 . 52) : 3 = 22 . (33 : 3) . 52 = 22 . 32 .52

Vậy 270 = 2 . 33 . 5 và 900 = 22 . 32 .52.

Bài 11. Tìm ƯCLN(126, 150). Từ đó hãy tìm tất cả các ước chung của 126 và 150.

Lời giải: 

+ Ta có: 

Do đó: 126 = 2 . 3 . 3 . 7 = 2 . 32 . 7

150 = 2 . 3 . 5 . 5 = 2 . 3 . 52

Các thừa số nguyên tố chung của 126 và 150 là 2 và 3

Số 2 có số mũ nhỏ nhất là 1; số 3 có số mũ nhỏ nhất là 1.

Do đó: ƯCLN(126, 150) = 21 . 31 = 2 . 3 = 6 

Lại có 6 có các ước là 1; 2; 3; 6.

Ước chung của 126 và 150 là ước của ƯCLN(126, 150) là 1; 2; 3; 6

Hay ƯC(126, 150) =  

Vậy ƯCLN(126, 150) = 6; ƯC(126, 150) = . 

Bài 12. Thực hiện phép tính sau:  .

Lời giải:

Để thực hiện phép tính, trước hết tìm bội chung nhỏ nhất của 6, 27 và 18 để quy đồng mẫu số.

+ Ta có: 6 = 2 . 3; 27 = 33; 18 = 2 . 9 = 2 . 32 

Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 6, 27 và 18 là 2; 3, tương ứng với các số mũ lớn nhất là 1; 3. 

Khi đó: BCNN(6, 27, 18) = 21 . 33 = 2 . 27 = 54

+ 54 : 6 = 9; 54 : 27 = 2; 54 : 18 = 3

Bài 13. Một căn phòng hình chữ nhật có chiều dài là 680 cm và chiều rộng là 480 cm. Người ta muốn lát kín căn phòng đó bằng gạch hình vuông mà không có viên gạch nào bị cắt xén. Hỏi viên gạch đó có độ dài lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải: 

Gọi độ dài của viên gạch hình vuông là x ().

Để lát kín căn phòng mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì x phải là ước chung của chiều dài và chiều rộng.

Hay 680 ⋮ x và 480 ⋮ x 

Do đó x ∈ ƯC(680, 480)

Để x lớn nhất thì x = ƯCLN(680, 480)

Ta có: 680 = 23 . 5 . 17; 480 = 25 . 3 . 5 

Khi đó: x = ƯCLN(680, 480) = 23 . 5 = 40.

Vậy để lát kín căn phòng đó mà không có viên gạch nào bị cắt xén thì độ dài lớn nhất của viên gạch là 40 cm.