Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ.

a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các các lực căng dây?

b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trong một mặt phẳng không?

Hình 2.3 cho ta ví dụ về một số đại lượng có thể biểu diễn bởi vectơ trong không gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ tương tự.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (H.2.6). Trong các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$:

a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD)?

b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.7)

a) So sánh độ dài hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$.

b) Nhận xét về giá của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$.

c) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}$ có cùng phương không? Có cùng hướng không?

Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai vectơ đó có bằng nhau không?

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.

a) Trong ba vectơ $\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{DC}$, vectơ nào bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$.

b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Xác định điểm N sao cho $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}$.

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Lấy điểm A và vẽ các vectơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Lấy điểm A’ và vẽ các vectơ $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{b}$ (H.2.10).

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$.

b) Giải thích vì sao AA’C’C là hình bình hành, từ đó suy ra $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$.

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.12).

Cho tứ diện ABCD (H.2.13). Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (H.2.14).

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC}$ có bằng nhau hay không?

b) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ có bằng nhau hay không?

Cho hình hộp hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$

Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên lọ hoa. Có nhận xét về độ dài và hướng của các vectơ biểu diễn hai lực đó.

Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{DM}$ là hai vectơ đối nhau;

b) $\overrightarrow{SD}-\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{SC}$

Thang cuốn tại các trung tâm thương mại, siêu thị hay nhà ga, sân bay thường có hai làn, trong đó một làn lên và một làn xuống. Khi thang cuốn chuyển động, vectơ biểu diễn vận tốc của mỗi làn có là hai vectơ đối nhau không? Giải thích vì sao.

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC (H.2.17)

a) Hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ có cùng phương không? Có cùng hướng không?

b) Giải thích vì sao $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}\right|$.

Hai vectơ $1\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{a}$ có bằng nhau không? Hai vectơ $\left(-1\right)\overrightarrow{a}$ và $-\overrightarrow{a}$ có bằng nhau không?

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho $SE=\frac{1}{3}SA,SF=\frac{1}{3}SB$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$.

Trong Ví dụ 8, gọi I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho $\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{IG}$ (H.2.19). Chứng minh rằng $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$.

Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (H.2.20). Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ 900km/h lên 920km/h, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc 900km/h và 920km/h lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$. Hãy giải thích vì sao $\overrightarrow{F_1}=k\overrightarrow{F_2}$ với k là một số thực dương nào đó. Tính giá trị của k (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Lấy điểm O và vẽ các vectơ$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Lấy điểm O’ khác O và vẽ các vectơ $\overrightarrow{O^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{O^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{b}$ (H.2.21).

a) Hãy giải thích vì sao $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$.

b) Áp dụng định lí côsin cho hai tam giác OAB và O’A’B’ để giải thích vì sao $\widehat{AOB}=\widehat{A^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về quy tắc ba điểm để chứng minh: Nếu A, B, C là ba điểm bất kì thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

b) Sử dụng kiến thức về định lí côsin để chứng minh: Cho tam giác ABC có, khi đó, $\cos \hat{A}=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}$

Xác định góc giữa hai vectơ cùng hướng (và khác $\overrightarrow{0}$), góc giữa hai vectơ ngược hướng trong không gian

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (H.2.25). Tính các góc $\left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{BC}\right)$ và $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\right)$.

Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.

Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{CD}$

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng $\overrightarrow{A^{\prime }C}.\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=0$.

Trong không gian, cho ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ phân biệt và đều khác $\overrightarrow{0}$. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

b) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

c) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

d) Nếu $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều ngược hướng với $\overrightarrow{c}$ thì $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có $AB=2,AD=3$ và $A{A}^{\prime }=4$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{B{B}^{\prime }},\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$.

Một chiếc bàn cân đối hình chữ nhật được đặt trên mặt sàn nằm ngang, mặt bàn song song với mặt sàn và bốn chân bàn vuông góc với mặt sàn như Hình 2.29. Trọng lực tác dụng lên bàn (biểu thị bởi vectơ $\overrightarrow{a}$) phân tán đều qua bốn chân bàn và gây nên các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn (biểu thị bởi các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$).

a) Hãy chỉ ra mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d}$ và $\overrightarrow{e}$.

b) Giải thích vì sao các vectơ $\overrightarrow{b},\overrightarrow{c},\overrightarrow{d},\overrightarrow{e}$ đôi một bằng nhau.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$;
b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C{D}^{\prime }}-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{0}$;
c) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{A^{\prime }C}$

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$. Hãy biểu diễn các vectơ sau qua các vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$:
a) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$;
b) $\overrightarrow{B^{\prime }C}$;
c) $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$.

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}$. 

Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho $SM=2AM$. Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho $CN=2BN$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{AB}$.

Trong Luyện tập 8, ta đã biết trọng tâm của tứ diện ABCD là một điểm I thỏa mãn $\overrightarrow{AI}=3\overrightarrow{IG}$, ở đó G là trọng tâm của tam giác BCD. Áp dụng tính chất trên để tính khoảng cách từ trọng tâm của một khối rubik (đồng chất) hình tứ diện đều đến một mặt của nó, biết rằng chiều cao của khối rubik là 8cm (H.2.30).

Ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể được buộc chung một đầu và được kéo căng về ba hướng khác nhau (H.2.31). Nếu các lực kéo làm cho ba sợi dây ở trạng thái đứng yên thì khi đó ba sợi dây nằm trên cùng một mặt phẳng. Hãy giải thích vì sao.

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }C;}$
b) $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{BC;}$
c) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$.

Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là ${45}^0$, hãy tính:
a) $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$;
b) $\left(\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\right)$
c) ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2$.

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}$;
b) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$.