Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (Kết nối tri thức 2024) Toán 11

A. Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

1. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là $\overline{x}=\frac{m_1{x}_1+...+m_k{x}_k}{n}$

Trong đó, $n=m_1+...+m_k$ là cỡ mẫu và $x_i=\frac{a_i+a_{i+1}}{2}$(với $i=1,2,...,k$) là giá trị đại diện của nhóm $[a_i;a_{i+1})$.

2. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p: $[a_p;a_{p+1})$.

Bước 2. Trung vị là $M_e=a_p+\frac{\frac{n}{2}-\left(m_1+...+m_{p-1}\right)}{m_p}.\left(a_{p+1}-a_p\right)$

Trong đó n là cỡ mẫu, $m_p$ là tần số nhóm p.

Với $p=1$, ta quy ước $m_1+...+m_{p-1}=0$

${\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">1</span></span>}}<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">+</span></span><span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">.</span></span><span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">.</span></span><span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">.</span></span><span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">+</span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}}_{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">-</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">1</span></span>}}<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">=</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">0</span></span>}$3. Tứ phân vị của mấu số liệu ghép nhóm

Để tính tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_1$, giả sử đó là nhóm thứ p: $[a_p;a_{p+1})$. Khi đó,

$Q_1=a_p+\frac{\frac{n}{4}-\left(m_1+...+m_{{}_{p-1}}\right)}{m_p}.\left(a_{p+1}-a_p\right)$

Trong đó n là cỡ mẫu, $m_p$ là tần số nhóm p.

Với $p=1$, ta quy ước $m_1+...+m_{p-1}=0$

Để tính tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_3$, giả sử đó là nhóm thứ p: $[a_p;a_{p+1})$. Khi đó,

$Q_3=a_p+\frac{\frac{3n}{4}-\left(m_1+...+m_{{}_{p-1}}\right)}{m_p}.\left(a_{p+1}-a_p\right)$

Trong đó n là cỡ mẫu, $m_p$ là tần số nhóm p. Với $p=1$, ta quy ước $m_1+...+m_{p-1}=0$

Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ chính là trung vị $M_e$.

4. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j: $[a_j;a_{j+1})$.

Bước 2. Mốt được xác định là: $M_o=a_j+\frac{m_j-m_{j-1}}{\left(m_j-m_{j-1}\right)+\left(m_j-m_{j+1}\right)}.h$

Trong đó, $m_j$ là tần số của nhóm j (quy ước $m_0=m_{k+1}=0$) và h là độ dài của nhóm.

• Lưu ý:

Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt.

• Ý nghĩa:

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho mốt của mẫu số liệu gốc, nó được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu.

B. Bài tập Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Bài 1: Kết quả khảo sát cân nặng của 20 quả táo ở mỗi lô hàng A và B được cho bởi bảng sau:

a) Hãy ước lượng cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở hai lô hàng trên.

b) Nếu so sánh theo số trung bình thì táo ở lô hàng nào nặng hơn?

Hướng dẫn giải

Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số quả táo của mỗi lô hàng A và B đều là n = 20.

Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng A là:

$\overline{x_A}=\frac{1.152,5+4.157,5+10.162,5+3.167,5+2.172,5}{20}=\frac{651}{4}=162,75$ (gam)

Cân nặng trung bình của mỗi quả táo ở lô hàng B là:

$\overline{x_B}=\frac{2.152,5+3.157,5+12.162,5+2.167,5+1.172,5}{20}$= 161,75 (gam)

Theo số trung bình thì táo ở lô hàng A nặng hơn táo ở lô hàng B.

Bài 2: Cho mẫu số liệu về cân nặng (kg) của 45 học sinh lớp 11A được cho bởi bảng sau:

Tính tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu là n = 7 + 10 + 20 + 6 + 2 = 45

Gọi x1, x2, ….., x45 là cân nặng của 45 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó, trung vị là x23. Do giá trị x23 thuộc nhóm [50; 55) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó p = 3; a3 = 50, m3 = 20; m1 + m2 = 7 + 10 = 17; a4 – a3 = 55 – 50 = 5

Khi đó

$=50+\frac{\frac{45}{2}-17}{20}.5\approx 51,4$$=50+\frac{\frac{45}{2}-17}{20}.5\approx 51,4$ .

Vậy Me = 51,4.

Từ Me = 51,4, suy ra Q2 = 51,4.

- Tứ phân vị thứ nhất Q1 là trung vị của nửa dãy bên trái Q2 nên $Q_1=\frac{x_{11}+x_{12}}{2}$${�}_1=\frac{{�}_{11}+{�}_{12}}{2}$.

Do x11 và x12 đều thuộc nhóm [45; 50) nên nhóm này chứa Q1. Do đó, p = 2, a2 = 45, m2 = 10, m1 = 7; a3 – a2 = 5.

Ta có $Q_1=a_2+\frac{\frac{n}{4}-m_1}{m_2}.$${�}_1={�}_2+\frac{\frac{�}{4}-{�}_1}{{�}_2}.$(a3-a2) $=45+\frac{\frac{45}{4}-7}{10}.5\approx 47,1$$=45+\frac{\frac{45}{4}-7}{10}.5\approx 47,1$.

- Tứ phân vị thứ ba Q3 là trung vị của nửa dãy bên phải Q2 nên $Q_3=\frac{x_{34}+x_{35}}{2}$${�}_3=\frac{{�}_{34}+{�}_{35}}{2}$ .

Do x34 và x35 đều thuộc nhóm [50; 55) nên nhóm này chứa Q3. Do đó, p = 3, a3 = 50, m3 = 20, m1 + m2 = 7 + 10 = 17; a4 – a3 = 55 – 50 = 5.

Ta có  .

Vậy tứ phân vị: Q1 ≈ 47,1; Q2 ≈ 51,4; Q3 ≈ 54,2.

- Ta thấy tần số lớn nhất là 20 nên nhóm chứa mốt là nhóm [50; 55).

Ta có j = 3, a3 = 50, m3 = 20, m2 = 10, m4 = 6, h = 55 – 50 = 5

Khi đó

Vậy Mo ≈ 52,1.