Lý thuyết Hai đường thẳng song song (Kết nối tri thức 2024) Toán 11

A. Lý thuyết Hai đường thẳng song song

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng a, b trong không gian.

• Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a và b đồng phẳng. Khi đó, a và b có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.
• Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo nhau. Khi đó, ta cũng nói a chéo với b hoặc b chéo với a.

2. Tính chất của hai đường thẳng song song

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau.

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.

* Chú ý: Nếu hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song với nhau thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với 2 đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

VD: $\left(SAB\right)\cap \left(SBC\right)=Sm$

$<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">)</span></span><span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\cap </span></span><span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">(</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">)</span></span><span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">=</span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}$

B. Bài tập Hai đường thẳng song song

Bài 1: Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?

a) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.

b) Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

c) Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc trùng nhau.

Hướng dẫn giải

a) Sai. Hai đường thẳng không có điểm chung có thể là hai đường thẳng song song.

b) Đúng.

c) Đúng.

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. I và J lần lượt là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm giao tuyến của (GIJ) và (BCD)?

Hướng dẫn giải

Ta thấy: G ∈ (GIJ) ∩ (BCD)

Vì I, J là trung điểm của AD và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ADC. Suy ra IJ // CD.

Mà IJ ⸦ (GIJ), CD ⸦ (BCD)

Suy ra: giao tuyến của 2 mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là 1 đường thẳng d đi qua G và song song với CD.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì ba đường thẳng PQ, RS và AC hoặc song song hoặc đồng quy.

Hướng dẫn giải

$\Rightarrow$ P$\in$(ABC)

Mà P ∈ (PQRS) suy ra P ∈ (PQRS) ∩ (ABC)

Tương tự Q ∈ (PQRS) suy ra Q ∈ (PQRS) ∩ (ABC)

Suy ra: PQ = (PQRS) ∩ (ABC)

Chứng minh tương tự với RS, ta được RS = (PQRS) ∩ (ABC)

Ta có: AC = (ABC) ∩ (ACD)

Theo tính chất, suy ra ba đường thẳng PQ, RS và AC đôi một song song hoặc đồng quy.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng tứ giác PQCD là hình thang.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác SAB ta có PQ là đường trung bình suy ra PQ // AB.

Mà AB // CD (theo giả thiết) do đó PQ // CD.

Suy ra PQCD là hình thang.