Lý thuyết Hàm số lượng giác (Kết nối tri thức 2024) Toán 11
Tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 13: Hàm số lượng giác ngắn gọn, chính xác sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt Toán 11.
Nội dung bài viết
Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác
Bài giảng Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác
A. Lý thuyết Hàm số lượng giác
1. Định nghĩa hàm số lượng giác
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là .
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là .
- Hàm số cho bằng công thức được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là .
- Hàm số cho bằng công thức được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là .
2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn
a, Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.
+) Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu thì và . Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.
+) Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu thì và . Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
b, Hàm số tuần hoàn
Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T 0 sao cho với mọi ta có:
+) và
+)
Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.
* Nhận xét:
Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2.
Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì .
3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx
- Tập xác định là .
- Tập giá trị là [-1;1].
- Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2.
- Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .
- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.
4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx
Tập xác định là .
Tập giá trị là [-1;1].
Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2.
Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .
Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.
5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx
Tập xác định là .
Tập giá trị là .
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì .
Đồng biến trên mỗi khoảng , .
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx
Tập xác định là .
Tập giá trị là .
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì .
Đồng biến trên mỗi khoảng , .
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
B. Bài tập Hàm số lượng giác
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải
a) Biểu thức có nghĩa khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ (k ∈ ℤ).
Vậy tập xác định của hàm số là D = R\.
b) Biểu thức có nghĩa khi (1)
Mặt khác, vì –1 ≤ cosx ≤ 1 ∀x ∈ ℝ nên 1 + cosx ≥ 0 và 1 – cosx ≥ 0
⇒ khi 1 – cosx ≠ 0
Do đó (1) ⇔ 1 – cosx ≠ 0 ⇔ cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ k2ℼ (k ∈ ℤ).
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {k2ℼ | k ∈ ℤ}.
Bài 2. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a) f(x) = sinx cosx;
b) g(x) = sin2x + cos2x.
Hướng dẫn giải
a) Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ.
Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.
Ta có f(–x) = sin(–x) cos(–x) = –sinx . cosx = – f(x).
Vậy hàm số f(x) = sinx cosx là hàm số lẻ.
b) Tập xác định của hàm số g(x) là D = ℝ.
Do đó, nếu x ∈ D thì –x ∈ D.
Ta có g(–x) = sin2(–x) + cos2(–x) = [–sinx]2 + cos(–2x) = sin2x + cos2x = f(x).
Vậy hàm số g(x) = sin2x + cos2x là hàm số chẵn.
Bài 3. Tìm tập giá trị của hàm số sau:
a) y = 1+ ;
b) y = 3cos - 1.
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định của hàm số là sin x ≥ 0;
Vì –1 ≤ sin x ≤ 1 nên kết hợp với điều kiện xác định, ta có 0 ≤ sin x ≤ 1
Suy ra ⇒ 1+0 1 + 1 + 1 ⇒ 11+2
⇒ 1 ≤ y ≤ 2
Vậy tập giá trị của hàm số y=1+ là [1; 2].
b) Ta có 1, xR ⇔ -33cos 3, xR
⇔ -43cos - 12, xR
⇔ –4 ≤ y ≤ 2, ∀x ∈ ℝ.
Vậy tập giá trị của hàm số y = 3cos - 1 là [–4; 2].