Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Kết nối tri thức 2024) Toán 11
Tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số ngắn gọn, chính xác sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt Toán 11.
Lý thuyết Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số - Kết nối tri thức
Bài giảng Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số
A. Lý thuyết Giới hạn của dãy số
1. Giới hạn hữu hạn của dãy số
Ta nói dãy số có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu hay khi .
Ta nói dãy số có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu , kí hiệu hay khi .
* Chú ý: Nếu (c là hằng số) thì
2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số
a, Nếu thì
b, Nếu thì với mọi n và thì và .
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
4. Giới hạn vô cực của dãy số
Dãy số được gọi là có giới hạn khi nếu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu hay khi .
Dãy số được gọi là có giới hạn khi nếu , kí hiệu hay khi .
*Quy tắc:
Nếu và (hoặc) thì .
Nếu và thì .
Nếu và thì .
B. Bài tập Giới hạn của dãy số
Bài 1: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
⇒
Suy ra: q = .
Ta tìm được: u1 = 14.
Bài 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 3; – 1;
Hướng dẫn giải
un là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = .
Tổng của cấp số nhân này là: S = = .
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
a) (2n3-3n+2);
b) ;
c)
Hướng dẫn giải
a)(2n3-3n+2) = = +
Vì và = 2.
b) = 2.
c)
Bài 4: Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với và . Tìm giới hạn của: .
Hướng dẫn giải
Ta có: , do đó (vn . un) = 5.5 = 25.
(vn - un) = 5-3 = 2.
Vậy = .