Lý thuyết Giới hạn của dãy số (Kết nối tri thức 2024) Toán 11

Tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số ngắn gọn, chính xác sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt Toán 11.

1 124 lượt xem


Lý thuyết Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

A. Lý thuyết Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số (un) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limn+un=0 hay un0 khi n+.

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu limn+(una)=0, kí hiệu limn+un=a hay una khi n+.

* Chú ý: Nếu un=c (c là hằng số) thì limn+un=c

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a, Nếu limn+un=a,limn+vn=b thì

limn+(un±vn)=a±b

limn+(un.vn)=a.b

limn+(unvn)=ab(b0)

b, Nếu un0 thì với mọi n và limn+un=a thì a0 và limn+un=a.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S=u11q(|q|<1)

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Dãy số (un) được gọi là có giới hạn +khi n+nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu limx+un=+ hay un+ khi n+.

 

Dãy số (un) được gọi là có giới hạn  khi n+ nếu limx+(un)=+, kí hiệu limx+un= hay un khi n+.

*Quy tắc:

Nếu limx+un=a và limx+vn=+(hoặclimx+vn=) thì limn+(unvn)=0.

Nếu limx+un=a>0 và limx+vn=0,n thì limn+(unvn)=+.

Nếu limx+vn=a>0 và limx+un=+ thì limn+(un.vn)=+.

Giới hạn của dãy số (ảnh 1)

B. Bài tập Giới hạn của dãy số

Bài 1: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng các số hạng bằng 56, tổng bình phương các số hạng bằng 448. Số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

 

 

 

u1211q2=448

⇒ Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

Suy ra: q = 34.

Ta tìm được: u1 = 14.

Bài 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 3; – 1;Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

Hướng dẫn giải

un là cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu u1 = 3 và công bội q = 13.

Tổng của cấp số nhân này là: S = 11 = 31+13=94.

Bài 3: Tìm các giới hạn sau:

a) lim+(2n3-3n+2);

b) lim+2+12;

c) Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

Hướng dẫn giải

a)lim+(2n3-3n+2) = lim+Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số = +

Vì lim+3=+ và Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số = 2.

b) lim+2+12=lim+2+112= 2.

c) Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 15: Giới hạn của dãy số

=lim+4+3+1296+12=49

Bài 4: Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với lim+=3 và lim+=5. Tìm giới hạn của: lim+2.

Hướng dẫn giải

Ta có: lim+=5, do đó lim+2=lim+(vn . un) = 5.5 = 25.

lim+(vn - un) = 5-3 = 2.

Vậy lim+2 = 252.

 

 

 

1 124 lượt xem