Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian (Kết nối tri thức 2024) Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 11 Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

A. Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

1. Khái niệm mở đầu

Hình ảnh về mặt phẳng

- Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng 1 hình bình hành như hình vẽ:

- Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc ( ).

VD: Mặt phẳng (P), mặt phẳng ($\alpha$).

- Điểm A thuộc mặt phẳng (P), ta kí hiệu $A\in (P)$, điểm B không thuộc mặt phẳng (P) ta kí hiệu $B\notin (P)$.Nếu $A\in (P)$ta còn nói A nằm trên (P) hoặc (P) chứa A hoặc (P) đi qua A.

*Quy tắc biểu diễn hình:

- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là 2 đường thẳng song song, của 2 đường thẳng cắt nhau là 2 đường thẳng cắt nhau.

- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.

- Dùng nét liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.

2. Các tính chất thừa nhận

- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

- Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

- Nếu có một đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

- Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Kí hiệu $d\subset (P)$ hoặc .

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là một đường thẳng đi qua điểm chung đó. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến, kí hiệu .

- Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết trong hìn$d=(P)\cap (Q)$h học phẳng đều đúng.

3. Xác định một mặt phẳng

Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết nó đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó đi qua một điểm và chứa 1 đường thẳng không đi qua điểm đó.

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

4. Hình chóp và hình tứ diện

Cho đa giác lồi $A_1{A}_2...A_n$ và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác đó. Nối S với các đỉnh $A_1,A_2,...,A_n$để được n tam giác $S{A}_1{A}_2,S{A}_2{A}_3,...,S{A}_n{A}_1$. Hình gồm n tam giác $S{A}_1{A}_2,S{A}_2{A}_3,...,S{A}_n{A}_1$và đa giác $A_1{A}_2...A_n$được gọi là hình chóp và kí hiệu là $S.A_1{A}_2...A_n$.

Trong hình chóp $S.A_1{A}_2...A_n$điểm S được gọi là đỉnh và đa giác$A_1{A}_2...A_n$ được gọi là mặt đáy, các tam giác $S{A}_1{A}_2,S{A}_2{A}_3,...,S{A}_n{A}_1$được gọi là các mặt bên; các cạnh $S{A}_1,S{A}_2,...,S{A}_n$được gọi là cạnh bên; các cạnh$A_1{A}_2,A_2{A}_3...,A_n{A}_1$ được gọi là các cạnh đáy.

VD: Hình chóp tứ giác S.ABCD

Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm 4 tam giác ABC, ABD, ACD và BCD được gọi là hình tứ diện, kí hiệu là ABCD.

Trong đó, các điểm A, B, C, D được gọi các đỉnh của tứ diện, các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, BD,AC được gọi là cạnh của tứ diện; các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD gọi là mặt của tứ diện.

Hai cạnh không có đỉnh chung được gọi là hai cạnh đối diện, đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.

B. Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đáy S.ABCD với ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng:

a) SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).

b) MO là giao tuyến của (SAC) và (MBD).

Hướng dẫn giải

a)

Ta có  $\Rightarrow$ S$\in$(SAC) $\cap$(SBD) (1)

Vì O = AC ∩ BD nên  $\Rightarrow$ O$\in$(SAC) $\cap$(SBD) (2).

Từ (1) và (2) suy ra : SO = (SAC) ∩ (SBD).

b) Vì M ∈ SA nên M ∈ (SAC) nên M là điểm chung giữa hai mặt phẳng (SAC) và (MBD)

Vì O = AC $\cap$ BD nên $\Rightarrow$ O$\in$(SAC) $\cap$(MBD)

Suy ra: MO = (SAC) ∩ (MBD).

Bài 2: Cho các mệnh đề dưới đây, các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích

a) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (α) thì a nằm trong (α).

b) Nếu a và b đều cùng nằm trong (α) thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong (α).

c) Hình tứ diện là hình chóp tứ giác.

Hướng dẫn giải

a) Đúng. Vì theo tính chất thừa nhận.

b) Đúng. Vì giả sử giao điểm của a và b là M, vì M thuộc a và a nằm trong (α) nên M thuộc (α).

c) Sai. Vì hình tứ diện là hình chóp tam giác.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho MN cắt BC. Gọi I là điểm nằm bên trong tam giác BCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNI) và (BCD).

Hướng dẫn giải

Gọi E là giao điểm của MN và BC.

Ta có:

$\Rightarrow$$<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:16px;"><span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:14px;"><span\; style="line-height:2;"><span\; style="line-height:1.8;"><span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\Rightarrow </span></span></span></span></span></span></span></span>$ I$\in$$<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:16px;"><span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:14px;"><span\; style="line-height:2;"><span\; style="line-height:1.8;"><span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\in </span></span></span></span></span></span></span></span>$ (IMN)$\cap$$<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:16px;"><span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:14px;"><span\; style="line-height:2;"><span\; style="line-height:1.8;"><span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\cap </span></span></span></span></span></span></span></span>$(BCD) (1)

Vì E là giao điểm của MN và BC nên:

$\Rightarrow$$<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:16px;"><span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:14px;"><span\; style="line-height:2;"><span\; style="line-height:1.8;"><span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\Rightarrow </span></span></span></span></span></span></span></span>$E$\in$$<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:16px;"><span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:14px;"><span\; style="line-height:2;"><span\; style="line-height:1.8;"><span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\in </span></span></span></span></span></span></span></span>$(IMN)$\cap$$<span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:16px;"><span\; style="font-size:18px;"><span\; style="font-size:14px;"><span\; style="line-height:2;"><span\; style="line-height:1.8;"><span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\cap </span></span></span></span></span></span></span></span>$(BCD) (2).

Từ (1) và (2) suy ra : IE = (MNI) ∩ (BCD).