Lý thuyết Hàm số liên tục (Kết nối tri thức 2024) Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục

A. Lý thuyết Hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

Cho hàm $y=f(x)$ xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$chứa điểm $x_0$. Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ nếu $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$.

Hàm số không liên tục tại $x_0$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$nếu nó liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ và $\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$.

*Nhận xét:

- Hàm số đa thức và hàm số $y=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x},y=c\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

- Các hàm số $y=\tan \mathrm{x},y=c\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x},y=\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

3. Một số tính chất cơ bản

Giả sử hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$. Khi đó:

a, Các hàm số $y=f(x)\pm g(x)$ và $y=f(x).g(x)$ liên tục tại điểm $x_0$.

b, Hàm số $y=\frac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại điểm $x_0$nếu $g(x_0)\ne 0$.

B. Bài tập Hàm số liên tục

Bài 1: 

Cho hàm số f(x) = . Tìm giá trị của m để f(x) liên tục trên [0; +∞).

Hướng dẫn giải

+) Với x ∈ (0; 9): f(x) = $\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}$ liên tục trên (0; 9).

+) Với x ∈ [9; +∞) thì f(x) = $\frac{3}{x}$ liên tục trên [9; +∞).

+) Tại x = 0 ta có f(0) = m

Vậy để hàm số liên tục trên [0; +∞) khi nó phải liên tục tại x = 0.

Suy ra: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x) = m$\Rightarrow$m = $\frac{1}{6}$.

Vậy m = $\frac{1}{6}$ thì f(x) liên tục trên [0; +∞).

Bài 2: Cho hàm số f(x) = . Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: f(0) = 0

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$$\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\to </span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">0</span></span>}}^{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">+</span></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">lim</span></span>}}$f(x) = $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$$\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\to </span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">0</span></span>}}^{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">+</span></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">lim</span></span>}}$(x2+1) = 1

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$$\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\to </span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">0</span></span>}}^{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">-</span></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">lim</span></span>}}$f(x) = $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$$\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\to </span></span>{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">0</span></span>}}^{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">-</span></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">lim</span></span>}}$x = 0

Vậy f(x) gián đoạn tại x = 0.

Bài 3: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 3 và $\underset{x\to 1}{\lim }$$\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\to </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">1</span></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">lim</span></span>}}$[2f(x)-g(x)] = 4. Tính g(1).

Hướng dẫn giải

Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1.

Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1.

Suy ra: $\underset{x\to 1}{\lim }$$\underset{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\to </span></span>\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">1</span></span>}}{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">lim</span></span>}}$[2f(x)-g(x)] = 2f(1) – g(1) = 4

Mà f(1) = 3 nên ta có: 2 . 3 – g(1) = 4, suy ra g(1) = 2.

Vậy g(1) = 2.