Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song (Kết nối tri thức 2024) Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 11 Bài 12: Đường thẳng và mặt phẳng song song

A. Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$. Nếu d và $\left(\alpha \right)$ không có điểm chung thì ta nói d song song với $\left(\alpha \right)$ hay $\left(\alpha \right)$song song với d. Kí hiệu là $d//\left(\alpha \right)$hay $\left(\alpha \right)//d$.

*Nhận xét:

Nếu d và $\left(\alpha \right)$ có một điểm chung duy nhất thì ta nói d và $\left(\alpha \right)$ cắt nhau tại M. Kí hiệu $d\cap \left(\alpha \right)=M$hay $d\cap \left(\alpha \right)=\left\{M\right\}$.

Nếu d và $\left(\alpha \right)$ có nhiều hơn 1 điểm chung thì ta nói d nằm trong $\left(\alpha \right)$ hay $\left(\alpha \right)$ chứa d. Kí hiệu $d\subset \left(\alpha \right)$hay $\left(\alpha \right)\supset d$.

2. Điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng

Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nằm trong (P) thì ta nói $a//\left(P\right)$.

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b//a.

B. Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của hai cạnh BC, CD. Chứng minh rằng BD // (APQ).

Hướng dẫn giải

Ta có: P, Q lần lượt là trung điểm của BC và CD nên PQ là đường trung bình của tam giác BCD. Suy ra PQ // BD.

Ta có:  nên BD // (APQ).

Bài 2: Cho hai tam giác MNP và MNQ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh MN, MQ.

a) Đường thẳng ME có song song với mặt phẳng (NPQ) không?

b) Đường thẳng EF có song song với mặt phẳng (NPQ) không?

Hướng dẫn giải

a) ME cắt (NPQ) tại N nên ME không song song với (NPQ).

b) Ta thấy: EF là đường trung bình của tam giác MNQ nên EF // NQ.

Ta có:  nên EF // (NPQ).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.

a) Chứng minh MN // (SBC), MN // (SAD).

b) Gọi P là trung điểm cạnh SA. Chứng minh SB và SC đều song song với (MNP).

Hướng dẫn giải

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD (hình bình hành cũng là hình thang).

Suy ra MN // BC và MN // AD.

Ta có:

, suy ra MN // (SBC)

, suy ra MN // (SAD)

b) Ta có : P là điểm chung của (MNP) và (SAD).

Mà MN // AD

Do đó giao tuyến của (MNP) và (SAD) là đường thẳng qua P song song với AD và MN và đường thẳng này cắt SD tại Q.

Suy ra: PQ = (MNP) ∩ (SAD)

Xét $∆$SAD, ta có: PQ // AD

Mà P là trung điểm SA

Suy ra: Q là trung điểm SD.

Khi đó, QN là đường trung bình của $∆$SCD.

Suy ra QN // SC.

Ta có :  nên SC // (MNP).

Lại có M và P lần lượt là trung điểm của AB và SA nên MP là đường trung bình của tam giác SAB, suy ra MP // SB.

Ta có:  nên SB // (MNP).