Lý thuyết Hai mặt phẳng song song (Kết nối tri thức 2024) Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 13: Hai mặt phẳng song song - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 11 Bài 13: Hai mặt phẳng song song

A. Lý thuyết Hai mặt phẳng song song

1. Hai mặt phẳng song song

Hai mặt $\left(\alpha \right)$ và $\left(\beta \right)$ được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Kí hiệu $\left(\alpha \right)$// $\left(\beta \right)$ hay $\left(\beta \right)$//$\left(\alpha \right)$.

*Nhận xét: $\{\begin{array}{l}\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)\\ d\subset \left(\alpha \right)\end{array}\Rightarrow d//\left(\beta \right)$.

2. Điều kiện và tính chất của hai mặt phẳng song song

Nếu mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng phẳng $\left(\beta \right)$thì $\left(\alpha \right)$và $\left(\beta \right)$song song với nhau.

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

3. Định lí Thalès trong không gian

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

$\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}}^{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\prime </span></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}}^{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\prime </span></span>}}<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">=</span></span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}}^{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\prime </span></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}}^{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\prime </span></span>}}<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">=</span></span>\frac{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}}{{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}}^{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\prime </span></span>}{\mathrm{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">�</span></span>}}^{<span\; style="font-size:10px;"><span\; style="line-height:2;">\prime </span></span>}}$

4. Hình lăng trụ và hình hộp

Cho hai mặt phẳng song song $\left(\alpha \right)$ và $\left({\alpha }^{\prime }\right)$. Trên $\left(\alpha \right)$ cho đa thức đa giác lồi $A_1{A}_2...A_n$. Qua các đỉnh$A_1,A_2,...,A_n$vẽ các đường thẳng đôi một song song và cắt mặt phẳng $\left({\alpha }^{\prime }\right)$tại ${A_1}^{\prime },{A_2}^{\prime },...,{A_n}^{\prime }$. Hình gồm hai đa giác$A_1{A}_2...A_n$, ${A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime }...{A_n}^{\prime }$ và các tứ giác $A_1{A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime }{A}_2$,$A_2{A_2}^{\prime }{A_3}^{\prime }{A}_3$,…,$A_n{A_n}^{\prime }{A_1}^{\prime }{A}_1$được gọi là hình lăng trụ và kí hiệu là $A_1{A}_2...A_n.{A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime }...{A_n}^{\prime }$.

Các điểm $A_1,A_2,...,A_n$ và ${A_1}^{\prime },{A_2}^{\prime },...,{A_n}^{\prime }$được gọi là các đỉnh, các đoạn thẳng $A_1{A_1}^{\prime },A_2{A_2}^{\prime },...,A_n{A_n}^{\prime }$được gọi là các cạnh bên, các đoạn thẳng $A_1{A}_2,A_2{A}_3,...,A_n{A}_1$và ${A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime },{A_2}^{\prime }{A_3}^{\prime },...,{A_n}^{\prime }{A_1}^{\prime }$ gọi là cạnh đáy của hình trụ.

Hai đa giác $A_1{A}_2...A_n$và ${A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime }...{A_n}^{\prime }$được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.

Các tứ giác $A_1{A_1}^{\prime }{A_2}^{\prime }{A}_2$,$A_2{A_2}^{\prime }{A_3}^{\prime }{A}_3$,…,$A_n{A_n}^{\prime }{A_1}^{\prime }{A}_1$ gọi là các mặt bên của hình trụ.

Hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có hai đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

B. Bài tập Hai mặt phẳng song song

Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy các điểm A1, A2 sao cho AA1 = A1A2 = A2B. Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (BCD) và lần lượt đi qua A1, A2. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh AC, AD lần lượt tại C1, D1. Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh AC, AD lần lượt tại D1, D2. Chứng minh AC1 = C1C2 = C2C và AD1 = D1D2 = D2D.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (BCD), (P), (Q) và hai cát tuyến AB, AC ta có: $\frac{A{C}_1}{A{A}_1}=\frac{C_1{C}_2}{A_1{A}_2}=\frac{C_{2}C}{A_{2}B}$ mà AA1 = A1A2 = A2B.

Suy ra: AC1 = C1C2 = C2C.

Chứng minh tương tự: Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (BCD), (P), (Q) và hai cát tuyến AB, AD ta có: $\frac{A{D}_1}{A{A}_1}=\frac{D_1{D}_2}{A_1{A}_2}=\frac{D_{2}D}{A_{2}B}$ mà AA1 = A1A2 = A2B

Suy ra: AD1 = D1D2 = D2D.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của AC và BD. Trung điểm của SA, SD lần lượt là M, N. Chứng minh rằng: (OMN) // (SBC).

Hướng dẫn giải

Ta có: Trong tam giác SAC, MO là đường trung bình. Suy ra MO // AC

 nên MO // (SBC).

SD, BD có N và O lần lượt là trung điểm nên NO là đường trung bình của tam giác SBD. Suy ra NO // SB.

Do đó, NO // (SBC).

Ta có:

 suy ra (OMN) // (SBC).

Bài 3: Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (α), (β), (γ). Những mệnh đề nào sau đây đúng?

a) Nếu (α) chứa một đường thẳng song song với (β) thì (α) // (β).

b) Nếu (α) và (β) cắt (γ) thì (α) và (β) song song với nhau.

c) Nếu (α) và (β) song song với (γ) thì (α) song song với (β).

Hướng dẫn giải

a) Sai. Vì để (α) // (β) thì (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song (β).

b) Sai. Vì (α) và (β) cắt (γ) thì (α) và (β) có thể cắt nhau.

c) Đúng. Vì (α) và (β) là hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba là mặt phẳng (γ) thì (α) và (β) song song với nhau.

Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là trung điểm của A'B'. Mặt phẳng (IBD) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?

Hướng dẫn giải

Ta có:

Suy ra giao tuyến của (IBD) với (A'B'C'D') là đường thẳng d đi qua I và song song với BD.

- Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), gọi M là giao điểm của d và A'D'.

Suy ra, IM // BD // B'D'.

Khi đó thiết diện là tứ giác IMDB và tứ giác này là hình thang.