Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản (Kết nối tri thức 2024) Toán 11
Tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản ngắn gọn, chính xác sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt Toán 11.
Nội dung bài viết
Xem thêm »
Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản - Kết nối tri thức
Bài giảng Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản
A. Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản
1. Khái niệm phương trình tương đương
Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.
Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết f(x)=0⇔g(x)=0f(x)=0⇔g(x)=0
*Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là hai phương trình tương đương.
2. Phương trình sinx=msinx=m
Phương trình sinx=m có nghiệm khi và chỉ khi |m|≤1|m|≤1.
Khi |m|≤1|m|≤1sẽ tồn tại duy nhất α∈[−π2;π2]α∈[−π2;π2] thoả mãn sinα=msinα=m. Khi đó:
sinx=m⇔sinx=sinαsinx=m⇔sinx=sinα ⇔[x=α+k2πx=π−α+k2π(k∈Z)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc αđược cho bằng đơn vị độ thì sinx=sinαo⇔[x=αo+k360ox=180o−αo+k360o(k∈Z)
b, Một số trường hợp đặc biệt
sinx=0⇔x=kπ,k∈Z.sinx=1⇔x=π2+k2π,k∈Z.sinx=−1⇔x=−π2+k2π,k∈Z.
3. Phương trình cosx=m
Phương trình cosx=mcó nghiệm khi và chỉ khi |m|≤1.
Khi |m|≤1sẽ tồn tại duy nhất α∈[0;π] thoả mãn cosα=m. Khi đó:
cosx=m⇔cosx=cosα ⇔[x=α+k2πx=−α+k2π(k∈Z)
* Chú ý:
a, Nếu số đo của góc αđược cho bằng đơn vị độ thì cosx=cosαo⇔[x=αo+k360ox=−αo+k360o(k∈Z)
b, Một số trường hợp đặc biệt
cosx=0⇔x=π2+kπ,k∈Z.cosx=1⇔x=k2π,k∈Z.cosx=−1⇔x=π+k2π,k∈Z.
4. Phương trình tanx=m
Phương trình tanx=mcó nghiệm với mọi m.
Với mọi m∈R, tồn tại duy nhất α∈(−π2;π2) thoả mãn tanα=m. Khi đó:
tanx=m⇔tanx=tanα⇔x=α+kπ,k∈Z.
*Chú ý: Nếu số đo của góc αđược cho bằng đơn vị độ thì
tanx=tanαo⇔x=αo+k180o,k∈Z.
5. Phương trình cotx=m
Phương trình cotx=mcó nghiệm với mọi m.
Với mọi m∈R, tồn tại duy nhất α∈(0;π) thoả mãn cotα=m. Khi đó:
cotx=m⇔cotx=cotα⇔x=α+kπ,k∈Z.
*Chú ý: Nếu số đo của góc αđược cho bằng đơn vị độ thì
cotx=cotαo⇔x=αo+k180o,k∈Z.
6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm góc khi biết giá trị lượng giác của nó
Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).
Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT →MODE →3 (CASIO FX 570VN).
Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT →MODE →4 (CASIO FX 570VN).
Bước 2. Tìm số đo góc.
Khi biết SIN, COS, TANG của góc αta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc α
B. Bài tập Phương trình lượng giác cơ bản
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) sin x = −√32 ;
b) cot (2x – 3) = cotπ7 .
Hướng dẫn giải
a) sin x = −√32
⇔ sinx = sin
b) cot (2x – 3) = cotπ7
⇔ 2x – 3 = π7+kπ
⇔ x = π+2114+kπ2 (k ∈ ℤ).
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a) sin x + cos 2x = 0;
b) cos2x = – cos 5x.
Hướng dẫn giải
a) Ta có sin x + cos 2x = 0
⇔ sin x + 1 – 2sin2 x = 0
⇔ – 2sin2 x + sin x + 1 = 0
⇔ 
+ Với sin x = 1 ta có: sinx = 1 ⇔ x=π2+k2π,(k∈ℤ).
+ Với sin x = −12 , ta có: sin x = −12 
Vậy x=−π6+k2π,x=7π6+k2π,x=π2+k2π,(k∈ℤ).
b) Ta có cos2x = – cos 5x ⇔ cos2x = cos(π−5x)
