Lý thuyết Cấp số cộng (Kết nối tri thức 2024) Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 6: Cấp số cộng - Kết nối tri thức

Bài giảng Toán 11 Bài 6: Cấp số cộng

A. Lý thuyết Cấp số cộng

B. Bài tập Cấp số cộng

Bài 1: Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 1 và công sai bằng 4. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 561?

Hướng dẫn giải

Gọi n là số các số hạng đầu cần lấy tổng, ta có:

561 = Sn =$\frac{n}{2}$[2.1+(n-1).4] = $\frac{n}{2}$(-2+4n) = –n + 2n2

Do đó 2n2 – n – 561 = 0.

Giải phương trình bậc hai này ta được n = –16,5 (loại) hoặc n = 17.

Vậy ta phải lấy 17 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho để có tổng bằng 561.

Bài 2: Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 22 và số hạng thứ 12 bằng 43. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này.

Hướng dẫn giải

Giả sử u1 là số hạng đầu và d là công sai của cấp số cộng đó. Ta có:

u5 = u1 + 4d = 22

u12 = u1 + 11d = 43

Giải hệ phương trình gồm hai phương trình trên ta được u1 = 10 và d = 3.

Vậy số hạng thứ 50 của cấp số cộng này là u50 = u1­ + 49d = 10 + 49 . 3 = 157.

Bài 3: Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau:

a) 3, 8, 13, 18, ...;

b) 1, –2, –5, –8, ...

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy: 8 – 3 = 5; 13 – 8 = 5

Suy ra cấp số cộng có u1 = 3, công sai d = 5

Số hạng tổng quát của dãy số là: un = 3 + 5(n – 1) = 3 + 5n – 5 = 5n – 2.

Số hạng thứ 5: u5 = 3 + 5 . (5 – 1) = 23

Số hạng thứ 100: u100 = 3 + 5 . (100 – 1) = 498.

b) Ta thấy: –2 – 1= –3; –5 – (–2) = –3

Suy ra cấp số cộng có u1 = 1, công sai d = –3

Số hạng tổng quát của dãy số là: un = 1 – 3(n − 1) = 1 – 3n + 3 = 4 – 3n.

Số hạng thứ 5: u5 = 1 − 3. (5 – 1) = −11

Số hạng thứ 100: u100 = 1 – 3. (100 – 1) = −296.

Bài 4: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (un) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng un = u1 + (n – 1)d.

a) un = 3 + 4n;

b) un = 6n − 4;

c) u1 = 3, un = un–1 + n.

Hướng dẫn giải

a) u1 = 7; u2 = 11; u3 = 15; u4 = 19; u5 = 23

Ta có: un − un–1 = 3 + 4n − [3 + 4(n − 1)] = 4, với ∀n ≥ 2.

Suy ra dãy số là cấp số cộng có u1 = 7 và công sai d = 4

Số hạng tổng quát: un = 7 + 4(n − 1).

b) u1 = 2; u2 = 8; u3 = 14; u4 = 20; u5 = 26

Ta có: un − un–1 = 6n − 4 − [6(n − 1) − 4] = 6, với ∀ n ≥ 2.

Suy ra dãy số là cấp số cộng có u1 = 2 và công sai d = 6.

Số hạng tổng quát: un = 2 + 6(n − 1).

c) u1 = 3; u2 = 5; u3 = 8; u4 = 12; u5 =17

Ta có: u2 − u1 = 2 ≠ u3 – u2 = 3

Suy ra đây không phải cấp số cộng.

Bài 5: Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,5 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 15 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố vào năm 2030.

Hướng dẫn giải

Dân số mỗi năm của thành phố lập thành cấp số cộng có u1 = 1 500 (nghìn người), công sai d = 15.

Dân số mỗi năm có dạng tổng quát là: un = 1 500 + 15(n − 1).

Dân số của năm 2030 tức n = 11 thì u11 = 1 500 + 15 . (11 − 1) = 1 650 (nghìn người)

Vậy ước tính dân số của thành phố năm 2030 là 1650 nghìn người hay 1,65 triệu người.