Lý thuyết Giới hạn của hàm số (Kết nối tri thức 2024) Toán 11
Tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số ngắn gọn, chính xác sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt Toán 11.
Lý thuyết Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số - Kết nối tri thức
Giải Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số
A. Lý thuyết Giới hạn của hàm số
1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm và hàm số xác định trên khoảng (a;b), có thể trừ điểm . Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi dần tới nếu với dãy số bất kì, , và , ta có, kí hiệu hay , khi .
*Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm
a, Nếu và thì
b, Nếu với mọi và thì và .
2. Giới hạn một bên
Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói số L là giới hạn bên phải của khi nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và ta có , kí hiệu .
Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói số L là giới hạn bên trái của khi nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và ta có , kí hiệu .
3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi nếu với dãy số bất kì và ta có , kí hiệu hay khi .
Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn là số L khi nếu với dãy số bất kì và ta có , kí hiệu hay khi .
* Nhận xét:
Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
Với c là hằng số, , .
Với k là một số nguyên dương, ta có: .
4. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
a, Giới hạn vô cực
- Giả sử (a;b) là một khoảng chứa và hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn là khi dần tới nếu với dãy số bất kì, và , ta có, kí hiệu
Ta nói hàm số có giới hạn khi , kí hiệu , nếu .
- Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn khi về bên phải nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và ta có , kí hiệu .
Cho hàm số xác định trên khoảng . Ta nói hàm số có giới hạn khi về bên trái nếu với dãy số bất kì thỏa mãn và ta có , kí hiệu .
Các giới hạn một bên, được định nghĩa tương tự.
b, Một số quy tắc tính giới hạn vô cực
*Giới hạn của tích
*Giới hạn của thương
B. Bài tập Giới hạn của hàm số
Bài 1: Tìm các giới hạn một bên:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải
a) Ta có: (x-1) = 0 và x – 1 > 0 với mọi x > 1
(x-3) = 1-3 = -2 <0
Do đó: = – ∞.
b) Ta có: (4-x) = 0 và 4 – x > 0 với mọi x < 4
(x2-2x+3) = 42-8+3 = 11 > 0
Do đó: = +∞.
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a) (x3-2x);
b) (x3-3x);
c) .
Hướng dẫn giải
a)
b)
c) Ta có: (x-1) = 0 và x – 1 < 0 với mọi x < 1.
(2x - 4) = 2.1 - 4 = -2<0.
Do đó,
Bài 3: Cho hàm số f(x) = và g(x) = x + 3. Khẳng định nào sau đây là sai?
a) f(x) = g(x).
b) .
Hướng dẫn giải
a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x ≠ 1.
Ta có: f(x) = = 2(x+1) = 2x+2 với mọi x ≠ 1.
Biểu thức g(x) có nghĩa với mọi x.
Do đó f(x) ≠ g(x). Suy ra khẳng định a) là khẳng định sai.
b) f(x) = (2x+2) = 4
g(x) = (x+3) = 4
Vậy f(x) = g(x), do đó khẳng định b) là khẳng định đúng.
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
a) ;
b) .
Hướng dẫn giải
a)
b) Vì (x – 1) → 0 hay khi x → 1, nên ta chưa thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.
Nhưng với x ≠ 1, ta có:
==(x+2) = 3.