Lý thuyết Giới hạn của hàm số (Kết nối tri thức 2024) Toán 11

Tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số ngắn gọn, chính xác sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt Toán 11.

1 117 lượt xem


Lý thuyết Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

A. Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm x0và hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;b), có thể trừ điểm x0. Ta nói hàm số f(x)có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn)bất kì, xn(a;b),xnx0 và xnx0, ta cóf(xn)L, kí hiệu limxx0f(x)=Lhay f(x)L, khi xnx0.

*Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

a, Nếu limxx0f(x)=Lvà limxx0g(x)=Mthì

limxx0[f(x)±g(x)]=L±M

limxx0[f(x).g(x)]=L.M

limxx0[f(x)g(x)]=LM(M0)

b, Nếu f(x)0với mọi x(a;b){x0} và limxx0f(x)=L thì L0và limxx0f(x)=L.

2. Giới hạn một bên

Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (x0;b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x)khi xx0 nếu với dãy số (xn)bất kì thỏa mãn x0<xn<b và xnx0ta có f(xn)L, kí hiệu limxx0+f(x)=L.

Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;x0). Ta nói số L là giới hạn bên trái của khi xx0 nếu với dãy số (xn)bất kì thỏa mãn a<xn<x0 và xnx0ta có f(xn)L, kí hiệu limxx0f(x)=L.

3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;+). Ta nói hàm số f(x)có giới hạn là số L khi x+ nếu với dãy số (xn)bất kì xn>a và xn+ta có f(xn)L, kí hiệu limx+f(x)=L hay f(x)L khi x+.

Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (;b). Ta nói hàm số f(x)có giới hạn là số L khi x nếu với dãy số (xn)bất kì xn<b và xnta có f(xn)L, kí hiệu limxf(x)=L hay f(x)L khi x.

* Nhận xét:

Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

Với c là hằng số, limx+c=climxc=c.

Với k là một số nguyên dương, ta có: limx+(1xk)=0,limx(1xk)=0.

4. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

a, Giới hạn vô cực

- Giả sử (a;b) là một khoảng chứa x0và hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;b){x0}. Ta nói hàm số f(x)có giới hạn là +khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn)bất kì, (a;b){x0} và xnx0, ta cóf(xn)+, kí hiệu limxx0f(x)=+

Ta nói hàm số f(x)có giới hạn khi xx0, kí hiệu limxx0f(x)=, nếu limxx0[f(x)]=+.

- Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (x0;b). Ta nói hàm số f(x)có giới hạn + khi xx0 về bên phải nếu với dãy số (xn)bất kì thỏa mãn x0<xn<b và xnx0ta có f(xn)+, kí hiệu limxx0+f(x)=+.

Cho hàm số y=f(x)xác định trên khoảng (a;x0). Ta nói hàm số f(x)có giới hạn + khi xx0 về bên trái nếu với dãy số (xn)bất kì thỏa mãn a<xn<x0 và xnx0ta có f(xn)+, kí hiệu limxx0f(x)=+.

Các giới hạn một bênlimxx0+f(x)=limxx0f(x)= được định nghĩa tương tự.

b, Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

*Giới hạn của tíchlimxx0f(x).g(x)

 (ảnh 1)

*Giới hạn của thương f(x)g(x)()()

 (ảnh 2)

 

Lý thuyết Giới hạn của dãy số – Toán 11 Kết nối tri thức (ảnh 1)

 

B. Bài tập Giới hạn của hàm số

Bài 1: Tìm các giới hạn một bên:

a) limx1+x3x1;

b) limx4x22x+34x.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: limx1+(x-1) = 0 và x – 1 > 0 với mọi x > 1

limx1+(x-3) = 1-3 = -2 <0

Do đó: limx1+x3x1 = – ∞.

b) Ta có: limx4(4-x) = 0 và 4 – x > 0 với mọi x < 4

limx4(x2-2x+3) = 42-8+3 = 11 > 0

Do đó: limx4x22x+34x = +∞.

Bài 2: Tính các giới hạn sau:

a) lim+(x3-2x);

b) lim(x3-3x);

c) Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 16: Giới hạn của hàm số.

Hướng dẫn giải

a) Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 16: Giới hạn của hàm số

b) Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 16: Giới hạn của hàm số

c) Ta có: lim1(x-1) = 0 và x – 1 < 0 với mọi x < 1.

lim1(2x - 4) = 2.1 - 4 = -2<0.

Do đó, Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 16: Giới hạn của hàm số

Bài 3: Cho hàm số f(x) = 2221 và g(x) = x + 3. Khẳng định nào sau đây là sai?

a) f(x) = g(x).

b) lim1f(x)=lim1g(x).

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x ≠ 1.

Ta có: f(x) = Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 16: Giới hạn của hàm số = 2(x+1) = 2x+2 với mọi x ≠ 1.

Biểu thức g(x) có nghĩa với mọi x.

Do đó f(x) ≠ g(x). Suy ra khẳng định a) là khẳng định sai.

b) lim1f(x) = lim1(2x+2) = 4

lim1g(x) = lim1(x+3) = 4

Vậy lim1f(x) = lim1g(x), do đó khẳng định b) là khẳng định đúng.

Bài 4: Tính các giới hạn sau:

a) lim32+12;

b) lim12+21.

Hướng dẫn giải

a) Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 16: Giới hạn của hàm số

=33+123=53

b) Vì (x – 1) → 0 hay khi x → 1, nên ta chưa thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm.

Nhưng với x ≠ 1, ta có:

lim12+21=Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức Bài 16: Giới hạn của hàm số=lim1(x+2) = 3.

1 117 lượt xem