Lý thuyết Biểu thức đại số (Cánh diều 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Ôn tập chương 6

A. Lý thuyết

1. Biểu thức số

– Các số được nối với nhau bởi dấu các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa) tạo thành một biểu thức số. Đặc biệt, mỗi số cũng được coi là một biểu thức số.

– Trong biểu thức số có thể có các dấu ngoặc để chỉ thứ tự thực hiện các phép tính.

– Khi thực hiện các phép tính trong một biểu thức số, ta nhận được một số. Số đó được gọi là giá trị của biểu thức số đã cho.

Ví dụ: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) 2022 không phải là biểu thức số.

b) Biểu thức số phải có đầy đủ các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa.

Hướng dẫn giải

a) Sai. Vì một số cũng được coi là một biểu thức số nên 2022 là biểu thức số.

b) Sai. Vì trong biểu thức số không nhất thiết phải có đầy đủ các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa.

Chẳng hạn: 22 + 1 chỉ có phép nâng lên luỹ thừa và phép cộng cũng là một biểu thức số.

Ví dụ: Viết biểu thức số biểu thị:

a) Chu vi hình chữ nhật có chiều dài là 30 cm, chiều rộng là 20 cm.

b) Diện tích của hình tròn có bán kính 40 cm.

Hướng dẫn giải:

a) Biểu thức biểu thị chu vi hình chữ nhật có chiều dài 30 cm, chiều rộng 20 cm là:

2(30 + 20) (cm).

b) Biểu thức biểu thị diện tích hình tròn có bán kính 40 cm là: p. 402 (cm2).

Ví dụ: Một trường THCS cử một đoàn giáo viên tham gia tập huấn gồm: 1 trưởng đoàn, mỗi khối 6, 7, 8, 9 đều có 2 giáo viên toán, 1 giáo viên văn. Biểu thức số nào dưới đây biểu thị tổng số thành viên của đoàn?

a) 1 + 4. 2 + 1 (thành viên);

b) 1 + 4. (2 + 1) (thành viên).

Hướng dẫn giải

Biểu thức biểu thị số thành viên của mỗi khối là: 2 + 1 (thành viên).

Biểu thức biểu thị số thành viên của 4 khối là: 4. (2 + 1) (thành viên).

Biểu thức biểu thị tổng số thành viên của đoàn là: 1 + 4. (2 + 1) (thành viên).

2. Biểu thức đại số

– Biểu thức gồm các số và các biến số (đại diện cho số) được nối với nhau bởi các kí hiệu phép toán cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa được gọi là biểu thức đại số.

– Biểu thức số cũng là biểu thức đại số.

– Trong biểu thức đại số có thể có các dấu ngoặc để chỉ thứ tự thực hiện các phép tính.

– Chú ý: Để cho gọn, khi viết các biểu thức đại số ta thường:

+ Không viết dấu nhân giữa các chữ, cũng như giữa số và chữ.

Chẳng hạn: viết xy thay cho x.y; viết 2x thay cho 2.x.

+ Viết x thay cho 1. x; viết –x thay cho (–1). x.

– Trong biểu thức đại số, vì chữ đại diện cho số nên khi thực hiện các phép tính trên các chữ, ta có thể áp dụng những tính chất, quy tắc phép tính như trên các số.

Chẳng hạn:

2x + x = 3x;           5x – 2x = 3x;                             

x.x2 = x3;                x + y = y + x;        

xy = yx;                 x(yz) = (xy)z;                            

x + (y + z) = (x + y) + z;           

x(y + z) = xy + xz;

–x(y – z) = –xy + xz; …

Ví dụ: Trong các biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) 2. 3 – 3. 5 là biểu thức đại số;

b) 3x2 + 5x + 2 là biểu thức đại số;

c) 2x + 3y + z không phải là biểu thức đại số.

Hướng dẫn giải:

a) Đúng. Vì 2. 3 – 3. 5 là biểu thức số nên cũng là biểu thức đại số;

b) Đúng. Vì 3x2 + 5x + 2 được nối với nhau bởi các phép toán và x đại diện cho số nên biểu thức này là biểu thức đại số.

c) Sai. Vì 2x + 3y + z được nối với nhau bởi các phép toán và x, y, z đại diện cho các số nên biểu thức này là biểu thức đại số.

Ví dụ: Viết biểu thức biểu thị diện tích toàn phần (tổng diện tích tất cả các mặt) của hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 4 (cm), x (cm), y (cm) như hình vẽ dưới đây:

Hướng dẫn giải:

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:

2(4 + x). y (cm2)

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là: 4x (cm2)

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

2(4 + x). y + 2.4x (cm2)

Vậy biểu thức biểu thị diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật trên là: 2(4 + x). y + 2.4x (cm2).

3. Giá trị của biểu thức đại số

Để  tính  giá  trị  của  một  biểu  thức  đại  số  tại  những giá trị cho trước của các biến, ta thay các giá trị cho trước đó vào biểu thức rồi thực hiện các phép tính.

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức x2 – 5y + 1 khi x = 4 và y = 2.

Hướng dẫn giải

Thay x = 4 và y = 2 vào biểu thức trên ta được:

42 – 5.2 + 1 = 16 – 10 + 1 = 7

Vậy khi x = 4 và y = 2 thì giá trị của biểu thức x2 – 5y + 1 bằng 7.

Ví dụ: Bác Hoa mua một túi rau và một số quả cam. Biết rằng mỗi kilôgam cam có giá 40 nghìn đồng và túi rau có giá 15 nghìn đồng.

a) Hãy viết biểu thức biểu thị tổng số tiền bác Hoa phải trả nếu số cam bác Hoa mua là x kilôgam.

b) Giả sử số cam bác Hoa mua là 2,5 kilôgam. Sử dụng kết quả câu a, em hãy tính xem bác Hoa phải trả tất cả bao nhiêu tiền.

Hướng dẫn giải

a) Số tiền bác Hoa phải trả cho x kilôgam cam là 40x (nghìn đồng).

Số tiền bác Hoa phải trả cho một túi rau là 15 nghìn đồng.

Vậy biểu thức biểu thị tổng số tiền bác Hoa phải trả là:

40x + 15 (nghìn đồng)

b) Thay x = 2,5 vào biểu thức 40x + 15, ta được:

40. 2,5 + 15 = 115 (nghìn đồng)

Vậy bác Hoa phải trả tất cả là 115 nghìn đồng.

4. Đơn thức một biến. Đa thức một biến

4.1. Đơn thức một biến

– Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một tích của một số với luỹ thừa có số mũ nguyên dương của biến đó.

Chẳng hạn: x2, 2x3 là các đơn thức một biến x.

– Chú ý:

+ Mỗi đơn thức (một biến x) nếu không phải là một số thì có dạng axk, trong đó a là số thực khác 0 và k là số nguyên dương. Lúc đó, số a được gọi là hệ số của đơn thức axk.

+ Để thuận tiện cho việc thực hiện các phép tính (trên các đơn thức, đa thức, …), một số thực khác 0 được coi là đơn thức với số mũ của biến bằng 0.

Ví dụ: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) x + 1 là đơn thức một biến x;

b) 2x2 là đơn thức một biến x;

c) 0 không là đơn thức một biến.

Hướng dẫn giải

a) Sai. Vì đơn thức một biến chỉ gồm một số hoặc một tích của một số với luỹ thừa của biến đó nên x2 + 1 không phải là đơn thức một biến mà là đa thức một biến.

b) Đúng. Vì 2x2 là tích của 2 với luỹ thừa 2 của biến x nên 2x2 là đơn thức một biến x.

c) Sai. Vì một số cũng là đơn thức nên 0 là đơn thức một biến.

4.2. Đa thức một biến

– Đa thức một biến là tổng những đơn thức của cùng một biến.

Chẳng hạn: 3x2 + 2x là đa thức của biến x.

– Chú ý:

+ Mỗi số được xem là một đa thức (một biến).

+ Số 0 được gọi là đa thức không.

+ Mỗi đơn thức cũng là một đa thức.

+ Thông thường ta kí hiệu đa thức một biến x là P(x), Q(x), A(x), B(x), …

Ví dụ: Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến x?

a) x2 – 9;

b) 2022;

c) 3x + y;

d) $\frac{25}{{\text{x}}^2}$+ 2x + 1.

Hướng dẫn giải

a) x2 – 9 là đa thức một biến x vì là hiệu của 2 đơn thức một biến x là x2 và 9.

b) 2022 là một số nên cũng được xem là một đa thức một biến.

c) 3x + y không phải là đa thức một biến x vì có cả biến y.

d) $\frac{25}{{\text{x}}^2}$+ 2x + 1 không phải là đa thức một biến x vì $\frac{25}{{\text{x}}^2}$ không phải là tích của một số với luỹ thừa có số mũ nguyên dương của biến x.

5. Cộng trừ đơn thức có cùng số mũ của biến

– Để cộng (trừ) hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta cộng (hay trừ) hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến:

• axk + bxk = (a + b)xk;

• axk – bxk = (a – b)xk (k ∈ ℕ*).

Ví dụ: Thực hiện mỗi phép tính sau:

a) 13x2 + 7x2;

b) 4x3 – 3x3;

c) a4 + 1,5a4 + 0,5a4.

Hướng dẫn giải

a) 13x2 + 7x2 = (13 + 7)x2 = 20x2;

b) 4x3 – 3x3 = (4 – 3)x3 = 1.x3 = x3;

c) a4 + 1,5a4 + 0,5a4 = (1 + 1,5 + 0,5)a4 = 3a4.

6. Sắp xếp đa thức một biến

6.1. Thu gọn đa thức

Thu gọn đa thức một biến là làm cho đa thức đó không còn hai đơn thức nào có cùng số mũ của biến.

Ví dụ: Thu gọn đa thức:

a) P(x) = 3x2 – 4x2 + x3 + 3x3 – 4x + x + 1;

b) Q(x) = 2 – 3,5x4 – 5x2 + 3x2 + x + $\frac{7}{2}$x4 – 2x3 – 1.

Hướng dẫn giải

a) P(x) = 3x2 – 4x2 + x3 + 3x3 – 4x + x + 1

= (3 – 4)x2 + (1 + 3)x3 + (–4 + 1)x + 1

= –x2 + 4x3 – 3x + 1

Vậy dạng thu gọn của đa thức P(x) là –x2 + 4x3 – 3x + 1.

b) Q(x) = 2 – 3,5x4 – 5x2 + 3x2 + x + $\frac{7}{2}$x4 – 2x3 – 1

= (2 – 1) + (–3,5x4 + $\frac{7}{2}$x4) + (– 5x2 + 3x2) + x – 2x3

= 1 + $\left(-3,5+\frac{7}{2}\right)$x4 + (– 5 + 3)x2 + x – 2x3

= 1 + 0x4 – 2x2 + x – 2x3

 = 1 – 2x2 + x – 2x3

Vậy dạng thu gọn của đa thức Q(x) là 1 – 2x2 + x – 2x3.

6.2. Sắp xếp một đa thức

– Sắp xếp đa thức (một biến) theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến là sắp xếp các đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức đó theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.

– Chú ý: Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của mỗi đơn thức được gọi là hệ số của đa thức đó.

Ví dụ: Sắp xếp đa thức A(x) = 3x2 + 5x4 – x5 + 2x – 1 theo số mũ giảm dần của biến.

Hướng dẫn giải

A(x) = 3x2 + 5x4 – x5 + 2x – 1

= –x5 + 5x4 + 3x2 + 2x – 1.

Vậy sắp xếp đa thức A(x) theo số mũ giảm dần của biến ta được A(x) = –x5 + 5x4 + 3x2 + 2x – 1.

Ví dụ: Cho đa thức P(x) = 3x2 + 5x3 – 10x + 2x3 – 8x2 + 9 + 6x.

Hãy thu gọn sau đó sắp xếp đa thức theo số mũ giảm dần của biến.

Hướng dẫn giải

P(x) = 3x2 + 5x3 – 10x + 2x3 – 8x2 + 9 + 6x

= (5x3 + 2x3) + (3x2 – 8x2) + (–10x + 6x) + 9

= 7x3 – 5x2 – 4x + 9

Vậy P(x) = = 7x3 – 5x2 – 4x + 9.

7. Bậc của đa thức một biến

– Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đa thu gọn) là số mũ cao nhất của biến trong đa thức đó.

– Chú ý:

+ Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của luỹ thừa với số mũ cao nhất của biến còn gọi là hệ số cao nhất của đa thức; số hạng không chứa biến còn gọi là hệ số tự do của đa thức.

+ Một số khác 0 là đa thức bậc 0.

+ Đa thức không (số 0) không có bậc.

Ví dụ: Cho đa thức P(x) = x2 + 2x2 + 6x + 2x – 3.

a) Sắp xếp đa thức P(x) theo số mũ giảm dần của biến;

b) Tìm bậc của đa thức P(x);

c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức P(x).

Hướng dẫn giải

a) P(x) = x2 + 2x2 + 6x + 2x – 3

= (x2 + 2x2) + (6x + 2x) – 3

= (1 + 2)x2 + (6 + 2)x – 3

= 3x2 + 8x – 3

Vậy P(x) = 3x2 + 8x – 3.

b) Bậc của đa thức P(x) là 2 vì số mũ cao nhất của x trong đa thức P(x) là 2.

c) Đa thức P(x) có hệ số cao nhất là 3 và hệ số tự do là –3.

8. Nghiệm của đa thức một biến

– Giá trị của đa thức P(x) tại x = a được kí hiệu là P(a).

– Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì a (hoặc x = a) gọi là một nghiệm của đa thức đó.

– Chú ý:

• x = a là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0.

• Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, … hoặc không có nghiệm. Số nghiệm của một đa thức không vượt quá bậc của đa thức đó.

Ví dụ: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) x = 1 là nghiệm của đa thức A(x) = 2x – 2;

b) y = 3 là nghiệm của đa thức B(y) = 4y – 3;

c) z = 1 không là nghiệm của đa thức C(z) = z2 + 1.

Hướng dẫn giải

a) Đúng. Vì A(1) = 2.1 – 2 = 0 nên x = 1 là nghiệm của đa thức A(x).

b) Sai. Vì B(3) = 4.3 – 3 = 9 ≠ 0 nên y = 3 không phải là nghiệm của B(y).

c) Đúng. Vì C(1) = 12 + 1 = 2 ≠ 0 nên z = 1 không phải là nghiệm của C(z).

Ví dụ: Cho P(x) = x2 – 1. Tìm nghiệm của đa thức P(x).

Hướng dẫn giải

Ta có: P(x) = 0

Suy ra x2 – 1 = 0

Do đó x2 = 1

Hay x2 = 12 = (–1)2

Suy ra x = 1 hoặc x = –1.

Vậy P(x) có nghiệm là x = 1, x = –1.

9. Phép cộng đa thức một biến

– Để cộng hai đa thức một biến (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột;

+ Cộng hai đơn thức trong từng cột, ta có tổng cần tìm.

– Chú ý: Khi cộng đa thức theo cột dọc, nếu một đa thức khuyết số mũ nào của biến thì khi viết đa thức đó, ta bỏ trống cột tương ứng với số mũ trên.

Ví dụ: Cho hai đa thức: P(x) = x3 – 6x2 + 1 và Q(x) = –3x2 – 2x – 7. Tính tổng P(x) + Q(x) theo cột dọc.

Hướng dẫn giải

Ta thực hiện đặt phép tính cộng hai đa thức như sau:

$\begin{array}{l}\underset{¯}{+\begin{array}{c}\begin{array}{l}\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-6{\mathrm{x}}^2+1\\ \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=-3{\text{x}}^2-2\mathrm{x}-7\end{array}\end{array}}\\ \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-9{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-6\end{array}$

Vậy P(x) + Q(x) = x3 – 9x2 – 2x – 6.

– Để cộng hai đa thức một biến (theo hàng ngang), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Viết tổng hai đã thức theo hàng ngang;

+ Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;

+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

Ví dụ: Cho hai đa thức: P(x) = x3 – 6x2 + 1 và Q(x) = –3x2 – 2x – 7. Tính tổng P(x) + Q(x) theo hàng ngang.

Hướng dẫn giải

Ta có:

P(x) + Q(x) = (x3 – 6x2 + 1) + (–3x2 – 2x – 7)

= x3 – 6x2 + 1 – 3x2 – 2x – 7

= x3 + (– 6x2 – 3x2) – 2x + (1 – 7)

= x3 – 9x2 – 2x – 6.

Vậy P(x) + Q(x) = x3 – 9x2 – 2x – 6.

10. Trừ hai đa thức một biến

– Để trừ đa thức P(x) cho đa thức Q(x) (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột sao cho đơn thức của P(x) ở trên và đơn thức của Q(x) ở dưới;

+ Trừ hai đơn thức trong từng cột, ta có hiệu cần tìm.

Ví dụ: Cho M(x) = 5x4 + 7x3 – 2x và N(x) = –2x3 – 4x2 + 6x + 8. Tính hiệu M(x) – N(x) theo cột dọc.

Hướng dẫn giải

Ta thực hiện đặt phép tính trừ hai đa thức như sau:

$\begin{array}{l}\underset{¯}{-\begin{array}{c}\begin{array}{l}\mathrm{M}\left(\mathrm{x}\right)=5{\mathrm{x}}^4+7{\mathrm{x}}^3–2\mathrm{x}\\ \mathrm{N}\left(\mathrm{x}\right)=–2{\mathrm{x}}^3–4{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+8\end{array}\end{array}}\\ \mathrm{M}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{N}\left(\mathrm{x}\right)=5{\mathrm{x}}^4+9{\mathrm{x}}^3+4{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}-8\end{array}$

Vậy M(x) – N(x) = 5x4 + 9x3 + 4x2 – 8x – 8.

– Để trừ đa thức P(x) cho đa thức Q(x) (theo hàng ngang), ta có thể làm như sau:

+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;

+ Viết hiệu P(x) – Q(x) theo hàng ngang, trong đó đa thức Q(x) được đặt trong dấu ngoặc;

+ Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức Q(x), nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;

+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.

Ví dụ: Cho M(x) = 5x4 + 7x3 – 2x và N(x) = –2x3 – 4x2 + 6x + 8. Tính hiệu M(x) – N(x) theo hàng ngang.

Hướng dẫn giải

Ta có:

M(x) – N(x) = (5x4 + 7x3 – 2x) – (–2x3 – 4x2 + 6x + 8)

= 5x4 + 7x3 – 2x + 2x3 + 4x2 – 6x – 8

= 5x4 + (7x2 + 2x3) + 4x2 + (–2x – 6x) – 8

= 5x4 + 9x3 + 4x2 – 8x – 8

Vậy M(x) – N(x) = 5x4 + 9x3 + 4x2 – 8x – 8.

Ví dụ: Xác định bậc của hai đa thức là tổng, hiệu của:

A(x) = –4x4 – 3x2 + 7 và B(x) = 4x4 – 5x2 + 8x – 1.

Hướng dẫn giải

Ta có:

• A(x) + B(x) = (–4x4 – 3x2 + 7) + (4x4 – 5x2 + 8x – 1)

= –4x4 – 3x2 + 7 + 4x4 – 5x2 + 8x – 1

= (–4x4 + 4x4) + (–3x2 – 5x2) + 8x + (7 – 1)

= –8x2 + 8x + 6

Do đó A(x) + B(x) = – 8x2 + 8x + 6.

Vậy bậc của A(x) + B(x) là 2.

• A(x) – B(x) = (–4x4 – 3x2 + 7) – (4x4 – 5x2 + 8x – 1)

= –4x4 – 3x2 + 7 – 4x4 + 5x2 – 8x + 1

= (–4x4 – 4x4) + (–3x2 + 5x2) – 8x + (7 + 1)

= –8x4 + 2x2 – 8x + 8

A(x) + B(x) = –8x4 + 2x2 – 8x + 8.

Vậy bậc của A(x) – B(x) là 4.

11. Nhân đơn thức với đơn thức

– Muốn nhân đơn thức A với đơn thức B, ta làm như sau:

+ Nhân hệ số của đơn thức A với hệ số của đơn thức B;

+ Nhân luỹ thừa của biến A với luỹ thừa của biến đó trong B;

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

– Tổng quát: Với a ≠ 0, b ≠ 0; m, n ∈ ℕ ta có:

axm. bxn = a.b. xm. xn = abxm + n.

Ví dụ: Tính:

a) 3x2. 5x6;

b) – 4x3. 4x2;

c) 2xm + 2. xn – 2 (m, n ∈ ℕ, n > 2).

Hướng dẫn giải

a) 3x2. 5x6 = 3.5. x2. x6 = 15x2 + 6 = 15x8;

b) – 4x3. 4x2 = – 4.4. x3. x2 = –16x3 + 2 = –16x5;

c) 2xm + 2. xn – 2 = 2. xm + 2. xn – 2 = 2xm + 2 + n – 2 = 2xm + n.

12. Nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

A(B + C) = AB + AC

A(B – C) = AB – AC

Ví dụ: Tính:

a) x(2x + 1);

b) –2x2(2x2 + 2x – 1);

c) –2x3($\frac{1}{2}$x2 + 3x – 5).

Hướng dẫn giải

a) x(2x + 1) = x.2x + x.1 = 2x2 + x;

b) –2x2(2x2 + 2x – 1)

= –2x2.2x2 –2x2.2x –2x2.(–1)

= –4x4 – 4x3 + 2x2;

c) –2x3($\frac{1}{2}$x2 + 3x – 5)

= –2x3.$\frac{1}{2}$x2 –2x3.3x – 2x3.(–5)

= –x5 – 6x4 + 10x3.

13. Nhân đa thức với đa thức

– Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD

– Tích của hai đa thức là một đa thức.

– Sau khi thực hiện phép nhân hai đa thức, ta thường viết đa thức tích ở dạng thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ tăng dần hoặc giảm dần của biến.

Ví dụ: Thực hiện phép nhân (4x – 3)(2x2 – 5x + 6).

Hướng dẫn giải

Ta có: (4x – 3)(2x2 – 5x + 6)

= 4x(2x2 – 5x + 6) – 3(2x2 – 5x + 6)

= 4x.2x2 – 4x.5x + 4x.6 – 3.2x2 – 3.(–5x) – 3.6

= 8x3 – 20x2 + 24x – 6x2 + 15x – 18

= 8x3 – 26x2 + 39x – 18

Vậy (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = 8x3 – 26x2 + 39x – 18.

– Chúng ta có thể trình bày phép nhân đa thức theo cột dọc.

Chú ý: Khi thực hiện phép nhân hai đa thức theo cột dọc, các đơn thức có cùng số mũ (của biến) được xếp vào cùng một cột.

Ví dụ: Thực hiện phép nhân (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) theo cột dọc.

Hướng dẫn giải

Ta có: (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = (2x2 – 5x + 6).(4x – 3)

Thực hiện phép nhân theo cột dọc như sau:

$\begin{array}{l}\times \underset{¯}{\begin{array}{l}2{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6\\ 4\mathrm{x}-3\end{array}}\\ \underset{¯}{\begin{array}{l}-6{\mathrm{x}}^2+15\mathrm{x}-18\\ 8{\mathrm{x}}^3-20{\mathrm{x}}^2+24\mathrm{x}\end{array}}\\ 8{\mathrm{x}}^3-26{\mathrm{x}}^2+39\mathrm{x}-18\end{array}$

Vậy (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = 8x3 – 26x2 + 39x – 18.

14. Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (B ≠ 0) khi số mũ của biến trong A lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong B, ta làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

+ Chia luỹ thừa của biến trong A cho luỹ thừa của biến đó trong B.

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Tổng quát: Với a ≠ 0; b ≠ 0, m, n ∈ ℕ, m ≥ n ta có:

(axm) : (bxn) = $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$.(xm : xn) = $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$.xm – n

Ví dụ: Tính:

a) 14x2 : 7x;

b) 3x6 : 2x2;

c) –5yn : 10y2 (với n ∈ ℕ, n > 2);

d) (–20xm + 1) : (5xn + 1) (với m, n ∈ ℕ, m > n).

Hướng dẫn giải

a) 14x2 : 7x = (14 : 7). (x2 : x) = 2x2 – 1 = 2x;

b) 3x6 : 2x2 = $\frac{3}{2}.$x6 – 2 = $\frac{3}{2}.$x4;

c) Với n ∈ ℕ, n > 2 ta có:

–5yn : 10y2 = $\frac{-5}{10}$.yn – 2 = $-\frac{1}{2}$yn – 2.

d) Với m, n ∈ ℕ, m > n ta có:

(–20xm + 1) : (5xn + 1)

= (–20 : 5). (xm + 1 : xn + 1)

= –4xm + 1 – n – 1 = –4xm – n.

15. Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức P cho đơn thức Q (Q ≠ 0) khi số mũ của biến ở mỗi đơn thức của P lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong Q, ta chia mỗi đơn thức của đa thức P cho đơn thức Q rồi cộng các thương với nhau.

(A + B) : C = A : C + B : C

(A – B) : C = A : C – B : C

Ví dụ: Tính

a) (20x5 – 18x4 + 6x2 – 4x) : (–2x);

b) (45x5 + 10x3 – 5x2) : 5x2.

Hướng dẫn giải

a) (20x5 – 18x4 + 6x2 – 4x) : (–2x)

= 20x5 : (–2x) – 18x4 : (–2x) + 6x2 : (–2x) – 4x : (–2x)

= [20 : (–2)](x5 : x) – [18 : (–2)](x4 : x) + [6 : (–2)](x2 : x) – [4 : (–2)](x : x)

= –10x4 + 9x3 – 3x + 2.

b) (45x5 + 10x3 – 5x2) : 5x2

= 45x5 : 5x2 + 10x3 : 5x2 – 5x2 : 5x2

= (45 : 5)(x5 : x2) + (10 : 5)(x3 : x2) – (5 : 5)(x2 : x2)

= 9x3 + 2x – 1.

16. Chia đa thức một biến đã sắp xếp

* Để chia một đa thức cho một đa thức khác đa thức không (cả hai đa thức đều đã thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ giảm dần của biến) khi bậc của đa thức bị chia lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia, ta làm như sau:

– Bước 1.

+ Chia đơn thức bậc cao nhất của đa thức bị chia cho đơn thức bậc cao nhất của đa thức chia.

+ Nhân kết quả trên với đa thức chia và đặt tích dưới đa thức bị chia sao cho hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột.

+ Lấy đa thức bị chia trừ đi tích đặt dưới để được đa thức mới.

– Bước 2. Tiếp tục quá trình trên cho đến khi nhận được đa thức không hoặc đa thức

có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

* Nhận xét

– Khi chia đa thức A cho đa thức B của cùng một biến (B ≠ 0), có hai khả năng xảy ra:

+ Phép chia có dư bằng 0. Trong trường hợp này ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

+ Phép chia có dư là đa thức R (R ≠ 0) với bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Phép chia trong trường hợp này được gọi là phép chia có dư.

– Người ta chứng minh được rằng đối với hai đa thức tuỳ ý A và B của cùng một biến (B ≠ 0), tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B . Q + R, trong đó R bằng 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Như vậy, đã thức A chia hết cho đa thức B khi và chỉ khi R = 0.

Ví dụ: Tính:

a) (9x3 + 6x2 + 3x – 3) : (3x + 1)

b) (6x2 + 4) : (– 2x – 1)

Hướng dẫn giải

a) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy (9x3 + 6x2 + 3x – 3) : (3x + 1) = 3x2 + x + $\frac{3}{2}$(dư $\frac{-11}{3}$).

b) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy (6x2 + 4) : (–2x – 1) = $-3\text{x}+\frac{3}{2}$ (dư $\frac{11}{2}$).

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tính giá trị biểu thức B = 5x2 – 2x – 18 tại |x| = 4

A. B = 54;

B. B = 70;

C. B = 54 hoặc B = 70;

D. B = 45 hoặc B = 70.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có |x| = 4 suy ra x = 4 hoặc x = –4.

+) Trường hợp 1: x = 4.

Thay x = 4 vào biểu thức B ta được:

B = 5.42 – 2.4 – 18

= 5.16 – 8 –18

= 80 – 8 – 18

= 54

Vậy B = 54 khi x = 4

+) Trường hợp 2: x = –4.

Thay x = –4 vào biểu thức ta được:

B = 5.(–4)2 – 2.(–4) – 18

= 5.16 + 8 – 18

= 80 + 8 – 18

= 70

Vậy B = 70 khi x = –4

Vậy với |x| = 4 thì B = 54 hoặc B = 70.

Câu 2. Cho A = (3x + 7)(2x + 3) – (3x – 5)(2x + 11)

Và B = x(2x + 1) – x2(x + 2) + x3 – x + 3.

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. A = B;    

B. A = 25B; 

C. A = 25B + 1;

D. A = 2B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

A = (3x + 7)(2x + 3) – (3x – 5)(2x + 11)

= 3x.2x + 3x.3 + 7.2x + 7.3 – (3x.2x + 3x.11 – 5.2x – 5.11)

= 6x2 + 9x + 14x + 21 – (6x2 + 33x – 10x – 55)

= 6x2 + 23x + 21 – 6x2 – 33x + 10x + 55

= (6x2 – 6x2) + (23x – 33x + 10x) + (21 + 55)

= 76

B = x(2x + 1) – x2(x + 2) + x3 – x + 3

= x.2x + x – (x2.x + 2x2) + x3 – x + 3

= 2x2 + x – x3 – 2x2 + x3 – x + 3

= (–x3 + x3) + (2x2 – 2x2) + (x – x) + 3

= 3

Từ đó ta có A = 76; B = 3

Mà 76 = 25.3 + 1 nên A = 25B + 1.

Ta chọn phương án C.

Câu 3. Bậc của đa thức 5x2 + 3x + 1 là?

A. 5;

B. 3;

C. 2;

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số mũ cao nhất của biến là 2 nên bậc của đa thức là 2.

Ta chọn phương án C.

Câu 4. Cho đa thức P(x) = 4x3 + 3x2 + 2 – 4x3 + 1. Tổng các hệ số của đa thức P(x) là:

A. 3;

B. 4;

C. 5;

D. 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

P(x) = 4x3 + 3x2 + 2 – 4x3 + 1

= (4x3 – 4x3) + 3x2 + (2 + 1)

= 3x2 + 3

Tổng các hệ số là 3 + 3 = 6.

Ta chọn phương án D.

Câu 5. A(x) = 5x4 + 4x3 + 2x + 1 và B(x) = –5x4 + x3 + 3x2 + x – 1. Tìm đa thức N(x) sao cho N(x) = A(x) – B(x).

A. N(x) = 10x4 + 3x3 – 3x2 + x + 2;

B. N(x) = 10x4 – 3x3 + 3x2 + x + 2;

C. N(x) = 10x4 + 3x3 + 3x2 + x + 2;

D. N(x) = 10x4 + 3x3 – 3x2 + x – 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: N(x) = A(x) – B(x)

= (5x4 + 4x3 + 2x + 1) – (–5x4 + x3 + 3x2 + x – 1)

= 5x4 + 4x3 + 2x + 1 + 5x4 – x3 – 3x2 – x + 1

= (5x4 + 5x4) + (4x3 – x3) – 3x2 + (2x – x) + (1 + 1)

= 10x4 + 3x3 – 3x2 + x + 2.

Vậy N(x) = 10x4 + 3x3 – 3x2 + x + 2.

Ta chọn phương án A.

Câu 6. Một người làm vườn có hai khu vườn, khu vườn hình chữ nhật có chiều dài x + 2 (m), chiều rộng là x – 1 (m), khu vườn hình vuông có cạnh là x + 1 (m). Tính tổng diện tích hai khu vườn.

A. 2x2 – 3x – 3 (m2);

B. 2x2 + 3x – 3 (m2);

C. 2x2 – 3x + 3 (m2);

D. 2x2 + 3x + 3 (m2).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là:

(x + 2)(x – 1)

= x.x – x.1 + 2.x – 2 .1

= x2 + x – 2 (m2)

Diện tích khu vườn hình vuông là:

(x + 1)2

= (x + 1).(x + 1)

= x.x + x.1 + 1.x + 1.1

= x2 + 2x + 1 (m2)

Tổng diện tích của hai khu vườn là:

x2 + x + 2 + x2 + 2x + 1

= (x2 + x2) + (x + 2x) + (2 + 1)

= 2x2 + 3x + 3 (m2)

Vậy tổng diện tích của hai khu vườn là 2x2 + 3x + 3 (m2).

Ta chọn phương án D.

Câu 7. Theo tiêu chuẩn của Tổ chức Y tế thế giới (WHO), đối với bé gái công thức tính cân nặng chuẩn là C = 9 + 2(N – 1) (kg) với N là số tuổi của bé gái. Cân nặng chuẩn của bé gái 4 tuổi là:

A. 15 kg;

B. 16 kg;

C. 17 kg;

D. 18 kg.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Cân nặng chuẩn của bé gái 4 tuổi là:

C = 9 + 2(4 – 1) = 9 + 2.3 = 9 + 6 = 15 (kg)

Vậy cân nặng chuẩn của bé gái 4 tuổi là 15 kg.

Câu 8. Một hình hộp chữ nhật có thể tích là x3 + 3x2 + 2x (cm3). Biết đáy là hình chữ nhật có các kích thước là x + 1 (cm) và x + 2 (cm). Tính chiều cao của hình hộp chữ nhật đó.

A. x (cm);

B. 2x (cm);

C. 3x (cm);

D. 4x (cm).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có V = Sđáy. h

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật là:

(x + 1)(x + 2)

= x.x + x.2 + 1.x + 1.2

= x2 + 3x + 2 (cm2)

Chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là thương của phép chia:

(x3 + 3x2 + 2x) : (x2 + 3x + 2)

Ta đặt tính phép chia đa thức:

Do đó (x3 + 3x2 + 2x) : (x2 + 3x + 2) = x

Vậy chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là x (cm).

Câu 9. Ước tính chiều cao của con gái khi trưởng thành dựa trên chiều cao b của bố và chiều cao m của mẹ là $\frac{1}{2}$. (0,923b + m). Chiều cao ước tính của con gái khi bố cao 175 cm và mẹ cao 155 cm là (làm tròn kết quả đến chữ số thâp phân thứ nhất):

A. 158,2625 cm;

B. 158 cm;

C. 158,2 cm;

D. 158,3 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thay chiều cao của bố và của mẹ vào công thức $\frac{1}{2}$. (0,923b + m) ta được:

$\frac{1}{2}$. (0,923 . 175 + 155) = 158,2625 (cm) ≈ 158,3 (cm).

Vậy chiều cao ước tính của con gái khi trưởng thành là khoảng 158,3 cm nếu bố cao 175 cm và mẹ cao 155 cm.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 10. Cho tam giác như hình vẽ dưới đây, có chu vi bằng 6x – 10.

Độ dài cạnh chưa biết của tam giác trên là:

A. 2x + 17;

B. 2x – 17;

C. 17x + 2;

D. 17x – 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi cạnh cần tìm là P(x).

Ta có chu vi tam giác được tính bằng:

(x + 5) + (3x + 1) + P(x)

 = (x + 3x) + (6 + 1) + P(x)

= 4x + 7 + P(x)

Mà theo bài chu vi tam giác là 6x – 10

Do đó 4x + 7 + P(x) = 6x – 10

Khi đó:

P(x) = 6x – 10 – (4x + 7)

= 6x – 10 – 4x – 7

= (6x – 4x) – (10 + 7)

= 2x – 17

Vậy cạnh cần tìm có độ dài là 2x – 17.

B.2 Bài tập tự luận

Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức:

a) x2y – 5 tại x = –2; y =1;

b) 2x2 – 3x + 7 tại x = 3.

Hướng dẫn giải

a) Thay x = –2; y =1 vào biểu thức x2y – 5 ta được:

(–2)2. 1 – 5 = 4 – 5 = –1

Vậy giá trị của biểu thức x2y – 5 tại x = –2; y = 1 là –1.

b) Thay x = 3 vào biểu thức 2x2 – 3x + 7 ta được:

2. 32 – 3. 3 + 7 = 2.9 – 9 + 7 = 18 – 9 + 7 = 16

Vậy giá trị của biểu thức 2x2 – 3x + 7 tại x = 3 là 16.

Bài 2. Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến? Tìm biến và bậc của đa thức đó.

a) –3x;                              b) x2 + x – 1;                   

c) $\frac{4}{\text{x}+1}$+ x2;                     d) y2 + 2x + $\frac{1}{\mathrm{y}};$               

e) 2z + 3;                          f) –t2023 + 3t2022 + 1.

Hướng dẫn giải

a) –3x là đa thức một biến x có bậc là 1;

b) x2 + x – 1 là đa thức một biến x có bậc là 2;

c) $\frac{4}{\text{x}+1}$+ x2 không phải là đa thức một biến;

d) y2 + 2x + $\frac{1}{\mathrm{y}}$ không phải là đa thức một biến;

e) 2z + 3 là đa thức một biến z có bậc là 1;

f) –t2023 + 3t2022 + 1 là đa thức một biến t có bậc là 2023.

Bài 3. Trong một ngày hè, buổi sáng nhiệt độ là x °C, buổi trưa tăng thêm y °C so với buổi sáng. Buổi chiều lúc mặt trời lặn nhiệt độ lại giảm đi z °C so với buổi trưa. Viết biểu thức đại số biểu thị nhiệt độ lúc mặt trời lặn vào buổi chiều theo x, y, z và tính nhiệt độ lúc mặt trời lặn khi x = 30 °C, y = 6 °C, z = 10 °C.

Hướng dẫn giải

Biểu thức đại số biểu thị nhiệt độ lúc mặt trời lặn là: x + y – z (°C).

Giá trị của biểu thức đại số khi x = 30 °C, y = 6 °C, z = 10 °C là:

30 + 6 – 10 = 26 (°C).

Vậy nhiệt độ lúc mặt trời lặn vào buổi chiều là 26 °C.

Bài 4. Thực hiện phép tính:

a) 2x2 + 3x2 – 5x2; 

b) –10y2 + 0,5y2 + y2;

c) –21z2 – 10z2 + 99z2;

Hướng dẫn giải

a) 2x2 + 3x2 – 5x2 = (2 + 3 – 5)x2 = 0x2 = 0.

b) –10y2 + 0,5y2 + y2 = (–10 + 0,5 + 1)y2 = –8,5y2.

c) –21z2 – 10z2 + 99z2 = (–21 – 10 + 99)z2 = 68z2.

Bài 5. Cho đa thức A(x) = x3 + 2x2 + x. Trong các số –2, –1, 0, 1, 2 thì số nào là nghiệm của đa thức A(x)?

Hướng dẫn giải

Ta có: đa thức A(x) = x3 + 2x2 + x

• A(–2) = (–2)3 + 2.(–2)2 + (–2)

= –8 + 8 – 2 = –2 ≠ 0.

Do đó x = –2 không phải là nghiệm của A(x).

• A(–1) = (–1)3 + 2.(–1)2 + (–1)

= –1 + 2 – 1 = 0.

Do đó x = –1 là nghiệm của A(x).

• A(0) = 03 + 2.02 + 0 = 0

Do đó x = 0 là nghiệm của A(x).

• A(1) = 13 + 2.12 + 1

= 1 + 2 + 1 = 4 ≠ 0.

Do đó x = 1 không phải là nghiệm của A(x).

• A(2) = 23 + 2.22 + 2

= 8 + 8 + 2 = 16 ≠ 0.

Do đó x = 2 không phải là nghiệm của A(x).

Vậy x = –1 và x = 0 là hai nghiệm của đa thức A(x).

Bài 6. Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức sau đây theo luỹ thừa giảm của biến rồi tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đó.

a) P(x) = –2 + 4x5 – 2x3 – 4x5 + 3x + 3.

b) Q(x) = –5x3 + 4 – 3x + 4x3 + x2 + 6x – 3.

Hướng dẫn giải

a) P(x) = –2 + 4x5 – 2x3 – 4x5 + 3x + 3

= (4x5 – 4x5) – 2x3 + 3x + (3 – 2)

= –2x3 + 3x + 1

Bậc của P(x) là 3 vì số mũ cao nhất của biến bằng 3.

Hệ số cao nhất của P(x) là –2 vì hệ số của lũy thừa với số mũ cao nhất của biến bằng –2.

Hệ số tự do của P(x) là 1 vì số hạng không chứa biến của đa thức bằng 1.

b) Q(x) = –5x3 + 4 – 3x + 4x3 + x2 + 6x – 3

= (–5x3 + 4x3) + x2 + (–3x + 6x) + (4 – 3)

= –x3 + x2 + 3x + 1

Bậc của Q(x) là 3 vì số mũ cao nhất của biến bằng 3.

Hệ số cao nhất của Q(x) là –1 vì hệ số của lũy thừa với số mũ cao nhất của biến bằng –1.

Hệ số tự do của Q(x) là 1 vì số hạng không chứa biến của đa thức bằng 1.

Bài 7. Cho đa thức P(x) = x4 – 5x3 + 4x – 5 và Q(x) = –x4 + 3x2 + 2x + 1.

a) Hãy tính tổng P(x) + Q(x) và tìm bậc của đa thức đó.

b) Tìm đa thức R(x) sao cho P(x) = R(x) + Q(x).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: P(x) + Q(x) = (x4 – 5x3 + 4x – 5) + (–x4 + 3x2 + 2x + 1)

= x4 – 5x3 + 4x – 5 – x4 + 3x2 + 2x + 1

= (x4 – x4) – 5x3 + 3x2 + (4x + 2x) + (1 – 5)

= –5x3 + 3x2 + 6x – 4

Vậy P(x) + Q(x) = –5x3 + 3x2 + 6x – 4.

Bậc của đa thức P(x) + Q(x) là 3.

b) Ta có: P(x) = R(x) + Q(x)

Suy ra R(x) = P(x) – Q(x)

Do đó R(x) = (x4 – 5x3 + 4x – 5) – (–x4 + 3x2 + 2x + 1)

= x4 – 5x3 + 4x – 5 + x4 – 3x2 – 2x – 1

= (x4 + x4) – 5x3 – 3x2 + (4x – 2x) + (–1 – 5)

= 2x4 – 5x3 + 3x2 + 2x – 6

Vậy R(x) = 2x4 – 5x3 + 3x2 + 2x – 6.

Bài 8. Cho đa thức P(x) = x2(x2 – x – 1) + 3x(x + a) + 2, với a là một số.

a) Thu gọn đa thức P(x) rồi sắp xếp đa thức theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng 10.

Hướng dẫn giải

a) P(x) = x2(x2 – x – 1) + 3x(x + a) + 2

= x2.x2 – x2.x – x2.1 + 3x.x + 3x.a + 2

= x4 – x3 – x2 + 3x2 + 3ax + 2

= x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2

Vậy P(x) = x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2.

b) Ta có P(x) = x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2.

Hệ số của x4 là 1;

Hệ số của x3 là –1;

Hệ số của x2 là 2;

Hệ số của x là 3a;

Hệ số tự do là 2.

Tổng các hệ số của P(x) là:

1 + (–1) + 2 + 3a + 2 = 3a + 4.

Mà theo bài tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng 10.

Khi đó: 3a + 4 = 10

Do đó 3a = 6

Vậy a = 2.

Bài 9. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{3}{2}$x5. 4x2;                               

b) y2(0,5y3 + 2y2 – y + 0,25);

c) (x2 + 2x + 1)(x2 – x – 1);                 

d) (2x – 3)(3x + 1) – (x + 2)(6x – 1).

Hướng dẫn giải

a) $\frac{3}{2}$x5. 4x2 = $\frac{3}{2}$.4. x5.x2 = 6x7.

b) y2(0,5y3 + 2y2 – y + 0,25)

= y2.0,5y3 + y2.2y2 – y2.y + y2.0,25

= 0,5y5 + 2y4 – y3 + 0,25y2

c) (x2 + 2x + 1)(x2 – x – 1)

= (x2.x2 – x2.x – x2.1) + (2x.x2 – 2x.x – 2x.1) + (1.x2 – 1.x – 1.1)

= x4 – x3 – x2 + 2x3 – 2x2 – 2x + x2 – x – 1

= x4 + (– x3 + 2x3) + (– x2 – 2x2 + x2) + (– 2x – x) – 1

= x4 + x3 – 2x2 – 3x – 1

d) (2x – 3)(3x + 1) – (x + 2)(6x – 1)

= 2x.3x + 2x.1 – 3.3x – 3.1 – [x.6x – x.1 + 2.6x + 2.(–1)]

= 6x2 + 2x – 9x – 3 – 6x2 + x – 12x + 2

= (6x2 – 6x2) + (2x – 9x + x – 12x) + (– 3 +2)

= –18x – 1.

Bài 10. Tính:

a) 2022x2024 : 2x2;

b) (6x4 + 8x3 + 4x2 + 2x) : (2x);

c) (2x2 + x – 1) : (x + 1);

d) (2x3 – 24x – 20) : (x2 + 4x + 3).

Hướng dẫn giải

a) 2022x2024 : 2x2 = (2022 : 2).(x2024 : x2)

= 1011.x2024 – 2 = 1011x2022.

b) (6x4 + 8x3 + 4x2 + 2x) : (2x)

= 6x4 : 2x + 8x3 : 2x + 4x2 : 2x + 2x : 2x

= (6 : 2)(x4 : x) + (8 : 2)(x3 : x) + (4 : 2)(x2 : x) + (2 : 2)(x : x)

= 3x3 + 4x2 + 2x + 1

c) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy (2x2 + x – 1) : (x + 1) = 2x – 1.

d) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy (2x3 – 24x – 20) : (x2 + 4x + 3) = 2x – 8 (dư 2x  + 4).

Bài 11. Tính chiều dài của một hình chữ nhật có diện tích bằng 8x2 + 8x – 6 (cm2) và chiều rộng bằng 2x – 1 (cm).

Hướng dẫn giải

Chiều dài hình chữ nhật là thương của phép chia (8x2 + 8x – 6) : (2x – 1)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 4x + 6 (cm).

Bài 12. Quan hệ giữa quãng đường chuyển động y (m) và thời gian chuyển động x (giây) của chuyển động rơi tự do được biểu diễn gần đúng bởi công thức y = 5x2. Người ta thả rơi tự do một vật nặng từ độ cao 200 m xuống đất. Hỏi khi vật nặng còn cách mặt đất 20 m thì nó đã rơi được thời gian bao lâu?

Hướng dẫn giải

Khi vật còn cách mặt đất 20 m thì nó đã rơi được:

200 – 20 = 180 (m)

Khi đó ta có: 5x2 = 180

Suy ra x2 = 36 = 62 = (–6)2

Vì x (giây) là thời gian chuyển động nên x > 0

Do đó ta có x = 6.

Vậy vật nặng rơi được 6 giây thì còn cách mặt đất 20 m.

Bài 13. Một sân vận động hình chữ nhật có chiều dài là 5x + 3 (m) và chiều rộng là 5x – 3 (m). Mỗi cạnh được chừa ra 3 m làm lối đi, phần trong là phần trồng cỏ.

a) Viết biểu thức S biểu thị diện tích trồng cỏ của sân vận động.

b) Tính số tiền trồng cỏ cho mặt sân khi x = 10. Biết số tiền để trồng 1 m2 cỏ là 50 000 đồng.

Hướng dẫn giải

a) Chiều rộng sân cỏ là:

5x – 3 – 3 = 5x – 6 (m)

Chiều dài sân cỏ là:

5x + 3 – 3 = 5x (m)

Diện tích trồng cỏ là:

S = (5x – 6).5x

= 5x.5x – 6.5x

= 25x2 – 30x (m2)

Vậy S = 25x2 – 30x (m2)

b) Ta có S = 25x2 – 30x (m2)

Với x = 10 ta có:

S = 25.102 – 30.10

= 25.100 – 300

= 2200 (m2)

Số tiền để trồng cỏ là:

2200. 50 000 = 110 000 000 đồng.

Vậy số tiền trồng cỏ là 110 000 000 đồng.

Bài 14. Một doanh nghiệp sản xuất cà phê cho biết sau khi rang xong, khối lượng cà phê giảm 12% so với trước khi rang. Để có khoảng 5 tấn cà phê sau khi rang thì doanh nghiệp cần sử dụng bao nhiêu tấn cà phê trước khi rang (làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm)?

Hướng dẫn giải

Giả sử khối lượng cà phê trước khi rang là x (tấn)

Khối lượng cà phê bị hao hụt khi rang là:

12%.x = 0,12x (tấn)

Khối lượng cà phê sau khi rang là:

x – 0,12x (tấn)

Để có được khoảng 5 tấn cà phê sau khi rang thì ta có:

x – 0,12x = 5

Suy ra x(1 – 0,12) = 5

Hay 0,88.x = 5

Do đó x ≈ 5,68

Vậy để có được khoảng 5 tấn cà phê sau khi rang thì doanh nghiệp cần sử dụng khoảng 5,68 tấn cà phê trước khi rang.