Lý thuyết Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến (Cánh diều 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 2: Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến

A. Lý thuyết

I. Đơn thức một biến. Đa thức một biến

1. Đơn thức một biến

– Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một tích của một số với luỹ thừa có số mũ nguyên dương của biến đó.

Chẳng hạn: x2, 2x3 là các đơn thức một biến x.

– Chú ý:

+ Mỗi đơn thức (một biến x) nếu không phải là một số thì có dạng axk, trong đó a là số thực khác 0 và k là số nguyên dương. Lúc đó, số a được gọi là hệ số của đơn thức axk.

+ Để thuận tiện cho việc thực hiện các phép tính (trên các đơn thức, đa thức, …), một số thực khác 0 được coi là đơn thức với số mũ của biến bằng 0.

Ví dụ: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) x + 1 là đơn thức một biến x;

b) 2x2 là đơn thức một biến x;

c) 0 không là đơn thức một biến.

Hướng dẫn giải

a) Sai. Vì đơn thức một biến chỉ gồm một số hoặc một tích của một số với luỹ thừa của biến đó nên x2 + 1 không phải là đơn thức một biến mà là đa thức một biến.

b) Đúng. Vì 2x2 là tích của 2 với luỹ thừa 2 của biến x nên 2x2 là đơn thức một biến x.

c) Sai. Vì một số cũng là đơn thức nên 0 là đơn thức một biến.

2. Đa thức một biến

– Đa thức một biến là tổng những đơn thức của cùng một biến.

Chẳng hạn: 3x2 + 2x là đa thức của biến x.

– Chú ý:

+ Mỗi số được xem là một đa thức (một biến).

+ Số 0 được gọi là đa thức không.

+ Mỗi đơn thức cũng là một đa thức.

+ Thông thường ta kí hiệu đa thức một biến x là P(x), Q(x), A(x), B(x), …

Ví dụ: Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến x?

a) x2 – 9;

b) 2022;

c) 3x + y;

d) $\frac{25}{{\text{x}}^2}$+ 2x + 1.

Hướng dẫn giải

a) x2 – 9 là đa thức một biến x vì là hiệu của 2 đơn thức một biến x là x2 và 9.

b) 2022 là một số nên cũng được xem là một đa thức một biến.

c) 3x + y không phải là đa thức một biến x vì có cả biến y.

d) $\frac{25}{{\text{x}}^2}$+ 2x + 1 không phải là đa thức một biến x vì $\frac{25}{{\text{x}}^2}$ không phải là tích của một số với luỹ thừa có số mũ nguyên dương của biến x.

II. Cộng trừ đơn thức có cùng số mũ của biến

– Để cộng (trừ) hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta cộng (hay trừ) hai hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến:

• axk + bxk = (a + b)xk;

• axk – bxk = (a – b)xk (k ∈ ℕ*).

Ví dụ: Thực hiện mỗi phép tính sau:

a) 13x2 + 7x2;

b) 4x3 – 3x3;

c) a4 + 1,5a4 + 0,5a4.

Hướng dẫn giải

a) 13x2 + 7x2 = (13 + 7)x2 = 20x2;

b) 4x3 – 3x3 = (4 – 3)x3 = 1.x3 = x3;

c) a4 + 1,5a4 + 0,5a4 = (1 + 1,5 + 0,5)a4 = 3a4.

III. Sắp xếp đa thức một biến

1. Thu gọn đa thức

Thu gọn đa thức một biến là làm cho đa thức đó không còn hai đơn thức nào có cùng số mũ của biến.

Ví dụ: Thu gọn đa thức:

a) P(x) = 3x2 – 4x2 + x3 + 3x3 – 4x + x + 1;

b) Q(x) = 2 – 3,5x4 – 5x2 + 3x2 + x + $\frac{7}{2}$x4 – 2x3 – 1.

Hướng dẫn giải

a) P(x) = 3x2 – 4x2 + x3 + 3x3 – 4x + x + 1

= (3 – 4)x2 + (1 + 3)x3 + (–4 + 1)x + 1

= –x2 + 4x3 – 3x + 1

Vậy dạng thu gọn của đa thức P(x) là –x2 + 4x3 – 3x + 1.

b) Q(x) = 2 – 3,5x4 – 5x2 + 3x2 + x + $\frac{7}{2}$x4 – 2x3 – 1

= (2 – 1) + (–3,5x4 + $\frac{7}{2}$x4) + (– 5x2 + 3x2) + x – 2x3

= 1 + $\left(-3,5+\frac{7}{2}\right)$x4 + (– 5 + 3)x2 + x – 2x3

= 1 + 0x4 – 2x2 + x – 2x3

 = 1 – 2x2 + x – 2x3

Vậy dạng thu gọn của đa thức Q(x) là 1 – 2x2 + x – 2x3.

2. Sắp xếp một đa thức

– Sắp xếp đa thức (một biến) theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến là sắp xếp các đơn thức trong dạng thu gọn của đa thức đó theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến.

– Chú ý: Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của mỗi đơn thức được gọi là hệ số của đa thức đó.

Ví dụ: Sắp xếp đa thức A(x) = 3x2 + 5x4 – x5 + 2x – 1 theo số mũ giảm dần của biến.

Hướng dẫn giải

A(x) = 3x2 + 5x4 – x5 + 2x – 1

= –x5 + 5x4 + 3x2 + 2x – 1.

Vậy sắp xếp đa thức A(x) theo số mũ giảm dần của biến ta được A(x) = –x5 + 5x4 + 3x2 + 2x – 1.

Ví dụ: Cho đa thức P(x) = 3x2 + 5x3 – 10x + 2x3 – 8x2 + 9 + 6x.

Hãy thu gọn sau đó sắp xếp đa thức theo số mũ giảm dần của biến.

Hướng dẫn giải

P(x) = 3x2 + 5x3 – 10x + 2x3 – 8x2 + 9 + 6x

= (5x3 + 2x3) + (3x2 – 8x2) + (–10x + 6x) + 9

= 7x3 – 5x2 – 4x + 9

Vậy P(x) = = 7x3 – 5x2 – 4x + 9.

IV. Bậc của đa thức một biến

– Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đa thu gọn) là số mũ cao nhất của biến trong đa thức đó.

– Chú ý:

+ Trong dạng thu gọn của đa thức, hệ số của luỹ thừa với số mũ cao nhất của biến còn gọi là hệ số cao nhất của đa thức; số hạng không chứa biến còn gọi là hệ số tự do của đa thức.

+ Một số khác 0 là đa thức bậc 0.

+ Đa thức không (số 0) không có bậc.

Ví dụ: Cho đa thức P(x) = x2 + 2x2 + 6x + 2x – 3.

a) Sắp xếp đa thức P(x) theo số mũ giảm dần của biến;

b) Tìm bậc của đa thức P(x);

c) Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức P(x).

Hướng dẫn giải

a) P(x) = x2 + 2x2 + 6x + 2x – 3

= (x2 + 2x2) + (6x + 2x) – 3

= (1 + 2)x2 + (6 + 2)x – 3

= 3x2 + 8x – 3

Vậy P(x) = 3x2 + 8x – 3.

b) Bậc của đa thức P(x) là 2 vì số mũ cao nhất của x trong đa thức P(x) là 2.

c) Đa thức P(x) có hệ số cao nhất là 3 và hệ số tự do là –3.

V. Nghiệm của đa thức một biến

– Giá trị của đa thức P(x) tại x = a được kí hiệu là P(a).

– Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì a (hoặc x = a) gọi là một nghiệm của đa thức đó.

– Chú ý:

• x = a là nghiệm của đa thức P(x) nếu P(a) = 0.

• Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, … hoặc không có nghiệm. Số nghiệm của một đa thức không vượt quá bậc của đa thức đó.

Ví dụ: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) x = 1 là nghiệm của đa thức A(x) = 2x – 2;

b) y = 3 là nghiệm của đa thức B(y) = 4y – 3;

c) z = 1 không là nghiệm của đa thức C(z) = z2 + 1.

Hướng dẫn giải

a) Đúng. Vì A(1) = 2.1 – 2 = 0 nên x = 1 là nghiệm của đa thức A(x).

b) Sai. Vì B(3) = 4.3 – 3 = 9 ≠ 0 nên y = 3 không phải là nghiệm của B(y).

c) Đúng. Vì C(1) = 12 + 1 = 2 ≠ 0 nên z = 1 không phải là nghiệm của C(z).

Ví dụ: Cho P(x) = x2 – 1. Tìm nghiệm của đa thức P(x).

Hướng dẫn giải

Ta có: P(x) = 0

Suy ra x2 – 1 = 0

Do đó x2 = 1

Hay x2 = 12 = (–1)2

Suy ra x = 1 hoặc x = –1.

Vậy P(x) có nghiệm là x = 1, x = –1.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Quan hệ giữa quãng đường chuyển động y (m) và thời gian chuyển động x (giây) của chuyển động rơi tự do được biểu diễn gần đúng bởi công thức y = 5x2. Người ta thả rơi tự do một vật nặng từ độ cao 200 m xuống đất. Hỏi khi vật nặng còn cách mặt đất 20 m thì nó đã rơi được thời gian bao lâu?

A. 4 giây;

B. 5 giây;

C. 6 giây;

D. 7 giây.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khi vật còn cách mặt đất 20 m thì nó đã rơi được:

200 – 20 = 180 (m)

Khi đó ta có: 5x2 = 180

Suy ra x2 = 36 = 62 = (–6)2

Vì x (giây) là thời gian chuyển động nên x > 0

Do đó ta có x = 6.

Vậy vật nặng rơi được 6 giây thì còn cách mặt đất 20 m.

Ta chọn phương án C.

Câu 2. Đa thức nào dưới đây là đa thức một biến?

A. x2 + y + 1;

B. x3 – 2x2 + 3;

C. xy + x2 – 3;

D. xyz – yz + 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đa thức x3 – 2x2 + 3 là đa thức một biến x.

Đa thức  x2 + y + 1 không phải là đa thức một biến vì có cả hai biến x và y.

Đa thức xy + x2 – 3 không phải là đa thức một biến vì có cả hai biến x và  y.

Đa thức xyz – yz + 3 không phải là đa thức một biến vì có cả ba biến x, y và z.

Ta chọn phương án B.

Câu 3. Cho Q(x) = ax2 – 2x – 3. Giá trị a để Q(x) nhận x = 1 là nghiệm là:

A. a = 1;

B. a = –5;

C. a = 5;

D. a = –1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Q(x) nhận x = 1 là nghiệm thì Q(1) = 0

Khi đó a.12 – 2.1 – 3 = 0

Suy ra a – 5 = 0

Do đó a = 5

Vậy để Q(x) nhận x = 1 là nghiệm thì a = 5.

B.2 Bài tập tự luận

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) 2x2 + 3x2 – 5x2; 

b) –10y2 + 0,5y2 + y2;

c) –21z2 – 10z2 + 99z2;

Hướng dẫn giải

a) 2x2 + 3x2 – 5x2 = (2 + 3 – 5)x2 = 0x2 = 0.

b) –10y2 + 0,5y2 + y2 = (–10 + 0,5 + 1)y2 = –8,5y2.

c) –21z2 – 10z2 + 99z2 = (–21 – 10 + 99)z2 = 68z2.

Bài 2. Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến? Tìm biến và bậc của đa thức đó.

a) x2 + x – 1;                   

b) y2 + 2x + $\frac{1}{\mathrm{y}};$               

c) 2z + 3;                         

d) –t2023 + 3t2022 + 1.

Hướng dẫn giải

a) x2 + x – 1 là đa thức một biến x có bậc là 2;

b) y2 + 2x + $\frac{1}{\mathrm{y}}$ không phải là đa thức một biến;

c) 2z + 3 là đa thức một biến z có bậc là 1;

d) –t2023 + 3t2022 + 1 là đa thức một biến t có bậc là 2023.

Bài 3. Cho đa thức A(x) = x3 + 2x2 + x. Trong các số –2, –1, 0, 1, 2 thì số nào là nghiệm của đa thức A(x)?

Hướng dẫn giải

Ta có: đa thức A(x) = x3 + 2x2 + x

• A(–2) = (–2)3 + 2.(–2)2 + (–2)

= –8 + 8 – 2 = –2 ≠ 0.

Do đó x = –2 không phải là nghiệm của A(x).

• A(–1) = (–1)3 + 2.(–1)2 + (–1)

= –1 + 2 – 1 = 0.

Do đó x = –1 là nghiệm của A(x).

• A(0) = 03 + 2.02 + 0 = 0

Do đó x = 0 là nghiệm của A(x).

• A(1) = 13 + 2.12 + 1

= 1 + 2 + 1 = 4 ≠ 0.

Do đó x = 1 không phải là nghiệm của A(x).

• A(2) = 23 + 2.22 + 2

= 8 + 8 + 2 = 16 ≠ 0.

Do đó x = 2 không phải là nghiệm của A(x).

Vậy x = –1 và x = 0 là hai nghiệm của đa thức A(x).

Bài 4. Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức sau đây theo luỹ thừa giảm của biến rồi tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đó.

a) P(x) = –2 + 4x5 – 2x3 – 4x5 + 3x + 3.

b) Q(x) = –5x3 + 4 – 3x + 4x3 + x2 + 6x – 3.

Hướng dẫn giải

a) P(x) = –2 + 4x5 – 2x3 – 4x5 + 3x + 3

= (4x5 – 4x5) – 2x3 + 3x + (3 – 2)

= –2x3 + 3x + 1

Bậc của P(x) là 3 vì số mũ cao nhất của biến bằng 3.

Hệ số cao nhất của P(x) là –2 vì hệ số của lũy thừa với số mũ cao nhất của biến bằng –2.

Hệ số tự do của P(x) là 1 vì số hạng không chứa biến của đa thức bằng 1.

b) Q(x) = –5x3 + 4 – 3x + 4x3 + x2 + 6x – 3

= (–5x3 + 4x3) + x2 + (–3x + 6x) + (4 – 3)

= –x3 + x2 + 3x + 1

Bậc của Q(x) là 3 vì số mũ cao nhất của biến bằng 3.

Hệ số cao nhất của Q(x) là –1 vì hệ số của lũy thừa với số mũ cao nhất của biến bằng –1.

Hệ số tự do của Q(x) là 1 vì số hạng không chứa biến của đa thức bằng 1.