Lý thuyết Góc. Đường thẳng song song (Cánh diều 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Chương 4: Góc. Đường thẳng song song

A. Lý thuyết Chương 4: Góc. Đường thẳng song song

1. Góc ở vị trí đặc biệt

1.1 Hai góc kề nhau

Hai góc kề nhau là hai góc có đỉnh chung, có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm về hai phía của đường thẳng chứa cạnh chung đó.

Tính chất:

- Cho góc xOz (khác góc bẹt) và tia Oy nằm trong góc đó. Khi đó hai góc xOy và yOz là hai góc kề nhau và $\widehat{xOz}=\widehat{xOy}+\widehat{yOz}$.

- Nếu góc xOz là góc bẹt thì với mỗi tia Oy (khác hai tia Ox, Oz), ta cũng có: $\widehat{xOz}=\widehat{xOy}+\widehat{yOz}$.

1.2 Hai góc bù nhau. Hai góc kề bù

- Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng 180°.

- Hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau gọi là hai góc kề bù.

Chú ý: Hai góc có một cạnh chung, hai cạnh còn lại là hai tia đối nhau là hai góc kề bù.

1.3 Hai góc đối đỉnh

- Hai góc đối đỉnh là hai góc mà mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh của góc kia.

- Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

2. Tia phân giác của một góc

2.1 Định nghĩa

Tia phân giác của một góc là tia nằm trong góc và tạo với hai cạnh của góc đó hai góc bằng nhau.

2.2 Vẽ tia phân giác của một góc

Cho góc xOy. Để vẽ tia phân giác của góc xOy ta có các cách sau:

Cách 1: Vẽ tia phân giác của một góc bằng thước thẳng và compa.

Bước 1: Trên tia Ox lấy điểm A bất kì (A khác O). Vẽ một phần đường tròn tâm O bán kính OA, cắt tia Oy tại điểm B.

Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính AO.

Bước 3: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính AO, cắt phần đường tròn tâm A bán kính AO tại điểm C nằm trong góc xOy.

Bước 4: Vẽ tia OC, ta được tia phân giác của góc xOy.

Cách 2: Dùng thước hai lề

Bước 1: Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với một trong hai cạnh của góc xOy; dùng bút, vạch một vạch thẳng theo cạnh kia của thước.

Bước 2: Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh còn lại của góc xOy; dùng bút, vạch một vạch thẳng theo cạnh kia của thước.

Bước 3: Hai nét vạch ở bước 1 và bước 2 cắt nhau tại điểm K nằm trong góc xOy. Vẽ tia OK, ta được tia này là tia phân giác của góc xOy.

3. Hai đường thẳng song song

3.1 Hai góc đồng vị. Hai góc so le trong

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại điểm A, B.

Khi đó, ta thấy:

+ Góc A1 và góc B1 ở “cùng một phía” của đường thẳng c.

+ Góc A1 ở “phía trên” đường thẳng a. Góc B1 cũng ở “phía trên” đường thẳng b.

Hai góc A1 và B1 ở vị trí như thế được gọi là hai góc đồng vị.

+ Góc A3 và góc B1 ở “hai phía” của đường thẳng c.

+ Góc A3 ở “phía dưới” của đường thẳng a. Góc B1 lại ở “phía trên” của đường thẳng b.

Hai góc A3 và B1 ở vị trí như thế gọi là hai góc so le trong.

3.2 Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

- Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì a và b song song với nhau.

- Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì a và b song song với nhau.

Nhận xét: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng luôn có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

3.3 Tiên đề Euclid về đường thẳng song song

Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Nhận xét: Nếu hai đường thẳng cùng đi qua điểm M và cùng song song song với đường thẳng a (M ∉ a) thì hai đường thẳng đó trùng nhau.

3.4 Tính chất của hai đường thẳng song song

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

- Hai góc đồng vị bằng nhau.

- Hai góc so le trong bằng nhau.

Chú ý: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng song song a và b thì:

+ Hai góc so le ngoài bằng nhau.

+ Hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng 1800.

4. Định lý

4.1 Định lí

Khẳng định có các tính chất sau thì được gọi là định lý:

- Là một phát biểu về một tính chất toán học;

- Tính chất toán học đó đã được chứng tỏ là đúng không dựa vào trực giác hay đo đạc,..

Nhận xét:

+ Định lý thường được phát biểu dưới dạng “Nếu … thì …”.

+ Phần nằm giữa từ “Nếu” và từ “thì” là phần giả thiết, phần nằm sau từ “thì” là phần kết luận.

4.2 Chứng minh định lý

Chứng minh định lý là một tiến trình lập luận từ giả thiết suy ra kết luận là đúng.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho định lí: “Hai tia phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc vuông”. Giả thiết, kết luận của định lí là:

A. Giả thiết: Cho góc bẹt AOB và tia OI; tia OJ là tia phân giác góc BOI, OK là tia phân giác AOI. Kết luận: $OJ\perp OK$;

B. Giả thiết: Cho góc bẹt AOB và tia OI; tia OJ là tia phân giác góc BOK, OK là tia phân giác AOI. Kết luận: $OI\perp OA$;                                               

C. Giả thiết: Cho góc bẹt AOB và tia OI; tia OJ là tia phân giác góc BOI, OK là tia phân giác AOK. Kết luận: $OI\perp OK$;                                             

D. Giả thiết: Cho góc bẹt AOB và tia OI; tia OJ là tia phân giác góc BOI, OK là tia phân giác AOI. Kết luận: $OB\perp OK$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giả thiết: Cho góc bẹt AOB và tia OI; tia OJ là tia phân giác góc BOI, OK là tia phân giác AOI. Kết luận $OJ\perp OK$.

Câu 2. Cho $\widehat{xOy}=120°$, tia Ot là tia phân giác của góc xOy. Tính số đo góc xOt

A. 120°;

B. 80°;                                                                          

C. 60°;                                                                          

D. 150°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có Ot là tia phân giác góc xOy  nên $\widehat{xOt}=\widehat{yOt}=\frac{\widehat{xOy}}{2}=\frac{120°}{2}=60°$.

Vậy $\widehat{xOt}=60°.$

Câu 3. Cho hình chữ nhật ABCD như hình vẽ. Biết IJ // AB và $\widehat{JOC}=30°$.

Số đo góc BAC là:

A. 60°;

B. 30°;                                                                   

C. 90°;

D. 80°.                                                                   

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì AB // IJ nên ta có: $\widehat{JOC}$ và $\widehat{BAC}$ là hai góc đồng vị

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{JOC}=30°$.

Vậy $\widehat{BAC}=30°$.

Câu 4. Cho hình vẽ dưới đây, biết a // b. Tính x, y.

A. x = 80° và y = 80°;                                                    

B. x = 60° và y = 80°;                                                    

C. x = 80° và y = 60°;                                                    

D. x = 60° và y = 60°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì a // b nên $\widehat{BAC}+\widehat{ACD}=180°$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra 100o + x = 180o

Do đó x = 180o ‒ 100° = 80°.

Vì a // b nên $\widehat{ABD}+\widehat{CDB}=180°$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra $\widehat{CDB}=180°-\widehat{ABD}$

$\widehat{CDB}=180°-120°=60°$.

Mà góc y và $\widehat{CDB}$ là hai góc đối đỉnh nên $y=\widehat{CDB}=60°$.

Vậy x = 80° và y = 60°.

Câu 5. Cho $\widehat{mOn}$ và $\widehat{nOp}$ là hai góc kề bù. Biết $\widehat{mOn}=110°$ và Ot là tia phân giác của góc nOp. Số đo góc mOt là:

A. 145°;

B. 135°;                                                                        

C. 45°;                                                                          

D. 35°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $\widehat{mOn}$ và $\widehat{nOp}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{mOn}+\widehat{nOp}=180°$.

Suy ra $\widehat{nOp}=180°-\widehat{mOn}$

Hay $\widehat{nOp}=180°-110°=70°$.

Mà $\widehat{nOt}=\widehat{tOp}=\frac{\widehat{nOp}}{2}$ (vì Ot là tia phân giác góc nOp)

Suy ra $\widehat{nOt}=\widehat{tOp}=\frac{\widehat{nOp}}{2}=\frac{70°}{2}=35°$.

Vì hai góc mOn và nOp là hai góc kề bù nên tia On nằm giữa hai tia Om và Op; tia Ot là phân giác của góc nOp nên tia Ot nằm giữa hai tia On và Op.

Do đó tia On nằm giữa hai tia Om và Ot

Suy ra $\widehat{mOt}=\widehat{mOn}+\widehat{nOt}$ suy ra $\widehat{mOt}=110°+35°=145°$

Vậy $\widehat{mOt}=145°$.

B.2 Bài tập tự luận

Bài 1. Biết góc xOz và xOt là hai góc kề bù. Hãy tính góc xOt.

Hướng dẫn giải

Vì góc xOz và góc xOt là hai góc kề bù nên $\widehat{xOz}+\widehat{xOt}=180°$.

Suy ra $75°+\widehat{xOt}=180°$ suy ra $\widehat{xOt}=180°-75°=105°$.

Vậy $\widehat{xOt}=105°$.

Bài 2. Cho định lý : “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau”. 

a) Vẽ hình minh họa nội dung định lý trên.

b) Viết giả thiết, kết luận của định lý trên.

c) Chứng minh định lý trên.

Hướng dẫn giải

a)

b)

 c) Chứng minh

Qua điểm B kẻ đường thẳng b’ sao cho góc $\widehat{B_2}=\widehat{A_1}$.

Khi đó đường thẳng c tạo với hai đường thẳng a và b’ hai góc đồng vị bằng nhau.

Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, ta có a và b’ song song với nhau.

Suy ra qua B có hai đường thẳng b, b’ cùng song song với a.

Theo Tiên đề Euclid thì hai đường thẳng b’ và b trùng nhau.

Từ đó suy ra $\widehat{B_2}=\widehat{A_1}$ (vì cùng bằng $\widehat{B_2}$).

Bài 3. Tìm x trong hình vẽ

Hướng dẫn giải

Góc aOc và góc cOb kề bù, mà $\widehat{cOb}=90°$ (góc vuông).

Nên $\widehat{aOc}=180°-\widehat{cOb}=180°-90°=90°$.

Ta có góc aOm và góc mOc là hai góc kề nhau.

Nên $\widehat{aOc}=\widehat{aOm}+\widehat{mOc}$, mà $\widehat{aOc}=90°$ 

Suy ra: $\widehat{mOc}=\widehat{aOc}-\widehat{aOm}=90°-30°=60°$.

Vì góc mOc và góc nOd đối đỉnh nên ta có $x=\widehat{nOd}=\widehat{mOc}=60°$.

Vậy $x=60°$.

Bài 4. Cho góc xAm có số đo bằng 65° và tia Am là tia phân giác của xAy. Tính số đo góc xAy.

Hướng dẫn giải

Vì Am là tia phân giác của góc xAy nên:

Ta có $\widehat{xAy}=2.\widehat{xAm}=2.65°=130°$.

Vậy $\widehat{xAy}=130°$.

Bài 5. Cho hình vẽ sau:

a) Vì sao a // b?

b) Tính số đo các góc C1, C2 trong hình vẽ.

Hướng dẫn giải

a) Ta có góc A1 và góc B2 là hai góc ở vị trí đồng vị, mà  $\widehat{A}=\widehat{B}=90°$.

Vậy nên a // b (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

b) Ta có góc C1 và D4 là hai góc trong cùng phía.

Mà a // b nên $\widehat{C_1}+\widehat{D_4}=180°$ 

Suy ra $\widehat{C_1}=180°-\widehat{D_4}=180°-80°=100°$.

Góc C2 và góc D4 ở vị trí so le trong nên $\widehat{C_2}=\widehat{D_4}=80°$.

Vậy $\widehat{C_1}=100°$; $\widehat{C_2}=80°$.

Bài 6. Hãy kể tên các cặp góc so le trong, đồng vị trong hình vẽ sau.

Hướng dẫn giải

- Các cặp góc so le trong là: A1 và B3; A4 và B2.

- Các cặp góc đồng vị là: A1 và B1; A2 và B2; A3 và B3; A4 và B4.

Bài 7. Cho góc xOy có số đo bằng 110°. Tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Tính số đo các góc xOz và yOz.

Hướng dẫn giải

Vì tia Oz là tia phân giác của góc xOy nên:

Ta có $\widehat{xOz}=\widehat{yOz}=\widehat{xOy}:2=110°:2=55°$.

Vậy $\widehat{xOz}=\widehat{yOz}=55°$.