Lý thuyết Đường vuông góc và đường xiên (Cánh diều 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

A. Lý thuyết

1. Đường vuông góc và đường xiên

Trong hình vẽ trên, ta gọi:

– Đoạn thẳng AH là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d;

– Điểm H là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d;

– Độ dài đoạn thẳng AH là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d;

– Đoạn thẳng AB là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

Ví dụ: Quan sát hình vẽ dưới đây:

Hãy cho biết:

a) Hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d; khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD bằng độ dài đoạn thẳng nào?

b) Đoạn thẳng nào là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d?

Hướng dẫn giải

a) Vì AH vuông góc với đường thẳng d tại H do đó:

Hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d là điểm H.

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD là AH = 5cm (do BD ≡ d).

b) Các đoạn thẳng AB; AC; AD là các đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

– Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ: Qua điểm O nằm ngoài đường thẳng a kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng a và cắt a tại B. Lấy hai điểm A và C nằm trên đường thẳng a và nằm về hai phía so với điểm B sao cho $\widehat{\text{OAB}}=60°$; $\widehat{\text{OCB}}=45°.$ So sánh độ dài các đoạn thẳng OA; OB; OC.

Hướng dẫn giải

Vì OB là đường vuông góc kẻ từ điểm O đến đường thẳng a và OA; OC là các đường xiên kẻ từ O đến đường thẳng a nên OB là đoạn thẳng ngắn nhất

Do đó OB < OA; OB < OC (1)

Xét ∆OAC có $\widehat{\text{OAC}}>\widehat{\text{OCA}}$ (vì 60° > 45°)

Suy ra: OC > OA (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OB < OA < OC.

Vậy OB < OA < OC.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh AC lấy điểm F. So sánh độ dài các cạnh EA và BF.

A. EA = BF;         

B. EA < BF;         

C. EA > BF;         

D. Không thể so sánh được.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có đoạn thẳng BA là đường vuông góc kẻ từ điểm B đến đường thẳng AC; đoạn thẳng BF là đường xiên kẻ từ điểm B đến đường thẳng AC.

Do đó BA < BF   (1).

Vì E thuộc cạnh AB (giả thiết) nên EA < BA   (2).

Từ (1), (2), ta suy ra EA < BA < BF.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 2. Trong hình bên có bao nhiêu đường xiên kẻ từ các điểm M, P, Q đến đường thẳng NT?

A. 2;            

B. 3;            

C. 4;            

D. 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Các đường thẳng không vuông góc với NT đều là đường xiên từ các điểm không thuộc đường thẳng NT đến đường thẳng NT.

Các đoạn thẳng MN, MT là các đường xiên kẻ từ điểm M đến đường thẳng NT.

Đoạn thẳng PT là đường xiên kẻ từ điểm P đến đường thẳng NT.

Đoạn thẳng QS là đường xiên kẻ từ điểm Q đến đường thẳng NT.

Do đó có 4 đường xiên kẻ từ các điểm M, P, Q đến đường thẳng NT.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 3. Cho ∆ABC có $\widehat{\mathrm{ABC}}=30°$, $\widehat{\mathrm{ACB}}=70°$. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. HA > AC;                   

B. HA < AC;                   

C. HA = AC;                   

D. $\widehat{\mathrm{BAC}}=70°$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta xét đáp án D:

∆ABC có: $\widehat{\mathrm{BAC}}+\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{ACB}}=180°$(định lí tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{BAC}}=180°-\widehat{\mathrm{ABC}}-\widehat{\mathrm{ACB}}=180°-30°-70°=80°\ne 70°$.

Do đó đáp án D sai.

Ta xét đáp án A, B, C:

Ta có AH là đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC; AC là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng AC.

Do đó AH < AC.

Suy ra đáp án B đúng, đáp án A, C sai.

Vậy ta chọn đáp án B.

B.2 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho tam giác ABC có AH, BK, CL là các đường cao kẻ từ các đỉnh tương ứng. Chứng minh rằng: AH + BK + CL < AB + BC + CA.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có:

• AH là đường vuông góc;

• AB, AC là các đường xiên kẻ từ A tới BC.

Do đó $\left\{\begin{array}{c}\text{AH < AB}\\ \text{AH < AC}\end{array}\right.$ nên AH + AH < AB + AC

Hay 2AH < AB + AC

Suy ra AH < $\frac{1}{2}(\text{AB + AC)}$        (1)

+) Ta có BK là đường vuông góc và BA, BC là các đường xiên kẻ từ B tới AC.

Do đó $\left\{\begin{array}{c}\text{BK < BA}\\ \text{BK < BC}\end{array}\right.$ nên 2BK < BA + BC

Suy ra BK < $\frac{1}{2}(\mathrm{BA}\text{ + BC)}$        (2)

+) Ta có CL là đường vuông góc và CB, CA là các đường xiên kẻ từ B tới AB.

Do đó $\left\{\begin{array}{c}\text{CL < CA}\\ \text{CL < CB}\end{array}\right.$ nên 2CL < CA + CB

Suy ra CL < $\frac{1}{2}(\mathrm{CA}\text{ + CB)}$         (3)

Từ (1) (2) và (3) suy ra:

AH + BK + CL < $\frac{1}{2}(\text{AB + AC)}$+ $\frac{1}{2}(\mathrm{BA}\text{ + BC)}$+ $\frac{1}{2}(\mathrm{CA}\text{ + CB)}$

Suy ra AH + BK + CL < $\frac{1}{2}\text{AB + }\frac{1}{2}\text{AC + }\frac{1}{2}\text{BA +}\frac{1}{2}\text{BC +}\frac{1}{2}\text{CA + }\frac{1}{2}\text{CB}$

AH + BK + CL < $\left(\frac{1}{2}\text{AB + }\frac{1}{2}\text{BA}\right)\text{ + }\left(\frac{1}{2}\text{BC + }\frac{1}{2}\text{CB}\right)\text{ +}\left(\frac{1}{2}\text{AC +}\frac{1}{2}\text{CA}\right)$

Hay AH + BK + CL < AB + BC + CA.

Vậy AH + BK + CL < AB + BC + CA.

Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của A và C trên đường thẳng BM. So sánh BD + BE và 2AB.

Hướng dẫn giải

Vì D, E lần lượt là hình chiếu của A và C trên đường thẳng BM

Nên AD ⊥ BM tại D suy ra $\widehat{\text{ADM}}=90°$

Và CE ⊥ BM tại E suy ra $\widehat{\text{CEM}}=90°$

Xét DADM và DCEM có:

$\widehat{\mathrm{ADM}}=\widehat{\mathrm{CEM}}\left(=90°\right),$

AM = CM (vì M là trung điểm của AC)

$\widehat{\text{AMD}}=\widehat{\text{CME}}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra ∆ADM = ∆CEM (cạnh huyền – góc nhọn)

Do đó DM = EM (hai cạnh tương ứng)

Ta có: BD + BE

= BD + (BM + ME)

= (BD + ME) + BM

Mà DM = ME (chứng minh trên)

Nên BD + BE = (BD + DM) + BM

= BM + BM = 2BM         (1)

Vì DABM có $\widehat{\text{BAM}}=90°$(do DABC vuông tại A) nên DABM vuông tại A.

Suy ra BM > AB (vì trong tam giác vuông thì cạnh huyền là cạnh lớn nhất).

Hay 2BM > 2AB             (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD + BE = 2BM > 2AB.

Vậy BD + BE > 2AB.

Bài 3. Cho ∆ABC có $\widehat{\text{C}}=90°$, AC < BC, kẻ CH ⊥ AB tại H. Trên các cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = BC, CN = CH. Chứng minh rằng:

a) MN ⊥ AC;

b) AC + BC < AB + CH.

Hướng dẫn giải

Xét ∆BMC có BM = BC (giả thiết) nên ∆BMC cân tại B.

Suy ra $\widehat{\text{BMC}}=\widehat{\text{BCM}}$(tính chất tam giác cân) (1)

Vì CH ⊥ AB tại H nên ∆CHM vuông tại H.

Suy $\widehat{\text{CMH}}+\widehat{\text{MCH}}=90°$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Hay $\widehat{\text{MCH}}+\widehat{\text{BMC}}=90°$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{MCH}}+\widehat{\text{MCB}}=90°$(3)

Ta có $\widehat{\text{NCM}}+\widehat{\text{MCB}}=90°$ (vì ∆ABC vuông tại C) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $\widehat{\text{NCM}}=\widehat{\mathrm{MCH}}$

Xét ∆NCM và ∆HCM có:

CN = CH (giả thiết),

$\widehat{\text{NCM}}=\widehat{\mathrm{MCH}}$ (chứng minh trên),

CM là cạnh chung.

Suy ra ∆NCM = ∆HCM (c.g.c)

Suy ra $\widehat{\mathrm{MNC}}=\widehat{\text{MHC}}=90°$ (hai góc tương ứng)

Do đó MN ⊥ AC tại N.

Vậy MN ⊥ AC.

b) Ta có AB + CH = AM + MB + CH

Mà BM = BC; CH = CN (giả thiết)

Do đó AB + CH = AM + BC + CN (5)

Theo phần a ta có: MN ⊥ AC tại N nên ∆ANM vuông tại N.

Do đó cạnh huyền AM là cạnh lớn nhất.

Suy ra AM > AN.

Hay AM + CN > AN + CN

Suy ra AM + CN > AC

Do đó AM + CN + BC > AC + BC (6)

Từ (5) và (6) suy ra: AB + CH > AC + BC

Vậy AC + BC < AB + CH.