Lý thuyết Số thực (Cánh diều 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Chương 2: Số thực

A. Lý thuyết Chương 2: Số thực

1. Số vô tỉ

1.1 Khái niệm số vô tỉ

Trong đời sống thực tiễn của con người, ta thường gặp những số không phải là số hữu tỉ. Những số không phải là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.

1.2 Số thập phân vô hạn không tuần hoàn

Những số thập phân vô hạn mà phần thập phân của nó không có một chu kì nào cả, những số đó được gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

1.3 Biểu diễn thập phân của số vô tỉ

Số vô tỉ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

2. Căn bậc hai số học

- Căn bậc hai số học của một số a không âm là số x không âm sao cho x2 = a.

- Căn bậc hai số học của số a (a ≥ 0) được kí hiệu là $\sqrt{\mathrm{a}}$.

- Căn bậc hai số học của số 0 là số 0, viết là: $\sqrt{0}=0$.

Chú ý: Cho a ≥ 0. Khi đó: 

+  Đẳng thức $\sqrt{\mathrm{a}}$ = b là đúng nếu b ≥ 0 và b2 = a.

+  ${\left(\sqrt{\mathrm{a}}\right)}^2=\mathrm{a}$.

Nhận xét:

- Nếu số nguyên dương a không phải là bình phương của bất kì số nguyên dương nào thì  $\sqrt{\mathrm{a}}$ là số vô tỉ.

- Ta có thể tính được giá trị (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai số học của một số dương bằng máy tính cầm tay.

3. Tập hợp số thực

3.1 Số thực

- Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

- Tập hợp các số thực được kí hiệu là ℝ.

3.2 Biểu diễn thập phân của số thực

 - Mỗi số thực là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ. Vì thế, mỗi số thực đều biểu diễn được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn. Ta có sơ đồ sau:

4. Biểu diễn số thực trên trục số

Tương tự như đối với số hữu tỉ, ta có thể biểu diễn mọi số thực trên trục số, khi đó điểm biểu diễn số thực x được gọi là điểm x.

Nhận xét:

- Không phải mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số hữu tỉ. Vậy các điểm biểu diễn số hữu tỉ không lấp đầy trục số.

- Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số; ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Vậy trục số còn được gọi là trục số thực.

5. Số đối của một số thực

- Trên trục số, hai số thực (phân biệt) có điểm biểu diễn nằm về hai phía của điểm gốc 0 và cách đều điểm gốc 0 được gọi là hai số đối nhau.

- Số đối của số thực a kí hiệu là – a.

- Số đối của số 0 là 0.

Nhận xét: Số đối của – a là số a, tức là –(–a) = a.

6. So sánh các số thực

6.1 So sánh hai số thực

Cũng như số hữu tỉ, trong hai số thực khác nhau luôn có một số nhỏ hơn số kia.

- Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta biết a < b hay b > a.

- Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương.

- Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.

- Số 0 không phải là số thực dương cũng không phải số thực âm.

- Nếu a < b và b < c thì a < c.

6.2 Cách so sánh hai số thực

- Ta có thể so sánh hai số thực bằng cách biểu diễn thập phân mỗi số thực đó rồi so sánh hai số thập phân đó.

- Việc biểu diễn một số thực dưới dạng số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn) thường là phức tạp. Trong một số trường hợp ta dùng quy tắc: Với a, b là hai số thực dương, nếu a > b thì $\sqrt{\mathrm{a}}>\sqrt{\mathrm{b}}$.

6.3 Minh họa trên trục số

Giả sử hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x, y trên trục số nằm ngang. Ta có nhận xét sau:

- Nếu x < y hay y > x thì điểm x nằm bên trái điểm y;

- Ngược lại nếu điểm x nằm bên trái điểm y thì x < y hay y > x.

Đối với hai điểm x, y lần lượt biểu diễn hai số thực x, y trên trục số thẳng đứng, ta cũng có nhận xét sau:

- Nếu x < y hay y > x thì điểm x nằm phía dưới điểm y;

- Ngược lại, nếu điểm x nằm phía dưới điểm y thì x < y hay y > x.

7. Khái niệm giá trị tuyệt đối của số thực

- Khoảng cách từ điểm x đến điểm gốc 0 trên trục số được gọi là giá trị tuyệt đối của số x, kí hiệu |x|.

Nhận xét:

- Giá trị tuyệt đối của một số luôn là một số không âm: |x| ≥ 0 với mọi số thực x.

- Hai số thực đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

8. Tính chất giá trị tuyệt đối của số thực

- Nếu x là số dương thì giá trị tuyệt đối của x là chính nó: |x| = x (x > 0).

- Nếu x là số âm thì giá trị tuyệt đối của x là số đối của nó: |x| = – x (x < 0).

- Giá trị tuyệt đối của 0 là 0: |0| = 0.

Nhận xét: Với mỗi số thực x, ta có:

+)    $\left|\mathrm{x}\right|=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}\mathrm{khi}\text{ x }\ge \text{0}\\ -\mathrm{x}\text{ khi x < 0}\end{array}\right.$.

+)    |– x| = |x|.

Chú ý: Giả sử hai điểm A, B lần lượt biểu diễn hai số thực a, b khác nhau trên trục số. Khi đó, độ dài của đoạn thẳng AB là |a – b|, tức là AB = |a – b|.

9. Làm tròn số

9.1 Số làm tròn

Ở nhiều tình huống thực tiễn ta cần tìm một số thực khác xấp xỉ với số thực đã cho để thuận tiện hơn trong ghi nhớ, đo đạc, hay tính toán. Số thực tìm được như thế được gọi là số làm tròn của số thực đã cho.

9.2 Làm tròn số với độ chính xác cho trước

Ta nói số a được làm tròn đến số b với độ chính xác d nếu khoảng cách giữa điểm a và điểm b trên trục số không vượt quá d.

Nhận xét:

- Khi làm tròn số đến một hàng nào đó thì độ chính xác bằng nửa đơn vị của hàng làm tròn.

- Để làm tròn số với độ chính xác cho trước, ta có thể sử dụng cách ở bảng sau:

- Để làm tròn một số thập phân âm, ta chỉ cần làm tròn số đối của nó rồi đặt dấu “–” trước kết quả.

Chú ý: Trong đo đạc và tính toán thực tiễn, ta thường có gắng làm tròn số thực với độ chính xác d nhỏ nhất càng tốt. Trong thực tế, làm tròn số thực là một công việc có nhiều khó khăn. Tuy nhiên, người ta cũng biết một số cách để làm tròn số thực.

10. Ước lượng

Trong thực tiễn, đôi lúc ta không quá quan tâm đến tính chính xác của kết quả tính toán mà chỉ cần ước lượng kết quả, tức là tìm một số gần sát với kết quả chính xác.

11. Tỉ lệ thức

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ và $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$, viết là $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$.

Chú ý: Tỉ lệ thức $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$ còn được viết là a : b = c : d; các số a, b, c, d gọi là các số hạng của tỉ lệ thức.

12. Tính chất của tỉ lệ thức

12.1 Tính chất 1

Nếu $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$ thì ad = bc.

12.2 Tính chất 2

Nếu ad = bc và a, b, c, d đều khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức:

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$;   $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{d}}$;  $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$;  $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$.

Nhận xét: Với a, b, c, d đều khác 0 thì từ một trong năm đẳng thức sau đây, ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.

13. Khái niệm dãy tỉ số bằng nhau

Những tỉ số bằng nhau và được viết nối với nhau bởi các dấu đẳng thức tạo thành dãy tỉ số bằng nhau.

Chú ý:

- Với dãy tỉ số bằng nhau $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{g}}$ ta cũng viết a : b = c : d = e : g.

- Khi có dãy tỉ số bằng nhau $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{g}}$, ta nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, g và viết là a : c : e = b : d : g.

14. Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Từ tỉ lệ thức $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$, ta suy ra:

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{c}}{\mathrm{b}+\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{c}}{\mathrm{b}-\mathrm{d}}$( b ≠ d và b ≠ –d).

Nhận xét: Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau. Chẳng hạn từ dãy tỉ số bằng nhau  $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{g}}$, ta suy ra:

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{c}+\mathrm{e}}{\mathrm{b}+\mathrm{d}+\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{c}+\mathrm{e}}{\mathrm{b}-\mathrm{d}+\mathrm{g}}$  (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

15. Ứng dụng của dãy tỉ số bằng nhau

Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, chẳng hạn, ứng dụng vào bài toán chia đại lượng cho trước thành các phần theo tỉ lệ cho trước.

16. Đại lượng tỉ lệ thuận

- Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = kx (với k là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

- Nếu y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{\mathrm{k}}$. Ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

17. Tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận

Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

- Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi;

- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Cụ thể: Giả sử y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k. Với mỗi giá trị x1, x2, x3,… khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng y1, y2, y3­, … của y. Khi đó:

$\frac{{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{x}}_1}=\frac{{\mathrm{y}}_2}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{{\mathrm{y}}_3}{{\mathrm{x}}_3}=\mathrm{...}=\mathrm{k};$

$\frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{y}}_2};\frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_3}=\frac{{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{y}}_3};\mathrm{...}$

18. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Bài toán 1:  Một máy in trong 5 phút in được 120 trang. Hỏi trong 3 phút máy in đó in được bao nhiêu trang?

Hướng dẫn giải

Gọi x (phút), y (trang) lần lượt là thời gian in và số trang mà máy in đã in được. Khi đó mỗi quan hệ giữa thời gian (x) và số trang in được (y) được cho bởi bảng sau:

Thời gian (x)	x1 = 5	x2 = 3
Số trang in (y)	y1 = 120	y2 = ?

Ta có thời gian in tỉ lệ thuận với số trang in được theo hệ số tỉ lệ $\mathrm{k}=\frac{120}{5}=24$.

Suy ra $\frac{{\mathrm{y}}_2}{3}=24$. Vì thế y2 = 24 . 3 = 72.

Vậy trong 3 phút máy in in được 72 trang.

Bài toán 2: Hai thanh chì có thể tích là 12 cm3 và 17 cm3. Hỏi mỗi thanh nặng bao nhiêu gam, biết rằng thanh thứ hai nặng hơn thanh thứ nhất 56,5 g?

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng của hai thanh chì tương ứng là m1 gam và m2 gam. Khi đó m2 – m1 = 56,5 (g)

Do khối lượng và thể tích của vật thể là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Do đó, ta có:

$\frac{{\mathrm{m}}_1}{12}=\frac{{\mathrm{m}}_2}{17}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: $\frac{{\mathrm{m}}_1}{12}=\frac{{\mathrm{m}}_2}{17}=\frac{{\mathrm{m}}_2-{\mathrm{m}}_1}{17-12}=\frac{56,5}{5}=11,3$.

Suy ra m1 = 12 . 11,3 = 135,6 ;   m2 = 17 . 11,3 = 192,1.

Vậy hai thanh chì có khối lượng là 135,6 gam và 192,1 gam.

19. Đại lượng tỉ lệ nghịch

- Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}$ hay xy = a (với a là một hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a.

- Nếu y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a thì x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ a. Ta nói x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Ví dụ: Nếu $\mathrm{y}=\frac{-5}{\mathrm{x}}$ thì ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ –5. Khi đó x cũng tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ –5.

20. Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch

Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau thì:

- Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ).

- Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng nghịch đảo của tỉ lệ hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Giả sử y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. Với mỗi giá trị x1, x2, x3, … khác 0 của x, ta có một giá trị tương ứng y1, y2, y3,… của y. Khi đó:

x $\frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{{\mathrm{y}}_2}{{\mathrm{y}}_1};\frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_3}=\frac{{\mathrm{y}}_3}{{\mathrm{y}}_1};\mathrm{...}$1 y1  =  x2 y2 = x3 y3 = …= a hay  $\frac{{\mathrm{x}}_1}{\frac{1}{{\mathrm{y}}_1}}=\frac{{\mathrm{x}}_2}{\frac{1}{{\mathrm{y}}_2}}=\frac{{\mathrm{x}}_3}{\frac{1}{{\mathrm{y}}_3}}=\mathrm{...}=\mathrm{a};$

 

21. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Chú ý:

- Năng suất lao động và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

- Số công nhân và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Bài toán 1: Cho biết 35 công nhân xây một ngôi nhà hết 168 ngày. Hỏi nếu chỉ có 28 công nhân xây ngôi nhà đó thì hết bao nhiêu ngày (giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau).

Hướng dẫn giải

Gọi x (công nhân), y (ngày) lần lượt là số công nhân và thời gian xây xong ngôi nhà. Khi đó, mối quan hệ giữa số công nhân (x) và thời gian xây xong ngôi nhà (y) được cho bởi bảng:

Số công nhân (x)	x1 = 35	x2 = 28
Thời gian xây xong nhà (y)	y1 = 168	y2 = ?

Ta có thời gian xây xong nhà (y) tỉ lệ nghịch với số công nhân làm việc theo hệ số tỉ lệ

a =  x1 .  y1 = 35 . 168 = 5 880.

Suy ra 28 . y2 = 5 880. Vì thế y2 = 5 880 : 28 = 210 (ngày)

Vậy 28 công nhân xây xong ngôi nhà trong 210 ngày.

Bài toán 2: Để tổ chức liên hoan cho gia đình, bác Ngọc dự định mua 2,9 kg thực phẩm gồm: thịt bò, thịt lợn, tôm sú. Số tiền bác Ngọc mua mỗi loại thực phẩm là như nhau. Biết giá thịt bò là 280 nghìn đồng/kg, giá thịt lợn là 160 nghìn đồng/kg và tôm sú là 320 nghìn đồng/kg. Mỗi loại thực phẩm bác Ngọc mua được là bao nhiêu kg?

Hướng dẫn giải

Gọi x (kg), y (kg), z (kg) lần lượt là số lượng thịt bò, thịt lợn, tôm sú mà bác Ngọc mua được. Khi đó: x + y + z = 2,9.

Vì số tiền mua mỗi loại thực phẩm là như nhau nên 280 . x = 160 . y = 320 . z

hay 7 . x  =  4 . y  =  8 . z             (chia đồng thời các vế cho 40).

Do đó : $\frac{\mathrm{x}}{\frac{1}{7}}=\frac{\mathrm{y}}{\frac{1}{4}}=\frac{\mathrm{z}}{\frac{1}{8}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{x}}{\frac{1}{7}}=\frac{\mathrm{y}}{\frac{1}{4}}=\frac{\mathrm{z}}{\frac{1}{8}}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}}{\frac{1}{7}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}=\frac{2,9}{\frac{29}{56}}=5,6$.

Do đó:

$\mathrm{x}=5,6\cdot \frac{1}{7}=0,8$ (kg).

$\mathrm{y}=5,6\cdot \frac{1}{4}=1,4$ (kg).

$\mathrm{z}=5,6\cdot \frac{1}{8}=0,7$ (kg).

Vậy Bác Ngọc mua 0,8 kg thịt bò, 1,4 kg thịt lợn và 0,7 kg tôm sú.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Bác Linh định mua 15 gói bánh với số tiền định trước. Nhưng khi đến siêu thị vào ngày lễ thì giá bánh tăng 25%. Hỏi với số tiền định trước đó thì chị Linh mua được bao nhiêu gói bánh?

A. 8 gói;

B. 10 gói;

C. 12 gói;

D. 14 gói.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C.

Vì giá bánh tăng lên 25% nên giá bánh mới sẽ bằng 125% giá bánh gốc.

Ta có 125% = $\frac{5}{4}$, do đó giá bánh mới bằng $\frac{5}{4}$ giá bánh gốc.

Gọi số gói bánh mà bác Linh sẽ mua được là x (gói).

Vì số gói bánh mua được tỉ lệ nghịch với giá tiền một gói bánh nên tỉ số của số gói bánh mua dự định với số gói bánh mua thực tế là $\frac{5}{4}$.

Do đó ta có: $\frac{15}{\mathrm{x}}=\frac{5}{4}$.

Vậy số gói bánh mà bác Linh mua được là: x = $\frac{15.4}{5}=12$ (gói).

Vậy bác Linh sẽ mua được 12 gói bánh.

Câu 2. Bạn Minh mua tổng cộng 34 quyển vở gồm ba loại: loại 120 trang giá 6 nghìn đồng một quyển, loại 200 trang giá 9 nghìn đồng một quyển và loại 240 trang giá 10 nghìn đồng một quyển. Hỏi Minh mua bao nhiêu quyển vở loại 240 trang, biết rằng số tiền bạn ấy dành để mua mỗi loại vở là như nhau?

A. 20 quyển;

B. 15 quyển;

C. 10 quyển;

D. 9 quyển.

Hướng dân giải

Đáp án đúng là: D.

Gọi số vở Minh mua ba loại 120 trang, 200 trang và 240 trang lần lượt là x, y, z quyển (x, y, z > 0 và x, y, z ∈ ℕ).

Bạn Minh mua tổng cộng 34 quyển vở nên ta có x + y + z = 34.

Do số tiền Minh dành để mua mỗi loại vở là như nhau nên 6x = 9y = 10z.

Do đó $\frac{\mathrm{x}}{\frac{1}{6}}=\frac{\mathrm{y}}{\frac{1}{9}}=\frac{\mathrm{z}}{\frac{1}{10}}$.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{x}}{\frac{1}{6}}=\frac{\mathrm{y}}{\frac{1}{9}}=\frac{\mathrm{z}}{\frac{1}{10}}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}}{\frac{1}{6}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}}{\frac{15}{90}+\frac{10}{90}+\frac{9}{90}}=\frac{34}{\frac{34}{90}}=90$.

Suy ra: $\frac{\mathrm{z}}{\frac{1}{10}}=90$ do đó $\mathrm{z}=90.\frac{1}{10}$ hay z = 9;

Vậy Minh mua 9 quyển loại 240 trang.

Câu 3. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. Nếu a ∈ ℚ thì a không thể là số vô tỉ;

B. Nếu a ∈ ℤ thì a không thể là số vô tỉ;

C. Nếu a ∈ ℕ thì a không thể là số vô tỉ;

D. Nếu a ∈ ℝ thì a không thể là số vô tỉ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D.

Tập hợp ℚ là tập hợp các số hữu tỉ nên không thể là số vô tỉ. Do đó phương án A là phát biểu đúng.

Tập hợp ℤ là tập hợp các số nguyên nên không thể là số vô tỉ. Do đó phương án B là phát biểu đúng.

Tập hợp ℕ là tập hợp các số tự nhiên nên không thể là số vô tỉ. Do đó phương án C là phát biểu đúng.

Tập hợp ℝ là tập hợp các số thực, bao gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ. Do đó phương án D là phát biểu sai.

Câu 4. Thực hiện phép tính |–3,7| + 6,3 + |–1,4| – |3,7| – |6,3| ta được kết quả là:

A. –1,4;

B. 1,4;

C. 21,4;

D. 18,6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B.

|–3,7| + 6,3 + |–1,4| – |3,7| – |6,3|

= –(–3,7) + 6,3 + [–(–1,4)] – 3,7 – 6,3

= 3,7 + 6,3 + 1,4 – 3,7 – 6,3

= (3,7 – 3,7) + 1,4 + (6,3 – 6,3)

= 0 + 1,4 – 0

= 1,4.

Câu 5. Cho $\frac{-6}{\mathrm{x}}=\frac{9}{-15}$. Giá trị x thoả mãn là:

A. x = −10;

B. x = 10;

C. x = 3,6;

D. x = −3,6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B.

Từ tỉ lệ thức $\frac{-6}{\mathrm{x}}=\frac{9}{-15}$ ta có 9x = (−6).(−15)

Do đó 9x = 90.

Suy ra x = 90 : 9

x = 10.

Vậy x = 10.

Câu 6. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |2x – 1| + 5 là:

A. 0;

B. 4;

C. 5;

D. 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C.

Ta có |2x – 1| ≥ 0 với mọi x nên |2x – 1| + 5 ≥ 5 với mọi x

Do đó A đạt giá trị nhỏ nhất là 5 khi 2x – 1= 0 tức là 2x = 1 hay $\mathrm{x}=\frac{1}{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 5.

Câu 7. Kết quả của phép tính $0,3.\left(-\sqrt{49}\right)+\sqrt{0,8}.\sqrt{\frac{4}{5}}$ là:

A. 1,3;

B. −1,3;

C. 2,9;

D. −2,9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B.

Ta có $0,3.\left(-\sqrt{49}\right)+\sqrt{0,8}.\sqrt{\frac{4}{5}}$

$=0,3.\left(-\sqrt{7^2}\right)+\sqrt{0,8}.\sqrt{0,8}$ 

$=0,3.\left(-7\right)+{\left(\sqrt{0,8}\right)}^2$ 

= −2,1 + 0,8

= −1,3.

Câu 8. Số thực dương thích hợp điền vào $\boxed{?}$ trong tỉ lệ thức $\frac{\boxed{?}}{4}=\frac{16}{\boxed{?}}$ là:

A. 64;

B. 32;

C. 8;

D. –8 hoặc 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D.

Gọi số thực dương cần tìm là x (x > 0).

Từ tỉ lệ thức $\frac{\boxed{?}}{4}=\frac{16}{\boxed{?}}$ ta có $\frac{\mathrm{x}}{4}=\frac{16}{\mathrm{x}}$ 

Suy ra x.x = 4. 16

Hay x2 = 64

x2 = 82 = (–8)2

Mà x > 0 nên x = 8.

Vậy số cần điền là 8.

Câu 9. Chọn câu đúng.

Cho biết 9x = 5y và 3x – 2y = 12. Giá trị x và y là:

A. x = 5; y = 9;

B. x = 2; y = 3;

C. x = − 20; y = −36;

D. x = 20; y = 36.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C.

Từ đẳng thức 9x = 5y suy ra tỉ lệ thức $\frac{\mathrm{x}}{5}=\frac{\mathrm{y}}{9}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{x}}{5}=\frac{\mathrm{y}}{9}=\frac{3\mathrm{x}}{15}=\frac{2\mathrm{y}}{18}=\frac{3\mathrm{x}-2\mathrm{y}}{15-18}=\frac{12}{-3}=-4.$

Do đó:

+) $\frac{\mathrm{x}}{5}=-4$ do đó x = (−4).5 = −20;

+) $\frac{\mathrm{y}}{9}=-4$ do đó y =  (−4).9 = −36.

Vậy x = − 20; y = −36.

Câu 10. Cứ 100 kg thóc thì cho 65 kg gạo. Hỏi 3 tấn thóc thì cho số kg gạo là:

A. 1950 kg;

B. 0,65 tấn;

C. 35 kg;

D. 6500 kg.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A.

Vì khối lượng gạo y (kg) tỉ lệ thuận với khối lượng thóc x (kg) nên ta có y = kx.

Khi x = 100 thì y = 65 nên 65 = k.100

Do đó $\mathrm{k}=\frac{65}{100}=0,65$.

Vậy y = 0,65x

Đổi 3 tấn = 3 000 kg.

Với x = 3 000 thì y = 0,65.3000 = 1950 (kg).

Vậy với 3 tấn thóc thì cho 1950 kg gạo.

B.2 Bài tập tự luận

Bài 1. Tìm giá trị của:

a) $\sqrt{\frac{1}{4}}$ ;

b) $\sqrt{0,49}$.

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$         (vì ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$).

b) $\sqrt{0,49}=0,7$                (vì (0,7)2 = 0,49).

Bài 2. Tìm số đối của mỗi số sau: $\frac{-5}{6}$ ; 1,25 ; $\sqrt{11}$ ; $-\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Số đối của số thực $\frac{-5}{6}$ là: $-\left(\frac{-5}{6}\right)=\frac{5}{6}$.

Số đối của số thực 1,25 là –1,25.

Số đối của $\sqrt{11}$ là $-\sqrt{11}$.

Số đối của số thực $-\sqrt{3}$ là $-(-\sqrt{3})=\sqrt{3}$.

Bài 3. Tính giá trị của biểu thức

a) $\sqrt{0,81}+\sqrt{49}$;

b) $0,2.\sqrt{4}-0,1.\sqrt{100}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\sqrt{0,81}=0,9$ và $\sqrt{49}=7$.

Nên  $\sqrt{0,81}+\sqrt{49}=0,9+7=7,9$.

b) Ta có$\sqrt{4}=2$ và $\sqrt{100}=10$.

Nên  $0,2.\sqrt{4}-0,1.\sqrt{100}=0,2.2-0,1.10=0,4-1=-0,6$.

Bài 4. So sánh

a) $2\frac{1}{7}$ và 2,142;

b) 3 và $\sqrt{8}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta viết $2\frac{1}{7}=\frac{15}{7}=2,\mathrm{142857142857...}$. Và so sánh với số 2,1420

Ta thấy kể từ trái sang phải, cặp chữ số cùng hàng đầu tiên khác nhau là cặp chữ số ở vị trí hàng phần chục nghìn.

Do 8 > 0 nên 2,142857142857…> 2,1420. Vậy $2\frac{1}{7}$ > 2,142.

b) Ta có 3 > 0 và 32 = 9 nên $\sqrt{9}=3$. Để so sánh 3 và $\sqrt{8}$ ta sẽ so sánh $\sqrt{9}$ và $\sqrt{8}$.

Ta có 9 > 8 > 0 nên $\sqrt{9}$ > $\sqrt{8}$. Suy ra 3 > $\sqrt{8}$.

Bài 5. Tính giá trị của biểu thức sau

a) | – 100|  – | 34|;

b) |12|  + 3. | – 8|.

Hướng dẫn giải

a) |– 100|  – |34| = 100 – 34 = 66.

b) |12|  + 3. |– 8| = 12 + 3.8 = 12 + 24 = 36.

Bài 6. Tìm x biết

a) |x| = 1;

b) |x – 3| = – 2;

c) |x + 0,5| = 4.

Hướng dẫn giải

a) |x| = 1 nên x = 1 hoặc x =  –1.

b) | x – 3| ≥ 0 với mọi số thực x, nên không có số thực x nào thỏa mãn | x – 3| = –2

c) | x + 0,5| = 4 nên x + 0,5 = 4 hoặc x + 0,5 = –4

Với  x + 0,5 = 4 thì x = 3,5

Với x + 0,5 = –4 thì x = –5,5.

Bài 7.

a) Làm tròn số 43 258 với độ chính xác 500;

b) Làm tròn số 81,934 với độ chính xác 0,5.

Hướng dẫn giải

a) Để làm tròn số 43 258 với độ chính xác 500 ta sẽ làm tròn đến hàng nghìn. Áp dụng quy tắc làm tròn số ta có 43 258  ≈ 43 000.

b) Để làm tròn số 81,934 với độ chính xác 0,5 ta sẽ làm tròn đến hàng đơn vị. Áp dụng quy tắc làm tròn số ta có 81, 934  ≈ 82.

Bài 8. Áp dụng quy tắc làm tròn số để ước lượng kết quả của mỗi phép tính sau

a) ( –34,17) + (– 65,83);

b) (– 19,641) . (–29,613).

Hướng dẫn giải

a) Ta làm tròn hai số hạng đến hàng phần mười ta có  –34,17 ≈ –34,2;   – 65,83 ≈  – 65,8.

Khi đó (–34,17) + (–65,83) ≈ (–34,2) + (–65,8) = –100.

b) Ta làm tròn hai thừa số đến hàng đơn vị, ta có: – 19,641 ≈ –20;  –29,613 ≈ –30.

Vậy (– 19,641) . (–29,613) ≈ (–20).(–30) = 600.

Bài 9. Tìm x, biết

a) x : 8 = 3 : (–5);

b) $\frac{\mathrm{x}}{27}=\frac{-2}{3,6}$.

Hướng dẫn giải

a) Từ x : 8 = 3 : (–5) ta có $\frac{\mathrm{x}}{8}=\frac{3}{-5}$.

Do đó : – 5x = 8 . 3

Suy ra $\mathrm{x}=\frac{8.3}{-5}=\frac{24}{-5}=-4,8$.

b) Từ $\frac{\mathrm{x}}{27}=\frac{-2}{3,6}$ suy ra $\mathrm{x}=\frac{27.(-2)}{3,6}=\frac{-54}{3,6}=-15$.

Bài 10. Tìm hai số x và y, biết : $\frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{\mathrm{y}}{5}$ và x + y = 16.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:  $\frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{\mathrm{y}}{5}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{3+5}=\frac{16}{8}=2$.

Vậy  x = 3.2 = 6;  y = 5.2 = 10.

Bài 11. Tìm hai số a và b, biết : a : 2 = b : (–5)  và a – b = –7.

Hướng dẫn giải

Từ a : 2 = b : (–5)  ta có tỉ lệ thức $\frac{\mathrm{a}}{2}=\frac{\mathrm{b}}{-5}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:  $\frac{\mathrm{a}}{2}=\frac{\mathrm{b}}{-5}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{2-(-5)}=\frac{-7}{7}=-1$.

Vậy  a = 2. (–1) = –2 ;  b = (–5). (–1) = 5.

Bài 12.  Một mảnh vườn hình chữ nhật với tỉ số giữa độ dài hai cạnh của nó bằng 3 : 5 và chu vi bằng 48 m. Tính diện tích mảnh vườn đó.

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài hai cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là a (mét) và b (mét).

Ta có $\frac{\mathrm{a}}{3}=\frac{\mathrm{b}}{5}$ và 2.(a + b) =  48 (chu vi hình chữ nhật bằng 48 m) nên a + b = 24.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{\mathrm{a}}{3}=\frac{\mathrm{b}}{5}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{3+5}=\frac{24}{8}=3$.

Suy ra a = 3.3 = 9 ;  b = 5 . 3 = 15.

Vậy diện tích của mảnh vườn là 9 . 15 = 135 (m2).

Bài 13. Cho biết x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận và khi x = 2 thì y = –4.

a) Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x.

b) Viết công thức tính y theo x.

c) Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:

x	–3	–1	1	5
y

Hướng dẫn giải

a) Gọi k là hệ số tỉ lệ của y đối với x. Ta có  y = kx.

Vì khi x = 2 thì y = – 4 nên – 4 = k . 2 hay k = (–4) : 2 = –2.

b) Ta có  y = –2x.

c) Khi x = –3 thì y = (–2) .( –3) = 6.

Khi x = –1 thì y = (–2).( –1) = 2.

Khi x = 1 thì y = (–2) . 1 = –2.

Khi x = 5 thì y = (–2) . 5 = –10.

Vậy ta có bảng:

x	–3	–1	1	5
y	6	2	–2	–10

Bài 14. Học sinh của ba lớp 7 cần trồng và chăm sóc 24 cây xanh. Lớp 7A có 32 học sinh, lớp 7B có 28 học sinh, lớp 7C có 36 học sinh. Hỏi mỗi lớp phải trồng và chăm sóc bao nhiêu cây xanh, biết số cây xanh tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp.

Hướng dẫn giải

Gọi số cây xanh mỗi lớp 7A, 7B, 7C cần trồng và chăm sóc lần lượt là x (cây), y (cây), z (cây).

Vì số cây tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp nên ta có: $\frac{\mathrm{x}}{32}=\frac{\mathrm{y}}{28}=\frac{\mathrm{z}}{36}$ và x + y + z = 24.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 $\frac{\mathrm{x}}{32}=\frac{\mathrm{y}}{28}=\frac{\mathrm{z}}{36}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}}{32+28+36}=\frac{24}{96}=\frac{1}{4}=0,25$.

Do đó x = 32 . 0,25 = 8

y = 28 . 0,25 = 7

z = 36 . 0,25 = 9

Vậy số cây mà mỗi lớp 7A, 7B, 7C cần trồng và chăm sóc lần lượt là 8 (cây); 7 (cây); 9 (cây).

Bài 15. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong 6 giờ. Nhưng thực tế ô tô đi với vận tốc gấp $\frac{4}{3}$ vận tốc dự định. Tính thời gian ô tô đã đi.

Hướng dẫn giải

Gọi t (h) là thời gian thực tế ô tô đã đi.

Vì vận tốc thực tế ô tô đi gấp  $\frac{4}{3}$ vận tốc dự định nên tỉ lệ giữa vận tốc thực tế và vận tốc dự định là $\frac{4}{3}$.

Mà vận tốc và thời gian ô tô đi trên quãng đường AB là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên $\frac{6}{\mathrm{t}}=\frac{4}{3}$

Do đó $\mathrm{t}=\frac{6.3}{4}=\frac{9}{2}=4,5$ (h)

Vậy thời gian thực tế ô tô đã đi là 4,5 (h).

Bài 16. Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = 15 thì y = 8.

a) Tìm hệ số tỉ lệ;

b) Viết công thức y theo x;

c) Tính giá trị của y khi x = 6; x = 10.

Hướng dẫn giải

a) Ta có xy = 15 . 8 = 120 nên hệ số tỉ lệ là 120.

b) Do xy = 120 nên ta công thức biểu diễn y theo x là $\mathrm{y}=\frac{120}{\mathrm{x}}$.

c) Khi x = 6 thì $\mathrm{y}=\frac{120}{6}=20$

Khi x = 10 thì $\mathrm{y}=\frac{120}{10}=12$.

Bài 17. Biết 3 người làm cỏ trên một cánh đồng hết 6 giờ. Hỏi 12 người (với cùng năng suất như thế) làm cỏ trên cánh đồng đó hết bao nhiêu thời gian?

Hướng dẫn giải

Gọi x (người), y (giờ) lần lượt là số người và thời gian để số người đó hoàn thành việc làm cỏ trên cánh đồng. Khi đó ta có mỗi quan hệ giữa số người (x) và thời gian hoàn thành công việc (y) được cho bởi bảng sau:

Số người (x)	x1 = 3	x2  = 12
Thời gian hoàn thành công việc (y)	y1 = 6	y2 = ?

Do thời gian hoàn thành công việc tỉ lệ nghịch với với số người làm việc theo hệ số tỉ lệ

a = x1. y1 = 3.6 = 18.

Suy ra 12 . y2 = 18. Vì thế  y2 = 18 : 12 = 1,5.

Vậy 12 người hoàn thành công việc làm cỏ trong 1,5 giờ.