Lý thuyết Tổng ba góc của một tam giác (Cánh diều 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 1: Tổng ba góc của một tam giác

A. Lý thuyết

– Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°.

Ví dụ 1: Tính số đo của các góc còn lại của mỗi tam giác trong các hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải

• Hình a)

Xét DABC có: $\stackrel{︿}{\text{A}}+\stackrel{︿}{\text{B}}+\stackrel{︿}{\text{C}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{A}}=180°-\widehat{\mathrm{C}}-\widehat{\mathrm{B}}$

Mà $\stackrel{︿}{\text{C}}=70°,\stackrel{︿}{\text{B}}=60°$

Do đó $\stackrel{︿}{\text{A}}=180°-70°-60°=50°$

Vậy số đo góc A là 50°.

• Hình b)

Xét DDEG có $\widehat{\mathrm{D}}+\widehat{\mathrm{E}}+\widehat{\mathrm{G}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{D}}=180°-\widehat{\mathrm{E}}-\widehat{\mathrm{G}}$

Mà $\stackrel{︿}{\text{E}}=30°,\stackrel{︿}{\text{G}}=60°$

Do đó $\stackrel{︿}{\text{D}}=180°-30°-60°=90°$

Vậy số đo góc D là 90°.

• Hình c)

Xét DMNP có: $\stackrel{︿}{\text{M}}+\stackrel{︿}{\text{N}}+\stackrel{︿}{\text{P}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{P}}=180°-\widehat{\mathrm{M}}-\widehat{\mathrm{N}}$

Mà $\stackrel{︿}{\text{M}}=120°,\stackrel{︿}{\text{N}}=37°$

Do đó $\stackrel{︿}{\text{P}}=180°-120°-37°=23°$

Vậy số đo góc P là 23°.

– Chú ý:

+ Tam giác có ba góc cùng nhọn gọi là tam giác nhọn.

+ Tam giác có một góc vuông gọi là tam giác vuông.

+ Tam giác có một góc tù gọi là tam giác tù.

Ví dụ 2: Trong Ví dụ 1:

• Tam giác ABC có $\widehat{\mathrm{A}}=50°,\widehat{\mathrm{B}}=60°,\widehat{\mathrm{C}}=70°$ đều là góc nhọn nên là tam giác nhọn.

• Tam giác DEG có $\widehat{\mathrm{D}}=90°$ là góc vuông nên là tam giác vuông tại D.

• Tam giác MNP có $\widehat{\mathrm{M}}=120°$ là góc tù nên là tam giác tù.

- Nhận xét: Trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°.

Ví dụ 3. Trong Ví dụ 1:

Tam giác DEG là tam giác vuông tại D nên $\widehat{\mathrm{E}}+\widehat{\mathrm{G}}=90°.$

Ví dụ 4. Cho một chiếc thang dựa vào tường. Biết độ nghiêng của chiếc thang đó so với mặt đất là 70°, khi đó độ nghiêng của chiếc thang đó so với bức tường là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Ta vẽ tam giác vuông ABC (như hình vẽ) để mô tả hình ảnh chiếc thang dựa vào tường.

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: $\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra $\widehat{\mathrm{C}}=90°-\widehat{\mathrm{B}}=90°-70°=20°$

Vậy độ nghiêng của chiếc thang so với bức tường là 20°.

– Chú ý: Góc ngoài của tam giác

+ Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc trong của một tam giác đó.

+ Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có $\widehat{\mathrm{B}}=40°,\widehat{\mathrm{C}}=30°.$ Vẽ tia Ax là tia đối của tia AB. Tính số đo góc CAx.

Hướng dẫn giải

Xét DABC có $\widehat{\text{CAx}}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh A.

Do đó $\widehat{\mathrm{CAx}}=\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{CAx}}=40°+30°=70°$

Vậy $\widehat{\mathrm{CAx}}=70°.$

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hình vẽ biết $\widehat{\mathrm{ABC}}=50°,\widehat{\mathrm{ACB}}=40°$ và $\widehat{\mathrm{BAE}}=\widehat{\mathrm{AED}}.$

Tam giác CDE là tam giác gì?

A. Tam giác nhọn;

B. Tam giác đều;

C. Tam giác vuông;

D. Tam giác tù.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC có $\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{A}}=180°-\widehat{\mathrm{B}}-\widehat{\mathrm{C}}$ 

Hay $\widehat{\mathrm{A}}=180°-50°-40°=90°$ 

Xét hai đường thẳng DE và AB có: $\widehat{\mathrm{BAE}}=\widehat{\mathrm{AED}}$ 

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

Do đó DE // AB

Suy ra $\widehat{\mathrm{EDC}}=\widehat{\mathrm{A}}$ (hai góc ở vị trí đồng vị)

Mà $\widehat{\mathrm{A}}=90°$ 

Do đó $\widehat{\mathrm{EDC}}=90°$ 

Vậy tam giác CDE là tam giác vuông.

Câu 2. Cho một chiếc thang dựa vào tường. Biết độ nghiêng của chiếc thang đó so với mặt đất là 57°, khi đó độ nghiêng của chiếc thang đó so với bức tường là:

A. 55°;

B. 44°;

C. 33°;

D. 22°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta vẽ tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{\mathrm{B}}=57°$ để mô tả hình ảnh chiếc thang dựa vào tường như đề bài.

Trong tam giác ABC vuông tại A ta có: $\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{C}}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{\mathrm{C}}=90°-\widehat{\mathrm{B}}=90°-57°=33°$ 

Vậy độ nghiêng của chiếc thang so với bức tường là 33°.

Câu 3. Cho hình vẽ sau:

Số đo x, y lần lượt là:

A. 105° và 120°;

B. 120° và 105°;

C. 102° và 150°;

D. 150° và 102°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tam giác ABC có góc x là góc ngoài của tam giác tại đỉnh C

Nên $\mathrm{x}=\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{ABC}}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Do đó x = 45° + 75° = 120°

Ta có: $\mathrm{y}+\widehat{\mathrm{ABC}}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\mathrm{y}=180°-\widehat{\mathrm{ABC}}=180°-75°=105°$

Vậy số đo góc x, y lần lượt là 120° và 105°.

B.2 Bài tập tự luận

Bài 1. Tìm số đo góc x và y trong mỗi hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải:

• Hình a)

Ta có $\widehat{\mathrm{ACB}}=\mathrm{x}$ (hai góc đối đỉnh), $\widehat{\mathrm{B}}=\mathrm{x}$ (giả thiết)

Nên $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{ACB}}=\mathrm{x}.$

Xét DABC có $\widehat{\mathrm{A}}+\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{ACB}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{ACB}}=180°-\widehat{\mathrm{A}}$

Mà $\widehat{\mathrm{A}}=80°,\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{ACB}}=\mathrm{x}$ 

Nên x + x = 180° – 80°

Hay 2x = 100°

Do đó x = 50°

Vậy x = 50°.

• Hình b)

Xét DMNP có: $\widehat{\mathrm{M}}+\widehat{\mathrm{N}}+\widehat{\mathrm{P}}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay y + 2y + 60° =180°

Suy ra 3y = 180° – 60°

3y = 120°

y = 120° : 3 = 40°

Vậy y = 40°.

Bài 2. Tìm số đo góc ABC trong hình vẽ sau, biết Ax // Cy

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của AB và đường thẳng Cy là D, ta có hình vẽ:

Vì Ax // Cy (giả thiết) nên $\widehat{\mathrm{xAD}}=\widehat{\mathrm{A}\text{D}\mathrm{C}}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{\mathrm{xAD}}=35°$ nên $\widehat{\mathrm{A}\text{D}\mathrm{C}}=35°$

Vì $\widehat{\mathrm{ABC}}$ là góc ngoài của tam giác BCD tại đỉnh B

Nên $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{BC}\text{D}}+\widehat{\mathrm{BDC}}$ (tính chất góc ngoài của một tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{ABC}}=68°+35°=103°$

Vậy số đo góc ABC là 103°.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{\mathrm{C}}=30°.$ Lấy điểm D nằm trên cạnh AC sao cho $\widehat{\mathrm{CBD}}=20°.$ Tính số đo của:

a) $\widehat{\mathrm{ADB}};$

b) $\widehat{\mathrm{ABD}}.$

Hướng dẫn giải

a) Xét DBCD có $\widehat{\mathrm{ADB}}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh D

Do đó $\widehat{\mathrm{ADB}}=\widehat{\mathrm{C}}+\widehat{\mathrm{CBD}}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Suy ra $\widehat{\mathrm{ADB}}=30°+20°=50°.$

Vậy $\widehat{\mathrm{ADB}}=50°.$

b) Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{\mathrm{A}}=90°$

Do đó tam giác ABD vuông tại A.

Khi đó $\widehat{\mathrm{ABD}}+\widehat{\mathrm{ADB}}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)

Suy ra $\widehat{\mathrm{ABD}}=90°-\widehat{\mathrm{ADB}}$

Do đó $\widehat{\mathrm{ABD}}=90°-50°=40°.$

Vậy $\widehat{\mathrm{ABD}}=40°.$