Lý thuyết Phép nhân đa thức một biến (Cánh diều 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 4: Phép nhân đa thức một biến

A. Lý thuyết

1. Nhân đơn thức với đơn thức

– Muốn nhân đơn thức A với đơn thức B, ta làm như sau:

+ Nhân hệ số của đơn thức A với hệ số của đơn thức B;

+ Nhân luỹ thừa của biến A với luỹ thừa của biến đó trong B;

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

– Tổng quát: Với a ≠ 0, b ≠ 0; m, n ∈ ℕ ta có:

axm. bxn = a.b. xm. xn = abxm + n.

Ví dụ: Tính:

a) 3x2. 5x6;

b) – 4x3. 4x2;

c) 2xm + 2. xn – 2 (m, n ∈ ℕ, n > 2).

Hướng dẫn giải

a) 3x2. 5x6 = 3.5. x2. x6 = 15x2 + 6 = 15x8;

b) – 4x3. 4x2 = – 4.4. x3. x2 = –16x3 + 2 = –16x5;

c) 2xm + 2. xn – 2 = 2. xm + 2. xn – 2 = 2xm + 2 + n – 2 = 2xm + n.

2. Nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các tích với nhau.

A(B + C) = AB + AC

A(B – C) = AB – AC

Ví dụ: Tính:

a) x(2x + 1);

b) –2x2(2x2 + 2x – 1);

c) –2x3($\frac{1}{2}$x2 + 3x – 5).

Hướng dẫn giải

a) x(2x + 1) = x.2x + x.1 = 2x2 + x;

b) –2x2(2x2 + 2x – 1)

= –2x2.2x2 –2x2.2x –2x2.(–1)

= –4x4 – 4x3 + 2x2;

c) –2x3($\frac{1}{2}$x2 + 3x – 5)

= –2x3.$\frac{1}{2}$x2 –2x3.3x – 2x3.(–5)

= –x5 – 6x4 + 10x3.

3. Nhân đa thức với đa thức

– Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.

(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD

– Tích của hai đa thức là một đa thức.

– Sau khi thực hiện phép nhân hai đa thức, ta thường viết đa thức tích ở dạng thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ tăng dần hoặc giảm dần của biến.

Ví dụ: Thực hiện phép nhân (4x – 3)(2x2 – 5x + 6).

Hướng dẫn giải

Ta có: (4x – 3)(2x2 – 5x + 6)

= 4x(2x2 – 5x + 6) – 3(2x2 – 5x + 6)

= 4x.2x2 – 4x.5x + 4x.6 – 3.2x2 – 3.(–5x) – 3.6

= 8x3 – 20x2 + 24x – 6x2 + 15x – 18

= 8x3 – 26x2 + 39x – 18

Vậy (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = 8x3 – 26x2 + 39x – 18.

– Chúng ta có thể trình bày phép nhân đa thức theo cột dọc.

Chú ý: Khi thực hiện phép nhân hai đa thức theo cột dọc, các đơn thức có cùng số mũ (của biến) được xếp vào cùng một cột.

Ví dụ: Thực hiện phép nhân (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) theo cột dọc.

Hướng dẫn giải

Ta có: (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = (2x2 – 5x + 6).(4x – 3)

Thực hiện phép nhân theo cột dọc như sau:

$\begin{array}{l}\times \underset{¯}{\begin{array}{l}2x^2-5x+6\\ 4x-3\end{array}}\\ \underset{¯}{\begin{array}{l}-6x^2+15x-18\\ 8x^3-20x^2+24x\end{array}}\\ 8x^3-26x^2+39x-18\end{array}$

Vậy (4x – 3)(2x2 – 5x + 6) = 8x3 – 26x2 + 39x – 18.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho B = (m – 1)(m + 6) – (m + 1)(m – 6). Chọn kết luận đúng.

A. B ⁝ 10 với mọi m ∈ ℤ;          

B. B ⁝ 15 với mọi m ∈ ℤ;

C. B ⁝ 9 với mọi m ∈ ℤ;       

D. B ⁝ 20 với mọi m ∈ ℤ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có B = (m – 1)(m + 6) – (m + 1)(m – 6)

= m.m + m.6 – (1.m + 1.6) – (m.m – m.6 + 1.m – 1.6)

= m2 + 6m – m – 6 – (m2 – 6m + m – 6)

= m2 + 5m – 6 – m2 + 6m – m + 6

= (m2 – m2) + (5m + 6m – m) + (–6 + 6)

= 10m

Nhận thấy 10 ⁝ 10

Do đó 10m ⁝ 10

Nên B ⁝ 10 với mọi giá trị nguyên của m.

Ta chọn phương án A.

Câu 2. Tích 2x(x + 1) có kết quả bằng:

A. 2x2 + 2x;

B. 2x2 – 2x;

C. 2x + 2;

D. 2x2 – 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: 2x(x + 1)

= 2x.x + 2x.1

= 2x2 + 2x.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 3. Biết 5(2x − 1) − 4(8 − 3x) = 84. Giá trị của x là: 

A. x = 4;                      

B. x = 4,5;                    

C. x = 5;             

D. x = 5,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: 5(2x − 1) − 4(8 − 3x) = 84

Suy ra 10x − 5 − 32 + 12x = 84

10x + 12x = 84 + 5 + 32

22x = 121

x = 5,5

Vậy x = 5,5.

Ta chọn phương án D.

B.2 Bài tập tự luận

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) y2(0,5y3 + 2y2 – y + 0,25);

b) (2x – 3)(3x + 1) – (x + 2)(6x – 1).

Hướng dẫn giải

a) y2(0,5y3 + 2y2 – y + 0,25)

= y2.0,5y3 + y2.2y2 – y2.y + y2.0,25

= 0,5y5 + 2y4 – y3 + 0,25y2

b) (2x – 3)(3x + 1) – (x + 2)(6x – 1)

= 2x.3x + 2x.1 – 3.3x – 3.1 – [x.6x – x.1 + 2.6x + 2.(–1)]

= 6x2 + 2x – 9x – 3 – 6x2 + x – 12x + 2

= (6x2 – 6x2) + (2x – 9x + x – 12x) + (– 3 +2)

= –18x – 1.

Bài 2. Một hình hộp chữ nhật có chiều dài đáy là x + 3 (cm), chiều rộng đáy nhỏ hơn chiều dài đáy 5 cm và chiều cao là x + 2 (cm). Tính thể tích hình hộp chữ nhật đó.

Hướng dẫn giải

Chiều rộng hình hộp chữ nhật là: x + 3 – 5 = x – 2 (cm).

Thể tích hình hộp chữ nhật là:

V = (x + 3)(x – 2)(x + 2)

= (x.x – 2.x + 3.x – 3.2)(x + 2)

= (x2 + x – 6)(x + 2)

= x2.x + x2.2 + x.x + x.2 – 6.x – 6.2

= x3 + 2x2 + x2 + 2x – 6x – 12

= x3 + 3x2 – 4x – 12

Vậy thể tích hình hộp chữ nhật là: x3 + 3x2 – 4x – 12 (cm3).

Bài 3. Cho đa thức P(x) = x2(x2 – x – 1) + 3x(x + a) + 2, với a là một số.

a) Thu gọn đa thức P(x) rồi sắp xếp đa thức theo số mũ giảm dần của biến.

b) Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng 10.

Hướng dẫn giải

a) P(x) = x2(x2 – x – 1) + 3x(x + a) + 2

= x2.x2 – x2.x – x2.1 + 3x.x + 3x.a + 2

= x4 – x3 – x2 + 3x2 + 3ax + 2

= x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2

Vậy P(x) = x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2.

b) Ta có P(x) = x4 – x3 + 2x2 + 3ax + 2.

Hệ số của x4 là 1;

Hệ số của x3 là –1;

Hệ số của x2 là 2;

Hệ số của x là 3a;

Hệ số tự do là 2.

Tổng các hệ số của P(x) là:

1 + (–1) + 2 + 3a + 2 = 3a + 4.

Mà theo bài tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng 10.

Khi đó: 3a + 4 = 10

Do đó 3a = 6

Vậy a = 2.