Lý thuyết Hai đường thẳng song song (Cánh diều 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 3: Hai đường thẳng song song

A. Lý thuyết Hai đường thẳng song song

1. Hai góc đồng vị. Hai góc so le trong

Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại điểm A, B.

Khi đó, ta thấy:

+ Góc A1 và góc B1 ở “cùng một phía” của đường thẳng c.

+ Góc A1 ở “phía trên” đường thẳng a. Góc B1 cũng ở “phía trên” đường thẳng b.

Hai góc A1 và B1 ở vị trí như thế được gọi là hai góc đồng vị.

+ Góc A3 và góc B1 ở “hai phía” của đường thẳng c.

+ Góc A3 ở “phía dưới” của đường thẳng a. Góc B1 lại ở “phía trên” của đường thẳng b.

Hai góc A3 và B1 ở vị trí như thế gọi là hai góc so le trong.

Ví dụ: Kể tên các cặp góc so le trong và đồng vị trong hình sau:

Hướng dẫn giải

Các cặp góc so le trong là: M3 và N1; M4 và N2.

Các cặp góc đồng vị là: M1 và N1; M2 và N2; M3 và N3; M4 và N4.

2. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

- Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau thì a và b song song với nhau.

- Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì a và b song song với nhau.

Ví dụ:

- Ở hình 1: Đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau  $\left(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}\right)$ nên a // b.

- Ở hình 2:  Đường thẳng d cắt hai đường thẳng m, n và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau  $\left(\widehat{C_4}=\widehat{D{}_2}\right)$ nên m // n.

Ví dụ: Vẽ một đường thẳng b đi qua điểm M và song song với đường thẳng a (M ∉ a) bằng êke.

Bước 1: Vẽ đường thẳng a và điểm M không thuộc a.

Bước 2: Đặt ê ke sao cho cạnh ngắn của góc vuông nằm trên đường thẳng a và cạnh huyền đi qua điểm M, vẽ theo cạnh huyền một phần đường thẳng c đi qua M (đường thẳng c cắt đường thẳng a tại điểm N).

Bước 3: Dịch chuyển ê ke sao cho cạnh huyền của ê ke vẫn nằm trên đường thẳng c còn cạnh ngắn của góc vuông đi qua điểm M, vẽ theo cạnh ngắn của góc vuông một phần đường thẳng b đi qua điểm M.

Bước 4: Vẽ hoàn thiện đường thẳng b.

Nhận xét: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng luôn có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

3. Tiên đề Euclid về đường thẳng song song

Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Nhận xét: Nếu hai đường thẳng cùng đi qua điểm M và cùng song song song với đường thẳng a (M ∉ a) thì hai đường thẳng đó trùng nhau.

Ví dụ:

Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a ta vẽ được một đường thẳng b song song với a.

Và vẽ được đường thẳng b’ cũng đi qua M và b’ song song với a.

Khi đó theo Tiên đề Euclid thì b và b’ trùng nhau.

4. Tính chất của hai đường thẳng song song

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

- Hai góc đồng vị bằng nhau.

- Hai góc so le trong bằng nhau.

Ví dụ: Tính số đo các góc A1 và góc D2 ­ trong hai hình vẽ sau, biết a // b và m // n.

Hướng dẫn giải

- Hình 1: Do a // b nên ta có: $\widehat{A_1}=\widehat{B_1}$ (hai góc đồng vị),  mà $\widehat{B_1}=60°$ nên $\widehat{A_1}=\widehat{B_1}=60°$.

Vậy  $\widehat{A_1}=60°$.

- Hình 2: Do m // n nên: $\widehat{C_4}=\widehat{D_2}$ (hai góc so le trong), mà $\widehat{C_4}=70°$ nên $\widehat{C_4}=\widehat{D_2}=70°$.

Vậy $\widehat{D_2}=70°$.

Chú ý: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng song song a và b thì:

+ Hai góc so le ngoài bằng nhau.

+ Hai góc trong cùng phía có tổng số đo bằng 180°.

Ví dụ:

- Các cặp góc so le ngoài A1 và B3; A2 và B4; Khi đó: $\widehat{A_1}=\widehat{B_3}$ và $\widehat{A_2}=\widehat{B_4}$.

- Hai góc trong cùng phía: góc A3 và góc B2; góc A4 và góc B1.

Khi đó:  $\widehat{A_3}+\widehat{B_2}=180°$; $\widehat{A_4}+\widehat{B_1}=180°$.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho hình vẽ

Biết a // b, ${\widehat{E}}_1=51°$. Số đo $\widehat{F_3}$ là:

A. 51°;                                                                          

B. 129°;                                                                        

C. 138°;                                                                        

D. 48°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{E_1}$ và $\widehat{F_1}$ là hai góc đồng vị và a // b nên $\widehat{E_1}=\widehat{F_1}=51°$.

Mà ta lại có $\widehat{F_1}$ và $\widehat{F_3}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{F_1}=\widehat{F_3}$.

Vậy $\widehat{F_3}=51°.$

Câu 2. Cho hình vẽ dưới đây:

$\widehat{A_1}$ và $\widehat{B_1}$ là hai góc:

A. so le trong;                

B. kề bù;                                                                        

C. đồng vị;                                                                     

D. kề nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\widehat{A_1}$ và $\widehat{{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}}$ là hai góc đồng vị.

Câu 3. Cho hai điểm phân biệt M, N. Ta vẽ một đường thẳng a đi qua điểm M và một đường thẳng b đi qua điểm N sao cho a // b. Có thể vẽ được bao nhiêu cặp đường thẳng a, b thỏa mãn điều kiện trên.

A. Một cặp;                                                                   

B. Hai căp;                                                                    

C. không có cặp nào;                                                     

D. Vô số cặp.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Qua một điểm M cho trước ta có thể vẽ được vô số đường thẳng (ví dụ đường thẳng a, đường thẳng n, đường thẳng i như trên hình vẽ).

Cứ tương ứng với mỗi một đường thẳng đi qua M thì ta vẽ được một đường thẳng đi qua N và song song với đường thẳng đó (theo Tiên đề Euclid). Chẳng hạn, trên hình vẽ ta có b // a, m // n, j // i.

Vậy ta vẽ được vô số cặp đường thẳng thoả mãn yêu cầu đề bài.

B.2 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho hình vẽ sau:

a) Vì sao a // b?

b) Tính số đo các góc C1, C2 trong hình vẽ.

Hướng dẫn giải

a) Ta có góc A1 và góc B2 là hai góc ở vị trí đồng vị, mà  $\widehat{A}=\widehat{B}=90°$.

Vậy nên a // b (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

b) Ta có góc C1 và D4 là hai góc trong cùng phía.

Mà a // b nên $\widehat{C_1}+\widehat{D_4}=180°$ 

Suy ra $\widehat{C_1}=180°-\widehat{D_4}=180°-80°=100°$.

Góc C2 và góc D4 ở vị trí so le trong nên $\widehat{C_2}=\widehat{D_4}=80°$.

Vậy $\widehat{C_1}=100°$; $\widehat{C_2}=80°$.

Bài 2. Cho hình vẽ

Biết  $\widehat{K_1}=\widehat{H_3}=42°.$ Tính $\widehat{H_3}+\widehat{K_4}$.

Hướng dẫn giải

Xét hai đường thẳng a và b cùng cắt đường thẳng c có: $\widehat{K_1}=\widehat{H_3}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên a // b

Suy ra $\widehat{H_3}+\widehat{K_4}=180°$ (hai góc ở vị trí trong cùng phía)

Vậy $\widehat{H_3}+\widehat{K_4}=180°$.