Lý thuyết Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc (Cánh diều 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 6: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc – cạnh – góc

A. Lý thuyết

1. Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc

– Tính chất: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}$, AB = A’B’, $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}}$ thì DABC = DA’B’C’ (g.c.g).

Ví dụ: Cho tam giác ABC và DEF có $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{E}},\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{D}},$ AB = ED. Biết $\widehat{\mathrm{C}}=42°,$ tính số đo góc F.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC và tam giác DEF có:

$\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{E}}$ (giả thiết),

AB = ED (giả thiết),

$\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{D}}$ (giả thiết),

Do đó DABC = DDEF (g.c.g).

Suy ra $\widehat{\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{F}}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{\mathrm{C}}=42°$ (giả thiết), do đó $\widehat{\mathrm{F}}=42°.$

Vậy $\widehat{\mathrm{F}}=42°.$

Ví dụ: Cho hình vẽ sau:

Chứng minh DAOB = DCOD.

Hướng dẫn giải

Vì $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{D}}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Nên AB // CD (dấu hiệu nhận biết)

Suy ra $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{C}}$ (hai góc so le trong).

Xét DABO và DCDO có:

$\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{C}}$ (chứng minh trên),

AB = CD (giả thiết),

$\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{D}}$ (giả thiết),

Do đó DAOB = DCOD (g.c.g).

Vậy DAOB = DCOD.

2. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông (hoặc cạnh huyền) và góc nhọn của tam giác vuông

2.1. Trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}=90°$, AB = A’B’, $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{B}\text{'}}$ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Ví dụ: Cho tam giác ABC có tia phân giác AD của $\widehat{\mathrm{BAC}}$ (D ∈ BC) và AD ⊥ BC. Chứng minh AB = AC.

Hướng dẫn giải

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

$\widehat{\mathrm{ADB}}=\widehat{\mathrm{ADC}}=90°$ (do AD ⊥ BC),

AD là cạnh chung,

$\widehat{\mathrm{BAD}}=\widehat{\mathrm{CAD}}$ (do AD là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{BAC}}$),

Do đó ∆ABD = ∆ACD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Vậy AB = AC.

2.2. Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}=90°$, BC = B’C’, $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{B}\text{'}}$ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh huyền – góc nhọn).

Ví dụ: Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc đó. Gọi I là một điểm trên tia Oz (I khác O). Kẻ IM vuông góc với Ox (M ∈ Ox), IN vuông góc với Oy (N ∈ Oy). Biết độ dài đoạn thẳng IM là 2 cm, tính độ dài đoạn thẳng IN?

Hướng dẫn giải

Xét DOIM và DOIN có:

$\widehat{\mathrm{OMI}}=\widehat{\mathrm{ONI}}=90°,$

$\widehat{\mathrm{IOM}}=\widehat{\mathrm{ION}}$ (do Oz là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{xOy}}$),

OI là cạnh chung,

Do đó DOMI = DONI (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra IM = IN (hai cạnh tương ứng)

Mà IM = 2 cm (giả thiết)

Nên IN = 2 cm.

Vậy độ dài đoạn thẳng IN là 2 cm.

– Nhận xét: Độ dài các đoạn thẳng IM, IN gọi là khoảng cách từ điểm I lần lượt đến hai cạnh Ox, Oy của góc xOy. Như vậy ta có thể nói: Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Ví dụ: Cho góc xOy nhọn. Gọi A là một điểm nằm trong góc xOy. Kẻ AB vuông góc với Ox (B ∈ Ox), AC vuông góc với Oy (C ∈ Oy). Biết AB = AC. Chứng minh rằng điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.

Hướng dẫn giải

Xét DOAB và DOAC có:

$\widehat{\mathrm{OBA}}=\widehat{\mathrm{OCA}}=90°,$

AB = AC (giả thiết),

OA là cạnh chung.

Do đó DABO = DACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\mathrm{BOA}}=\widehat{\mathrm{AOC}}$ (hai góc tương ứng).

Do đó OA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{xOy}}.$

Nên A là điểm thuộc tia phân giác của góc xOy.

Vậy điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.

– Nhận xét: Nếu một điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

3. Vẽ tam giác khi biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó

Ví dụ: Để vẽ tam giác ABC có AB = 5 cm, $\widehat{\mathrm{A}}=60°,\widehat{\mathrm{B}}=70°$ bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và thước đo góc, ta làm như sau:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = 5 cm

– Bước 2: Vẽ các tia Ax, By sao cho $\widehat{\mathrm{BAx}}=60°,\widehat{\mathrm{ABy}}=70°$

– Bước 3: Vẽ C là điểm chung của hai tia Ax và By. Ta nhận được tam giác ABC.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập trắc nghiệm 

Câu 1. Điền vào chỗ còn thiếu trong các bước chứng minh sau:

“Xét DABC và DMNP có:

.............,

BC = PN.

$\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{MNP}};$ 

Vậy ΔABC = ∆MNP (g.c.g)”

A. AB = MN;

B. $\widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{MPN}};$ 

C. AC = MP;

D. $\widehat{\mathrm{BAC}}=\widehat{\mathrm{NMP}}.$ 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ΔABC = ∆MNP theo trường hợp góc – cạnh – góc nên hai cặp góc bằng nhau là hai cặp góc kề với cặp cạnh bằng nhau của hai tam giác.

Mà BC = PN và $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{MNP}}$ nên cặp góc kề tương ứng còn lại là $\widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{MPN}}.$ 

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 2. Cho tứ giác MNPQ, MN // PQ, MN = PQ, I là giao điểm của MP và NQ. Cho các khẳng định sau:

(1) MQ = NP;

(2) IM = IP;

(3) IN = IQ.

Số khẳng định sai là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì MN // PQ (giả thiết)

Nên $\widehat{\mathrm{PMN}}=\widehat{\mathrm{MPQ}}$ và $\widehat{\mathrm{MNQ}}=\widehat{\mathrm{NQP}}$ (các cặp góc so le trong)

• Xét DMIN và DPIQ có:

$\widehat{\mathrm{NMI}}=\widehat{\mathrm{IPQ}}$ (do $\widehat{\mathrm{PMN}}=\widehat{\mathrm{MPQ}}$),

MN = PQ (giả thiết),

$\widehat{\mathrm{MNI}}=\widehat{\mathrm{IQP}}$ (do $\widehat{\mathrm{MNQ}}=\widehat{\mathrm{NQP}}$)

Do đó DMIN = DPIQ (g.c.g)

Suy ra IM = IP và IN = IQ (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó (2) và (3) đều đúng.

• Xét DMIQ và DPIN có:

IM = IP (chứng minh trên),

$\widehat{\mathrm{MIQ}}=\widehat{\mathrm{PIN}}$ (hai góc đối đỉnh),

IN = IQ (chứng minh trên)

Do đó DMIQ = DPIN (c.g.c)

Suy ra MQ = NP (hai cạnh tương ứng).

Do đó (1) là đúng.

Trong 3 khẳng định không có khẳng định nào sai.

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 3. Cho hình vẽ sau:

Biết CH = 3,5 cm. Số đo cạnh DK là:

A. 2,5 cm;

B. 3,5 cm;

C. 4 cm;

D. 4,5 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

• $\widehat{\mathrm{AHC}}+\widehat{\mathrm{CHK}}=180°$ (hai góc kề bù);

• $\widehat{\mathrm{BK}\text{D}}+\widehat{\mathrm{DKH}}=180°$ (hai góc kề bù)

Mà $\widehat{\mathrm{HK}\text{D}}=\widehat{\mathrm{CHK}}$ (giả thiết) nên $\widehat{\mathrm{AHC}}=\widehat{\mathrm{DBK}}$

Vì DAHC vuông tại A nên $\widehat{\mathrm{AHC}}+\widehat{\mathrm{ACH}}=90°$(trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Vì DBKD vuông tại B nên $\widehat{\mathrm{BK}\text{D}}+\widehat{\mathrm{B}\text{D}\mathrm{K}}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Mà $\widehat{\mathrm{AHC}}=\widehat{\mathrm{BKD}}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{\mathrm{HCA}}=\widehat{\mathrm{B}\text{D}\mathrm{K}}$

Xét DAHC và DBKD có:

$\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{B}}$ (= 90°)

$\widehat{\mathrm{HCA}}=\widehat{\mathrm{B}\text{D}\mathrm{K}}$ (chứng minh trên),

AC = BD (giả thiết),

Do đó DAHC = DBKD (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra CH = DK (hai cạnh tương ứng)

Mà CH = 3,5 cm nên DK = 3,5 cm.

B.2 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho AH = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm K sao cho AK = AC. Một đường thẳng đi qua A cắt các cạnh HK, BC tại D và E. Chứng minh rằng:

a) HK song song BC.

b) A là trung điểm của DE.

Hướng dẫn giải

a) Xét DABC và DAHK có:

AB = AH (giả thiết),

$\widehat{\mathrm{CAB}}=\widehat{\mathrm{KAH}}$ (hai góc đối đỉnh),

AC = AK (giả thiết),

Do đó DABC = DAHK (c.g.c).

Suy ra $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{AHK}}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Nên HK  ̸̸ ̸̸  BC (dấu hiệu nhận biết).

Vậy HK  ̸̸ ̸̸  BC.

b) Xét DABE và DAHD có:

$\widehat{\mathrm{EAB}}=\widehat{\mathrm{DAH}}$ (hai góc đối đỉnh),

AB = AH (giả thiết),

$\widehat{\mathrm{ABE}}=\widehat{\mathrm{AH}\text{D}}$ (vì $\widehat{\mathrm{CAB}}=\widehat{\mathrm{KAH}}$),

Do đó DABE = DAHD (g.c.g).

Suy ra AE = AD (hai cạnh tương ứng).

Do đó A là trung điểm của DE.

Vậy A là trung điểm của DE.

Bài 2. Cho tam giác DEG vuông tại D có DE = DG. Qua D kẻ đường thẳng xy (đường thẳng xy không cắt đoạn thẳng EG). Kẻ EM, GN vuông góc với đường thẳng xy. Chứng minh rằng MN = EM + GN.

Hướng dẫn giải

Vì DDEM vuông tại M nên $\widehat{\mathrm{ME}\text{D}}+\widehat{\mathrm{M}\text{D}\mathrm{E}}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra $\widehat{\mathrm{ME}\text{D}}=90°-\widehat{\mathrm{M}\text{D}\mathrm{E}}$        (1)

Ta có $\widehat{\mathrm{E}\text{D}\mathrm{N}}+\widehat{\mathrm{M}\text{D}\mathrm{E}}=180°$ (hai góc kề bù)

Hay $\widehat{\mathrm{E}\text{DG}}+\widehat{\mathrm{G}\text{D}\mathrm{N}}+\widehat{\mathrm{M}\text{D}\mathrm{E}}=180°$

Suy ra $\widehat{\mathrm{G}\text{D}\mathrm{N}}=180°-\widehat{\text{EDG}}-\widehat{\mathrm{M}\text{D}\mathrm{E}}$

Do đó $\widehat{\mathrm{G}\text{D}\mathrm{N}}=180°-90°-\widehat{\mathrm{M}\text{D}\mathrm{E}}=90°-\widehat{\mathrm{M}\text{D}\mathrm{E}}$    (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\mathrm{ME}\text{D}}=\widehat{\text{GDN}}$

Xét DMDE và DNGD có:

$\widehat{\mathrm{DME}}=\widehat{\mathrm{DNG}}\left(=90°\right)$,

$\widehat{\mathrm{ME}\text{D}}=\widehat{\text{GDN}}$ (chứng minh trên),

DE = DG (giả thiết),

Do đó DMDE = DNGD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra ME = ND, MD = NG (các cặp cạnh tương ứng).

Ta có MN = MD + ND = NG + ME.

Vậy MN = NG + ME.