Lý thuyết Tính chất ba đường cao của tam giác (Cánh diều 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

A. Lý thuyết

1. Đường cao của tam giác

– Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là một đường cao của tam giác đó.

Trong hình vẽ trên, đoạn thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC. Đôi khi, ta cũng gọi đường thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC.

Ví dụ: Quan sát hình vẽ dưới đây và xác định các đường cao của tam giác ABC (nếu có):

Hướng dẫn giải

Ta có A là đỉnh của ∆ABC mà AE không vuông góc với BC nên đoạn thẳng AE không là đường cao của ∆ABC.

Ta có B là đỉnh của ∆ABC và BH ⊥ AC tại H nên đoạn thẳng BH là đường cao của ∆ABC.

Ta lại có C là đỉnh của ∆ABC và CK ⊥ AB tại K nên đoạn thẳng CK là đường cao của ∆ABC.

Chú ý:

+ Mỗi tam giác có ba đường cao.

+ Đường cao của tam giác có thể nằm trong, trên cạnh hoặc nằm ngoài tam giác.

2. Tính chất ba đường cao trong tam giác

– Trong một tam giác, ba đường cao cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

Nhận xét: Để xác định trực tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường cao bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Ví dụ: Cho ∆ABC có $\widehat{\text{BAC}}=60°$ và hai đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Kẻ CH cắt AB tại M. Tính $\widehat{\text{ACM}}$.

Hướng dẫn giải

Theo bài ta có hai đường cao AE và BF cắt nhau tại H nên H là trực tâm của ∆ABC.

Suy ra CH ⊥ AB tại M

Do đó $\widehat{\text{AMC}}=90°$suy ra ∆AMC vuông tại M

Xét ∆AMC vuông tại M có $\widehat{\text{MAC}}+\widehat{\text{ACM}}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).

Hay $\widehat{\text{ACM}}=90°-\widehat{\text{MAC}}=90°-\widehat{\text{BAC}}=90°-60°=30°$

Vậy $\widehat{\text{ACM}}=30°.$

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho ∆ABC có ba góc nhọn (AB < AC), đường cao AH. Lấy D là điểm thuộc đoạn HC, vẽ DE ⊥ AC (E ∈ AC). Gọi K là giao điểm của AH và DE. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AD // KC;                   

B. AD trùng KC;             

C. AD cắt KC nhưng không vuông góc với KC;               

D. AD ⊥ KC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

∆AKC có CH, KE là hai đường cao.

Mà CH cắt KE tại D.

Suy ra D là trực tâm của ∆AKC.

Do đó AD ⊥ KC.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 2. Cho ∆ABC có $\widehat{\mathrm{A}}>90°$, AD vuông góc với BC tại D, BE vuông góc với AC tại E. Gọi F là giao điểm của đường thẳng AD và BE. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AB ⊥ FC;                   

B. AB // FC;         

C. AB cắt FC nhưng không vuông góc với FC;                

D. AB trùng FC.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét ∆FBC có CE và FD là hai đường cao.

Mà CE, FD cắt nhau tại A.

Suy ra A là trực tâm của ∆FBC.

Do đó BA ⊥ FC.

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 3. Cho ∆ABC vuông tại A, đường trung tuyến BM. Qua M vẽ một đường thẳng vuông góc với BC, cắt đường thẳng AB tại D. Vẽ điểm E sao cho M là trung điểm DE. Cho các khẳng định sau:

(I) M là trực tâm của DBCD.

(II) AE // DC.

(III) AE ⊥ BM;               

Số khẳng định đúng là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

• Xét ∆DBC có CA, DM là hai đường cao.

Mà M là giao điểm của CA và DM.

Do đó M là trực tâm của ∆DBC.

Suy ra BM ⊥ CD   (1).

Do đó (I) đúng.

• Xét ∆MEA và ∆MDC, có:

MA = MC (do BM là đường trung tuyến của ∆ABC),

$\widehat{\mathrm{AME}}=\widehat{\mathrm{CMD}}$ (hai góc đối đỉnh),

ME = MD (do M là trung điểm DE).

Do đó ∆MEA = ∆MDC (c.g.c)

Suy ra $\widehat{\mathrm{MAE}}=\widehat{\mathrm{MCD}}$ (cặp góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong.

Nên AE // CD  (2).

Do đó (II) đúng.

Từ (1), (2), ta suy ra BM ⊥ AE.

Do đó (III) đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

B.2 Bài tập tự luận

Bài 1. Cho ∆ABC cân tại A, vẽ BD ⊥ AC và CE ⊥ AB. Gọi H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:

a) AH ⊥ BC.

b) AH là đường trung trực của ED.

Hướng dẫn giải

a) Theo bài ta có BD ⊥ AC và CE ⊥ AB do đó BD, CE là đường cao của ∆ABC.

Mà H là giao điểm của BD và CE.

Vì vậy H là trực tâm của ∆ABC.

Suy ra AH ⊥ BC (tính chất đường cao trong tam giác)

Vậy AH ⊥ BC.

b) • Xét ∆ACE và ∆ABD có:

$\widehat{\text{AEC}}=\widehat{\text{ADB}}=90°$(vì BD ⊥ AC tại D và CE ⊥ AB tại E),

$\widehat{\text{BAC}}$ là góc chung,

AC = AB (vì ∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ACE = ∆ABD (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AE = AD (hai cạnh tương ứng)

Suy ra A nằm trên đường trung trực của ED   (4)

• Ta có ∆ACE = ∆ABD (chứng minh trên)

Suy ra $\widehat{\text{ACE}}=\widehat{\text{ABD}}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{\text{DCH}}=\widehat{\text{EBH}}$

Ta lại có AB = AE + BE  (1)

AC = AD + DC  (2)

Mà AB = AC; AE = AD (chứng minh trên)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BE = CD.

Xét ∆BEH và ∆CDH có:

$\widehat{\text{BEH}}=\widehat{\text{CDH}}=90°$,

BE = CD (chứng minh trên),

$\widehat{\text{EBH}}=\widehat{\text{DCH}}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆BEH = ∆CDH (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra HE = HD (hai cạnh tương ứng)

Vì HE = HD nên H nằm trên đường trung trực của ED  (5)

Từ (4) và (5) suy ra A, H nằm trên đường trung trực của ED.

Hay AH là đường trung trực của ED.

Vậy AH là đường trung trực của ED.

Bài 2. Cho ∆ABC cân tại A có AD ⊥ BC tại D. Qua D kẻ DI ⊥ AB tại I biết rằng $\widehat{\text{BDI}}=35°$. Gọi H là trực tâm của ∆ABC. Tính $\widehat{\text{AHC}}$.

Hướng dẫn giải

Kẻ CH cắt AB tại K.

Vì H là trực tâm của ∆ABC nên CH ⊥ AB hay CK ⊥ AB tại K.

Ta lại có DI ⊥ AB tại I.

Do đó DI //CK.

Suy ra $\widehat{\text{BDI}}=\widehat{\text{DCH}}=35°$ (hai góc ở vị trí đồng vị)

Xét ∆DHC vuông tại D có $\widehat{\text{DHC}}+\widehat{\text{DCH}}=90°$(tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)

Hay $\widehat{\text{DHC}}\text{ + 35}°=90°$ 

Suy ra $\widehat{\text{DHC}}=90°-35°=55°.$

Ta lại có $\widehat{\text{DHC}}+\widehat{\text{AHC}}=180°$ (hai góc kề bù)

Hay $55°+\widehat{\text{AHC}}=180°$

Suy ra $\widehat{\text{AHC}}=180°-55°=135°$

Vậy $\widehat{\text{AHC}}=135°$.

Bài 3. Cho ∆ABC có $\widehat{\text{A}}=60°$ và BD, CE lần lượt là các đường cao hạ từ B, C sao cho BD = CE. Gọi H là giao điểm của BD và CE.

a) Chứng minh: ∆ABC đều.

b) Tính $\widehat{\text{BHC}}$.

Hướng dẫn giải

a) Xét ∆BDC và ∆CEB có:

$\widehat{\text{BDC}}=\widehat{\text{CEB}}=90°$ (vì BD, CE là đường cao ∆ABC),

BD = CE (giả thiết),

BC là cạnh chung.

Do đó ∆BDC = ∆CEB (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\text{BCD}}=\widehat{\text{CBE}}$ (hai góc tương ứng)

Hay $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}.$

Xét ∆ABC có $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ACB}}$ suy ra ∆ABC cân tại A.

∆ABC cân tại A có $\widehat{\text{BAC}}=60°$ (giả thiết)

Do đó ∆ABC là tam giác đều.

Vậy ∆ABC là tam giác đều.

b) Xét DACE vuông tại E có $\widehat{\text{EAC}}+\widehat{\text{ACE}}=90°$(tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)  (1)

Xét DDHC vuông tại D có $\widehat{\text{DHC}}+\widehat{\text{HCD}}=90°$(tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)

Hay $\widehat{\text{DHC}}+\widehat{\text{ACE}}=90°$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{\text{EAC}}=\widehat{\text{DHC}}=60°.$

Ta có $\widehat{\text{BHC}}+\widehat{\text{DHC}}=180°$(hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{\text{BHC}}=180°-\widehat{\text{DHC}}=180°-60°=120°$

Vậy $\widehat{\text{BHC}}=120°$.