Lý thuyết Phép chia đa thức một biến (Cánh diều 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 5: Phép chia đa thức một biến

A. Lý thuyết

1. Chia đơn thức cho đơn thức

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (B ≠ 0) khi số mũ của biến trong A lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong B, ta làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.

+ Chia luỹ thừa của biến trong A cho luỹ thừa của biến đó trong B.

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Tổng quát: Với a ≠ 0; b ≠ 0, m, n ∈ ℕ, m ≥ n ta có:

(axm) : (bxn) = $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$.(xm : xn) = $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$.xm – n

Ví dụ: Tính:

a) 14x2 : 7x;

b) 3x6 : 2x2;

c) –5yn : 10y2 (với n ∈ ℕ, n > 2);

d) (–20xm + 1) : (5xn + 1) (với m, n ∈ ℕ, m > n).

Hướng dẫn giải

a) 14x2 : 7x = (14 : 7). (x2 : x) = 2x2 – 1 = 2x;

b) 3x6 : 2x2 = $\frac{3}{2}.$x6 – 2 = $\frac{3}{2}.$x4;

c) Với n ∈ ℕ, n > 2 ta có:

–5yn : 10y2 = $\frac{-5}{10}$.yn – 2 = $-\frac{1}{2}$yn – 2.

d) Với m, n ∈ ℕ, m > n ta có:

(–20xm + 1) : (5xn + 1)

= (–20 : 5). (xm + 1 : xn + 1)

= –4xm + 1 – n – 1 = –4xm – n.

2. Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức P cho đơn thức Q (Q ≠ 0) khi số mũ của biến ở mỗi đơn thức của P lớn hơn hoặc bằng số mũ của biến đó trong Q, ta chia mỗi đơn thức của đa thức P cho đơn thức Q rồi cộng các thương với nhau.

(A + B) : C = A : C + B : C

(A – B) : C = A : C – B : C

Ví dụ: Tính

a) (20x5 – 18x4 + 6x2 – 4x) : (–2x);

b) (45x5 + 10x3 – 5x2) : 5x2.

Hướng dẫn giải

a) (20x5 – 18x4 + 6x2 – 4x) : (–2x)

= 20x5 : (–2x) – 18x4 : (–2x) + 6x2 : (–2x) – 4x : (–2x)

= [20 : (–2)](x5 : x) – [18 : (–2)](x4 : x) + [6 : (–2)](x2 : x) – [4 : (–2)](x : x)

= –10x4 + 9x3 – 3x + 2.

b) (45x5 + 10x3 – 5x2) : 5x2

= 45x5 : 5x2 + 10x3 : 5x2 – 5x2 : 5x2

= (45 : 5)(x5 : x2) + (10 : 5)(x3 : x2) – (5 : 5)(x2 : x2)

= 9x3 + 2x – 1.

3. Chia đa thức một biến đã sắp xếp

* Để chia một đa thức cho một đa thức khác đa thức không (cả hai đa thức đều đã thu gọn và sắp xếp các đơn thức theo số mũ giảm dần của biến) khi bậc của đa thức bị chia lớn hơn hoặc bằng bậc của đa thức chia, ta làm như sau:

– Bước 1.

+ Chia đơn thức bậc cao nhất của đa thức bị chia cho đơn thức bậc cao nhất của đa thức chia.

+ Nhân kết quả trên với đa thức chia và đặt tích dưới đa thức bị chia sao cho hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột.

+ Lấy đa thức bị chia trừ đi tích đặt dưới để được đa thức mới.

– Bước 2. Tiếp tục quá trình trên cho đến khi nhận được đa thức không hoặc đa thức

có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

* Nhận xét

– Khi chia đa thức A cho đa thức B của cùng một biến (B ≠ 0), có hai khả năng xảy ra:

+ Phép chia có dư bằng 0. Trong trường hợp này ta nói đa thức A chia hết cho đa thức B.

+ Phép chia có dư là đa thức R (R ≠ 0) với bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Phép chia trong trường hợp này được gọi là phép chia có dư.

– Người ta chứng minh được rằng đối với hai đa thức tuỳ ý A và B của cùng một biến (B ≠ 0), tồn tại duy nhất một cặp đa thức Q và R sao cho A = B . Q + R, trong đó R bằng 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Như vậy, đã thức A chia hết cho đa thức B khi và chỉ khi R = 0.

Ví dụ: Tính:

a) (9x3 + 6x2 + 3x – 3) : (3x + 1)

b) (6x2 + 4) : (– 2x – 1)

Hướng dẫn giải

a) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy (9x3 + 6x2 + 3x – 3) : (3x + 1) = 3x2 + x + $\frac{3}{2}$(dư $\frac{-11}{3}$).

b) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy (6x2 + 4) : (–2x – 1) = $-3\text{x}+\frac{3}{2}$ (dư $\frac{11}{2}$).

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Tìm giá trị của a và b đề đa thức 4x3 + ax + b chia cho đa thức x2 – 1 dư 2x – 3.

A. a = –6; b = –3;

B. a = 6; b = –3;

C. a = 2; b = –3;

D. a = –2; b = –3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta đặt tính chia đa thức như sau:

Phần dư của phép chia trên là (a + 4)x + b.

Mà theo bài, đa thức 4x3 + ax + b chia cho đa thức x2 – 1 dư 2x – 3.

Do đó (a + 4)x + b = 2x – 3.

Suy ra $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}+4=2\\ \mathrm{b}=-3\end{array}\right.$

Hay $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=-2\\ \mathrm{b}=-3\end{array}\right.$

Vậy a = –2 và b = –3.

Ta chọn phương án D.

Câu 2. Kết quả của phép tính $\left(\frac{-1}{2}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}+23}\right):\left(\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+21}\right)$ (với m, n ∈ ℕ) là:

A. $\frac{-1}{3}.{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-\mathrm{n}+2};$

B. $-3.{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-\mathrm{n}+2};$

C. $\frac{-4}{3}.{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}+44};$

D. $\frac{-3}{4}.{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}+44}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\left(\frac{-1}{2}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}+23}\right):\left(\frac{3}{2}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+21}\right)$

$=\left(\frac{-1}{2}:\frac{3}{2}\right).\left({\mathrm{x}}^{\mathrm{m}+23}:{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}+21}\right)$

$=\frac{-1}{2}.\frac{2}{3}.{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}+23-\mathrm{n}-21}$

$=\frac{-1}{3}.{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}-\mathrm{n}+2}$

Vậy ta chọn phương án A.

Câu 3. Điền vào chỗ trống (x3 + x2 – 12 : (x – 12) = …

A. x + 3;      

B. x – 3;      

C. x2 + 3x + 6;

D. x2 – 3x + 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức:

Do đó (x3 + x2 – 12 : (x – 12) = x2 + 3x + 6.

Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là x2 + 3x + 6.

B.2 Bài tập tự luận

Bài 1. Tính:

a) (6x4 + 8x3 + 4x2 + 2x) : (2x);

b) (2x3 – 24x – 20) : (x2 + 4x + 3).

Hướng dẫn giải

a) (6x4 + 8x3 + 4x2 + 2x) : (2x)

= 6x4 : 2x + 8x3 : 2x + 4x2 : 2x + 2x : 2x

= (6 : 2)(x4 : x) + (8 : 2)(x3 : x) + (4 : 2)(x2 : x) + (2 : 2)(x : x)

= 3x3 + 4x2 + 2x + 1

b) Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy (2x3 – 24x – 20) : (x2 + 4x + 3) = 2x – 8 (dư 2x  + 4).

Bài 2. Một công ty sau khi tăng giá 15 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là x (nghìn đồng) thì có doanh thu là 3x2 + 85x + 600 (nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà công ty đó đã bán được.

Hướng dẫn giải

Số tiền của sản phẩm sau khi tăng là x + 15 (nghìn đồng)

Số sản phầm công ty đó bán được là: (3x2 + 85x + 600) : (x + 15) (sản phẩm)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy số sản phẩm công ty đó bán được là 3x + 40 (sản phẩm).

Bài 3. Thực hiện phép chia 3x5 + 6x4 – 12x3 cho 3xn trong mỗi trường hợp sau:

a) n = 2;

b) n = 3.

Hướng dẫn giải

a) Thay n = 2 vào 3xn ta được 3x2.

Khi đó:

(3x5 + 6x4 – 12x3) : 3x2

= 3x5 : 3x2 + 6x4 : 3x2 – 12x3 : 3x2

= (3 : 3)(x5: x2) + (6 : 3)(x4 : x2) – (12 : 3)(x3 : x2)

= x3 + 2x2 – 4x.

b) Thay n = 3 vào 3xn ta được 3x3.

Khi đó:

(3x5 + 6x4 – 12x3) : 3x3

= 3x5 : 3x3 + 6x4 : 3x3 – 12x3 : 3x3

= (3 : 3)(x5 : x3) + (6 : 3)(x4 : x3) – (12 : 3)(x3 : x3)

= x2 + 2x – 4.

Bài 4. Tính chiều dài của một hình chữ nhật có diện tích bằng 8x2 + 8x – 6 (cm2) và chiều rộng bằng 2x – 1 (cm).

Hướng dẫn giải

Chiều dài hình chữ nhật là thương của phép chia (8x2 + 8x – 6) : (2x – 1)

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức như sau:

Vậy chiều dài hình chữ nhật là 4x + 6 (cm).