Lý thuyết Dãy tỉ số bằng nhau (Cánh diều 2024) Toán 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 6: Dãy tỉ số bằng nhau

A. Lý thuyết Dãy tỉ số bằng nhau

1. Khái niệm

Những tỉ số bằng nhau và được viết nối với nhau bởi các dấu đẳng thức tạo thành dãy tỉ số bằng nhau.

Chú ý:

- Với dãy tỉ số bằng nhau $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{g}}$ ta cũng viết a : b = c : d = e : g.

- Khi có dãy tỉ số bằng nhau $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{g}}$, ta nói các số a, c, e tỉ lệ với các số b, d, g và viết là a : c : e = b : d : g.

Ví dụ:

- Dãy tỉ số bằng nhau $\frac{1}{4}=\frac{-9}{-36}=\frac{8}{32}$.

- Khi nói ba số x ; y ; z tỉ lệ với các số 2 ; 3 ; 4 thì x : y : z = 2 : 3 : 4 và ta viết được dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{\mathrm{y}}{3}=\frac{\mathrm{z}}{4}$.

2. Tính chất

Từ tỉ lệ thức $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}$, ta suy ra:

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{c}}{\mathrm{b}+\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{c}}{\mathrm{b}-\mathrm{d}}$( b ≠ d và b ≠ –d).

Nhận xét: Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau. Chẳng hạn từ dãy tỉ số bằng nhau  $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{g}}$, ta suy ra:

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{c}+\mathrm{e}}{\mathrm{b}+\mathrm{d}+\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{c}+\mathrm{e}}{\mathrm{b}-\mathrm{d}+\mathrm{g}}$  (giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).

Ví dụ: Từ dãy tỉ số $\frac{1}{3}=\frac{0,15}{0,45}=\frac{6}{18}$, áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{1}{3}=\frac{0,15}{0,45}=\frac{6}{18}=\frac{1+0,15+6}{3+0,45+18}=\frac{7,15}{21,45}$.

3. Ứng dụng

Các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, chẳng hạn, ứng dụng vào bài toán chia đại lượng cho trước thành các phần theo tỉ lệ cho trước.

Ví dụ: Số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng tỉ lệ với các số 2 ; 4 ; 5. Tính số viên bi của mỗi bạn, biết rằng ba bạn có tất cả 44 viên bi.

Hướng dẫn giải

Gọi số viên bi của ba bạn Minh, Hùng, Dũng lần lượt là x (viên bi) ; y (viên bi) ; z (viên bi).

Ta có :  $\frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{\mathrm{y}}{4}=\frac{\mathrm{z}}{5}$ và x + y + z = 44.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{x}}{2}=\frac{\mathrm{y}}{4}=\frac{\mathrm{z}}{5}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}}{2+4+5}=\frac{44}{11}=4$

Suy ra  x = 2.4 = 8 ; y = 4.4 = 16 ; z = 5.4 = 20.

Vậy Minh có 8 viên bi, Hùng có 16 viên bi, Dũng có 20 viên bi.

B. Bài tập tự luyện

B.1 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho $\frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{\mathrm{y}}{5}$ và x + y = 24. Giá trị của 3x + 5y là:

A. 132;

B. 80;

C. 102;

D. 78.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C.

Từ tỉ lệ thức $\frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{\mathrm{y}}{5}$ và x + y = 24 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{\mathrm{y}}{5}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{3+5}=\frac{24}{8}=3.$

Suy ra:

+) $\frac{\mathrm{x}}{3}=3$ do đó x = 3.3 = 9;

+) $\frac{\mathrm{y}}{5}=3$ do đó y = 3.5 = 15.

Khi đó 3x + 5y = 3.9 + 5.15 = 102.

Vậy 3x + 5y = 102.

Câu 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{\mathrm{y}}{5}=\frac{2\mathrm{x}+3\mathrm{y}}{15};$ 

B. $\frac{\mathrm{x}}{4}=\frac{\mathrm{y}}{5}=\frac{2\mathrm{x}+4\mathrm{y}}{28};$ 

C. $\frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{\mathrm{y}}{7}=\frac{\mathrm{x}+3\mathrm{y}}{25};$ 

D. $\frac{\mathrm{x}}{5}=\frac{\mathrm{y}}{6}=\frac{2\mathrm{x}+\mathrm{y}}{15}.$ 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

+) $\frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{\mathrm{y}}{5}=\frac{2\mathrm{x}}{6}=\frac{3\mathrm{y}}{15}=\frac{2\mathrm{x}+3\mathrm{y}}{6+15}=\frac{2\mathrm{x}+3\mathrm{y}}{21}$. Do đó phương án A là sai.

+) $\frac{\mathrm{x}}{4}=\frac{\mathrm{y}}{5}=\frac{2\mathrm{x}}{8}=\frac{4\mathrm{y}}{20}=\frac{2\mathrm{x}+4\mathrm{y}}{8+20}=\frac{2\mathrm{x}+4\mathrm{y}}{28}.$ Do đó phương án B là đúng.

+) $\frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{\mathrm{y}}{7}=\frac{3\mathrm{y}}{21}=\frac{\mathrm{x}+3\mathrm{y}}{3+21}=\frac{\mathrm{x}+3\mathrm{y}}{24}.$ Do đó phương án C là sai.

+) $\frac{\mathrm{x}}{5}=\frac{\mathrm{y}}{6}=\frac{2\mathrm{x}}{10}=\frac{2\mathrm{x}+\mathrm{y}}{10+6}=\frac{2\mathrm{x}+\mathrm{y}}{16}.$ Do đó phương án D là sai.

Câu 3. Một hình chữ nhật có chu vi 50 cm, tỉ số giữa hai cạnh bằng $\frac{3}{2}$ thì diện tích của hình chữ nhật là:

A. 150 cm2;

B. 200 cm2;

C. 250 cm2;

D. 300 cm2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A.

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là x, y (cm) (x, y > 0)

Tỉ số giữa hai cạnh bằng $\frac{3}{2}$ nên ta có $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}=\frac{3}{2}$ suy ra $\frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{\mathrm{y}}{2}$ 

Nửa chu vi của hình chữ nhật là 50 : 2 = 25 (cm).

Khi đó x + y = 25.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có $\frac{\mathrm{x}}{3}=\frac{\mathrm{y}}{2}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{3+2}=\frac{25}{5}=5$

Suy ra:

+) $\frac{\mathrm{x}}{3}=5$ do đó x = 3.5 = 15;

+) $\frac{\mathrm{y}}{2}=5$ do đó y = 5.2 = 10.

Vậy hình chữ nhật có chiều dài là 15 cm, chiều rộng là 10 cm.

Diện tích của hình chữ nhật là: 15 . 10 = 150 cm2.

Vậy diện tích của hình chữ nhật là 150 cm2.

B.2 Bài tập tự luận

Bài 1. Tìm hai số x và y, biết : $\frac{\mathrm{x}}{4}=\frac{\mathrm{y}}{7}$ và x + y = 99.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:  $\frac{\mathrm{x}}{4}=\frac{\mathrm{y}}{7}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{4+7}=\frac{99}{11}=9$.

Vậy  x = 4 . 9 = 36;  y = 7 . 9 = 63.

Bài 2.  Một mảnh vườn hình chữ nhật với tỉ số giữa độ dài hai cạnh của nó bằng 3 : 5 và chu vi bằng 48 m. Tính diện tích mảnh vườn đó.

Hướng dẫn giải

Gọi độ dài hai cạnh của mảnh vườn hình chữ nhật lần lượt là a (mét) và b (mét).

Ta có $\frac{\mathrm{a}}{3}=\frac{\mathrm{b}}{5}$ và 2.(a + b) =  48 (chu vi hình chữ nhật bằng 48 m) nên a + b = 24.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{\mathrm{a}}{3}=\frac{\mathrm{b}}{5}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{3+5}=\frac{24}{8}=3$.

Suy ra a = 3.3 = 9 ;  b = 5 . 3 = 15.

Vậy diện tích của mảnh vườn là 9 . 15 = 135 (m2).

Bài 3. Tìm hai số a và b, biết : a : 2 = b : (–5)  và a – b = –7.

Hướng dẫn giải

Từ a : 2 = b : (–5)  ta có tỉ lệ thức $\frac{\mathrm{a}}{2}=\frac{\mathrm{b}}{-5}$.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:  $\frac{\mathrm{a}}{2}=\frac{\mathrm{b}}{-5}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{2-(-5)}=\frac{-7}{7}=-1$.

Vậy  a = 2. (–1) = –2 ;  b = (–5). (–1) = 5.